具有纳维滑移边界条件的趋化-纳维-斯托克斯方程的零黏性极限

《Journal of Differential Equations》：Zero-viscosity limit of the chemotaxis-Navier-Stokes equations with the Navier-slip boundary condition

　　

摘要 趋化性与细菌悬浮液中的营养物质或信号化学物质扩散之间的相互作用可以产生具有高细胞浓度的局部结构，包括叶序型模式、丝状体和在微结构中的聚集，如Tuval等人于2005年提出的细菌流趋化性-Navier-Stokes模型所述。Dombrowski等人还观察到，与沉积的Boycott效应相关的驻滴中的细菌流可以携带生物对流羽流；从培养皿底部从下方观察时，顶部的水平湍流样线条对应于气-水-塑料接触线。这些物理行为激发了对耦合趋化性-流体系统中边界层现象的数学研究。在本文中，我们研究了二维趋化性-Navier-Stokes系统在半空间中的扩散系数趋于零和粘性趋于零的极限，其中趋化性变量采用Neumann边界条件，流体速度采用Navier滑动边界条件。本工作的主要贡献有三方面：第一，通过匹配渐近展开，我们识别出边界层剖面的新结构方程，以解决趋化性密度层中的退化问题；第二，我们构造了包含时间导数的新各向异性共法Sobolev空间，以有效闭合耦合能量估计；第三，我们建立了粘性精确解向近似解收敛的严格的$O(\varepsilon^{3/2})$收敛率，在$L^\infty$范数下。

引言 微生物在流体中的趋化性运动代表了生物与流体动力学之间的基本耦合，其中生物体的定向运动（趋化性）与周围的流动相互作用。为了捕捉这种相互作用，Keller和Segel[13],[14]在1970年代建立了经典的Keller-Segel模型（参见Patlak[28]）。这种耦合的物理意义被Dombrowski等人[3]和Tuval等人[38]戏剧性地证明，他们观察到好氧细菌聚集在水表面附近，形成明显的边界层并触发大尺度生物对流和微湍流。这些实验揭示，流体的存在从根本上改变了细菌的空间组织，使得边界层研究对于理解此类系统至关重要。尽管已有大量关于趋化性-流体方程的数学结果[42],[43]，但边界层分析或粘性趋于零的极限仍然在很大程度上未被探索。研究这一极限不仅是数学上具有挑战性的，而且在物理上也具有重要意义，因为它揭示了几乎无粘流体如何在边界处组织微生物生活的机制。

为了处理趋化性-流体系统中粘性趋于零的极限，我们首先从经典Navier-Stokes方程中汲取见解。自Prandtl[32]于1904年引入边界层理论并通过渐近展开推导出Prandtl方程以来，数学流体动力学中的一个基本问题是确定在无粘极限$\nu \to 0$时，Navier-Stokes方程的解是否收敛于Euler方程的解。让我们简要回顾一些进展。

为了证明Prandtl边界层展开，关键步骤之一是建立Prandtl方程的适定性。在出流速度的单调性假设下，Oleinik和Samokhin[34]证明了二维情形中经典解的局部存在性和唯一性。对于具有有利压力梯度的流动，Xin和Zhang[44]建立了弱解的全局存在性。最近，Sobolev空间中的局部适定性由Alexandre等人[1]和Masmoudi与Wong[26]独立证明，使用了直接能量方法。另一方面，在解析框架下，Sammartino和Caflisch[33]获得了完整解析数据下解的局部存在性和唯一性（扩展至切向解析数据见[23],[45]）。对于Gevrey数据，局部适定性结果由Gerard-Varet-Masmoudi[6]和Li Yang[20]获得。相反，如果没有单调性条件，系统表现出强烈的不稳定性；值得注意的是，Gérard-Varet和Dormy[5]证明在非单调剪切流附近的线性化Prandtl方程在Sobolev空间中不适定。关于这一主题的更多发展，我们参见[21],[22],[45]及其中的参考文献。

