平面解析类二次全射函数的雅可比对

《Journal of Differential Equations》：Jacobian pairs for planar analytic quadratic-like submersion functions

　　

摘要 对于从?2到?的浸入函数??，其Jacobian对是指一个函数??：?2→?，使得映射(??, ??)的Jacobian行列式永不消失。若函数??：?2→?在某一变量上是一个2次多项式，则称其为二次型的。在本文中，我们研究解析二次型浸入函数是否存在Jacobian对。

章节摘要 引言与主要结果的陈述 平面实Jacobian猜想断言：具有非零Jacobian行列式的多项式映射??：?2→?2是单射的。Pinchuk在[10]中通过反例证明了该猜想为假。此后，人们致力于寻找满足该猜想的映射类。特别地，当Jacobian行列式为常数时，我们处于?2中Jacobian猜想的假设之下，该猜想的有效性至今未知，参见[5]、[8]。

这一主题属于一个古老的问题。

预备结果 设??：?2→?为一个??∞浸入函数。我们记?(??)为由??的纤维的连通分量定义的平面上的叶状化。

设??：?2→?为一个??∞浸入函数，??(??, ??) = ????，且?? = {(??, ??) ∈ [0, 2] × [0, 2] : 0 < ?? + ?? ≤ 2}。若存在同胚映射??：?? → ??，使得??是?(??)|??与?(??)|??之间的拓扑等价映射，且具有以下性质，则称?? ? ?2为叶状化?(??)的半Reeb簇（或简称为hRc）：

(a) 线段{(??, ??) ∈ ?? : ?? + ?? = 2}被??映为一条横截线。

二次型浸入所给叶状化的半Reeb簇与不可分离叶

本节致力于以下基本结果。

命题6 设??：?2→?为一个解析二次型浸入函数，且存在??? ∈ ?使得???(???) = 0，并且???或???成立。则

???(???) = ???'(???) = ???(???) = ???'(???) = 0，

且直线?? = ???包含?(??)的某个半Reeb簇的一条非紧边缘。

证明 不失一般性，通过适当的平移，假设??? = 0。由引理5可知，在将??乘以?1后，???(??)与α'(??)的符号……

主要结果的证明与例子 我们首先证明定理1中的陈述(a)。设解析线性型函数??：?2→?定义为

??(??, ??) = √|???(??)| · (?? + ???(??)/(2???(??)))。

可以直截了当地得出结论：

??(??, ??)(??, ??) = (4???(??)2???'(??) ? 2???(??)???(??)???'(??) + ???(??)2???'(??)) / |???(??)|^{3/2} = ??(??) / |???(??)|^{3/2}，

其中??(??)定义于(4)式中，由引理4知??(??) ≠ 0。

现在，我们给出以下引理，它特别表明定理1中的陈述(b)可由定理2推出。

引理7 若???是解析的且至少有两个零点，则……

作者贡献 所有作者在本手稿的准备过程中均作出了同等的贡献。作者排序按字母顺序排列。

致谢 本工作是在以下研究资助项目的支持下完成的：F. Braun部分得到了巴西国家科学与技术创新委员会CNPq的资助（项目编号403959/2023-3和308112/2023-7）；M.N. Cassiano部分得到了巴西高等学历人员进修协调委员会CAPES的资助（财政代码001）；J. Llibre部分得到了西班牙国家研究局（项目编号PID2022-136613NB-100）的资助；L.F. Mello

Francisco Braun | Matheus Natanael Cassiano | Jaume Llibre | Luis Fernando Mello

巴西圣保罗州圣卡洛斯联邦大学数学系，13565-905，圣卡洛斯，圣保罗，巴西