另一个关键步骤是严格验证Prandtl边界层展开。即使在上述函数空间中Prandtl方程是适定的，严格验证Prandtl边界层展开仍然极具挑战性，只有少数里程碑式的结果。Sammartino和Caflisch[33]首先在解析框架内实现了这一验证，该结果后来由Wang、Wang和Zhang[39]通过新发展的直接能量方法重新证明。此外，该结果被Fei、Tao和Zhang[4]利用直接能量方法扩展到了三维半空间$\mathbb{R}^3_+$。超越解析空间，Maekawa[24]在初始涡量支集远离边界的特定条件下成功验证了边界层展开。更多近期进展参见[16],[17]及其中的参考文献。

与流体动力学中边界层理论的发展并行，纯趋化性方程的研究中可用结果相对较少。经典Keller-Segel系统[13],[14]已被广泛分析，特别是关于趋化性聚集与扩散之间的临界平衡，导致全局存在或有限时间爆破[7]。Hillen和Painter[7]提供了趋化性PDE模型中全局存在和爆破现象的全面综述。

在Neumann边界条件下，Meng-Xu-Wang[27]研究了二维区域中化学扩散系数趋于零的Keller-Segel模型边界层问题：
$$\begin{cases} \partial_t n_\varepsilon - \Delta n_\varepsilon = -\nabla \cdot (n_\varepsilon \nabla c_\varepsilon), \\ \partial_t c_\varepsilon - \varepsilon^2 \Delta c_\varepsilon = -c_\varepsilon n_\varepsilon, \\ \partial_y c_\varepsilon = \partial_y n_\varepsilon = 0, \quad \text{on } y = 0 \end{cases}$$
他们得到了误差方程$(n, c) = (n_\varepsilon - n_a, c_\varepsilon - c_a)$满足
$$\|n\|_{L^\infty(\Omega \times (0,T))} \lesssim \varepsilon^{3/2 - \delta}, \quad \|c\|_{L^\infty(\Omega \times (0,T))} \lesssim \varepsilon^{1/2 - \delta},$$
其中$\delta > 0$。此外，Hou-Wang[9]建立了具有奇异敏感性的Keller-Segel模型边界层解的收敛性：
$$\begin{cases} \partial_t n = \nabla \cdot (D \nabla n - \chi n c \nabla c) \\ \partial_t c = \varepsilon \Delta c - n c \end{cases}$$
并通过假设Dirichlet-Neumann边界条件，证明了边界层以$(n, c)$的收敛率$(\varepsilon^{1/2}, \varepsilon^{1/4})$收敛到外层（$\varepsilon = 0$的解）加上内层。Lee-Wang-Yang[18]也研究了Keller-Segel模型的稳态问题，其归结为奇异摄动的非局部半线性椭圆问题。Carrillo-Hong-Wang[2]表明Tuval等人在一维中提出的具有物理边界条件的模型，当氧气扩散率$\varepsilon$很小时，可以产生边界层解。具体而言，他们表明$\varepsilon > 0$的模型的解当$\varepsilon \to 0$时，将收敛到$\varepsilon = 0$的解（外层解）加上边界层剖面（内层解），在边界附近存在尖锐过渡。关于一般域上的更多发展，参见[19],[29],[30],[31]及其中的参考文献。

只有少数研究探索了趋化性-流体系统中的边界层问题。2024年，Hou[10]考虑了$\mathbb{R}^3$中趋化性-Navier-Stokes系统在化学扩散率趋于零时的扩散趋于零极限问题。Hou[11]进一步证明了趋化性-Navier-Stokes系统中的边界层效应如下：
$$\begin{cases} n_t + \vec{u} \cdot \nabla n + \nabla \cdot (n \nabla c) = \Delta n, & (x,y,t) \in \mathbb{R}^2_+ \times (0,T), \\ c_t + \vec{u} \cdot \nabla c + n c = \varepsilon \Delta c, & (x,y,t) \in \mathbb{R}^2_+ \times (0,T), \\ \vec{u}_t + \vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p + (0,\lambda) n = \Delta \vec{u}, & (x,y,t) \in \mathbb{R}^2_+ \times (0,T), \\ \nabla \cdot \vec{u} = 0, & (x,y,t) \in \mathbb{R}^2_+ \times (0,T), \end{cases}$$
边界条件为
$$\begin{cases} (\nabla n - n \nabla c) \cdot \vec{n} = 0, \quad \nabla c \cdot \vec{n} = 0, \quad \vec{u} = \mathbf{0} & \text{if } \varepsilon > 0, \\ (\nabla n - n \nabla c) \cdot \vec{n} = 0, \quad \vec{u} = \mathbf{0} & \text{if } \varepsilon = 0, \end{cases}$$
其中作者获得了收敛率
$$\|(n_\varepsilon - n_0, c_\varepsilon - c_0)\|_{L^\infty([0,T]; L^\infty_{xy})} \leq C \varepsilon^{1/2}, \quad \|(\vec{u}_\varepsilon - \vec{u}_0)\|_{L^\infty([0,T]; L^\infty_{xy})} \leq C \varepsilon,$$
其中$(n_0, c_0, \vec{u}_0)$表示$\varepsilon = 0$时(1.4)的解。尽管有了这些进展，趋化性-流体系统中粘性趋于零的极限仍然是一个开放挑战。从生物学角度，趋化性与周围流体动力学不可分割；因此，流体边界层的形成不可避免地决定了趋化性边界层的行为。随着流体和趋化性粘性同时趋于零，这些边界层的强耦合创造了一个高度奇异的区域。一个基本问题自然浮现：

在这个区域中，是否在数学上能够建立严格的边界层展开，从而为Dombrowski等人[3]实验中报告的复杂现象提供数学答案？

受这些物理和数学挑战的启发，本文旨在系统研究二维半平面$\mathbb{R}^2_+$上趋化性-流体方程的粘性-扩散趋于零极限及相关边界层展开。考虑耦合细菌密度$n_\varepsilon$和氧气浓度$c_\varepsilon$的趋化性方程与速度场$u_\varepsilon$的不可压缩Navier-Stokes方程的模型，如下所示：
$$\begin{cases} \partial_t n_\varepsilon + u_\varepsilon \cdot \nabla n_\varepsilon - \Delta n_\varepsilon = -\nabla \cdot (n_\varepsilon \nabla c_\varepsilon), \\ \partial_t c_\varepsilon + u_\varepsilon \cdot \nabla c_\varepsilon - \varepsilon^2 \Delta c_\varepsilon = -c_\varepsilon n_\varepsilon, \\ \partial_t u_\varepsilon + u_\varepsilon \cdot \nabla u_\varepsilon - \varepsilon^2 \Delta u_\varepsilon + \nabla p_\varepsilon = n_\varepsilon \nabla \phi, \\ \nabla \cdot u_\varepsilon = 0, \\ \partial_y c_\varepsilon = \partial_y n_\varepsilon = 0, \quad \partial_y u_{\varepsilon 1} = u_{\varepsilon 2} = 0, \quad y = 0, \\ (n_\varepsilon, c_\varepsilon, u_\varepsilon) = (n_{in}, c_{in}, u_{in}), \quad t = 0. \end{cases}$$
这里，我们不妨假设$\phi = y$，则$\nabla \phi = (0,1)^\top = e_2$，系统辅以物理合理的Neumann-滑动边界条件[41]和非负初始数据$n_{in}, c_{in} \geq 0$。

形式上，当粘性系数$\varepsilon \to 0$时，(1.7)的解在$\mathbb{R}^2_+$上收敛到以下无粘极限系统：
$$\begin{cases} \partial_t n_0 + u_0 \cdot \nabla n_0 - \Delta n_0 = -\nabla \cdot (n_0 \nabla c_0), \\ \partial_t c_0 + u_0 \cdot \nabla c_0 = -c_0 n_0, \\ \partial_t u_0 + u_0 \cdot \nabla u_0 + \nabla p_0 = n_0 e_2, \\ \nabla \cdot u_0 = 0, \\ \partial_y n_0 = n_0 \partial_y c_0, \quad u_0^2 = 0, \quad y = 0, \\ (u_0, c_0, n_0) = (n_{in}, c_{in}, u_{in}), \quad t = 0. \end{cases}$$
然而，由于粘性系统和无粘系统之间法向速度边界条件的不匹配，可能出现边界层。

我们遵循匹配渐近展开方法的范式。首先，引入边界层坐标$z = y/\varepsilon$，将解分解为描述远离边界处流动的外层解和描述边界层行为的内层修正项。通过原始方程的渐近展开，我们推导出外层解和内层修正项各阶所满足的方程，并构造近似解$(n_a, c_a, u_a, p_a)$。核心任务是证明当$\varepsilon \to 0$时，该近似解与原系统精确解之间的误差趋于零。为此，我们引入各向异性共法Sobolev空间，对切向(x)和法向(y)导数赋予不同权重，从而捕捉边界层内的剧烈法向变化[8],[41]。通过对误差变量建立能量不等式并使用Gronwall型论证，我们获得一致的能量估计并量化收敛率。该能量方法借鉴了Masmoudi和Rousset[25]针对Navier滑动边界条件的技术，以及Wang、Wang和Zhang[39]在解析框架中的直接边界层能量构造，并将这些思想适应了非线性趋化性-流体耦合系统。因此，本文似乎提供了趋化性-流体方程在粘性趋于零极限下边界层渐近结构的第一个严格验证之一，揭示了流体粘性和生物趋化性如何共同塑造边界附近细菌密度和氧气浓度的精细分布。主要技术要点，包括密度边界层修正项构造中的退化问题和共法能量估计的闭合，在主结果陈述后详细讨论。

本文其余部分组织如下。第2节介绍函数框架，建立误差方程，并陈述主要结果。第3节用于陈述关键先验估计并提供主定理的证明。随后，在第4节中，我们详细推导渐近展开并严格构造近似解。在第5节中，我们建立必要的辅助引理并证明第3节中提出的先验估计。最后，内层和外层解的适定性证明推迟到附录中。

在本文中，为简化符号，我们令$h(\cdot)$表示一个未确定的函数。则边界算子表示为$\bar{h}(t,x) = h(t,x,0)$，平移算子表示为：
$$\left(\begin{array}{c} h_1(\cdot, j) \\ h_2(\cdot, j) \end{array}\right)_p = \left(\begin{array}{c} h_1(\cdot, j) \\ h_2(\cdot, j+1) \end{array}\right), \quad \left(\begin{array}{c} h_1(\cdot, j) \\ h_2(\cdot, j) \end{array}\right)_{pp} = \left(\begin{array}{c} h_1(\cdot, j) \\ h_2(\cdot, j+2) \end{array}\right)$$
当$j < 0$时，$h(\cdot, j) = 0$。全文中，我们用$C$表示不依赖于$\varepsilon$的常数，用$C_\xi$表示仅依赖于$\xi$的系数，可能逐行不同。

第2节片段：误差方程

假设近似解$(n_a, c_a, u_a, p_a)$满足：
$$\begin{cases} \partial_t n_a + u_a \cdot \nabla n_a - \nabla \cdot (\nabla n_a - n_a \nabla c_a) = -N, \\ \partial_t c_a + u_a \cdot \nabla c_a + c_a n_a - \varepsilon^2 \Delta c_a = -K, \\ \partial_t u_a + u_a \cdot \nabla u_a + \nabla p_a - \varepsilon^2 \Delta u_a - n_a e_2 = -U, \\ \nabla \cdot u_a = 0, \\ \partial_y n_a = \partial_y c_a = \partial_y u_{a1} = 0, \quad u_{a2} = \varepsilon^2 f(t,x), \quad y = 0, \end{cases}$$
其中$(N, K, U)$是在某个函数空间中小的余项。

我们引入解与近似解之间的误差：
$$n = n_\varepsilon - n_a, \quad c = c_\varepsilon - c_a, \quad u = u_\varepsilon - u_a, \quad p = p_\varepsilon - p_a.$$
然后从(1.7)和(2.1)，我们知道$(n, c, u, p)$满足：
$$\begin{cases} \partial_t n + (u_a \cdot \nabla n + u \cdot \nabla n_a + u \cdot \nabla n) + \nabla \cdot (n \nabla c + n_a \nabla c + n \nabla c_a) - \Delta n = N, \\ \partial_t c + (u_a \cdot \nabla c + u \cdot \nabla c_a + u \cdot \nabla c) - \varepsilon^2 \Delta c + (c_a n \cdots \end{cases}$$

关键能量估计

关键是证明误差方程(2.2)的解在适当函数空间中一致有界。现在我们给出一些主要命题。

命题3.1 设$m \geq 2 \in \mathbb{N}$。则存在$\delta > 0$和$\varepsilon_0 > 0$，使得对任何$\varepsilon \in (0, \varepsilon_0)$，有：
$$\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \|n\|^2_{Y_{1,m}} + (1 - C\delta - C\sigma) \|\nabla n\|^2_{Y_{1,m}} - C\sigma \varepsilon^2 \|\nabla^2 c\|^2_{Y_{1,1}} \leq C_{\delta\sigma} \left(1 + \|n_a\|_{Y_{1,m+1}}^2_\infty + \|u_a\|_{Y_{1,m+1}}^2_\infty + \|\nabla c_a\|_{Y_{1,m}}^2_\infty + \|fe^{-y}\|_{Y_{1,m+1}}^2\right)^2 \times (\|n\|^2_{Y_{1,m}} + \|u\|^2_{Y_1} + \|\omega\|^2_{Y_{1,m}} + \|\nabla c\|^2_{Y_{1,m}}) + C\sigma^3 \varepsilon^4 (\|u\|^2_{Y_1} + \|\omega\|^2_{Y_{1,m}} + \|n\|^2_{Y_{1,m}} + \|\nabla c\|^2_{Y_{1,m}})^3 + C \varepsilon^4 \|fe^{-y}\|_{Y_{1,m+1}}^2 (\|n_a\|_{Y_{1,m+1}}^2_\infty + \|\partial_y n_a\|_{Y_{1,m}}^2) + C \|N\|^2_{Y_{1,m}}.$$

命题3.2 存在$\delta > 0$和$\varepsilon_0 > 0$

近似解的构造

在本节中，我们将使用匹配渐近展开方法构造趋化性-Navier-Stokes方程(1.7)的近似解（另见[9],[36]）。

一些重要引理

以下引理在我们的证明中经常使用。

引理5.1 [15] 设$\{x_\alpha\}_{\alpha \in \mathbb{N}^3}$和$\{y_\beta\}_{\beta \in \mathbb{N}^3}$为实数。则我们有
$$\sum_{|\alpha| = m} \sum_{|\beta| = j, \beta \leq \alpha} x_\beta y_{\alpha - \beta} = \left(\sum_{|\alpha| = j} x_\alpha\right) \left(\sum_{|\beta| = m-j} y_\beta\right).$$

引理5.2 设$\|g\|_{Y_{1,m}} \leq C$，则以下不等式成立：
$$\sum_{\alpha_1 \leq 1, |\alpha| \leq m-1} \|\partial^\alpha g\|^2_\infty \leq C \sum_{\alpha_1 \leq 1, |\alpha| \leq m} \|\partial^\alpha g\|^2 \|\partial_y \partial^\alpha g\|^2.$$

证明 注意
$$\|g\|_{L^\infty} \leq C \|\|g\|_{L^2_x}^{1/2} \|\partial_x g\|_{L^2_x}^{1/2}\|_{L^\infty_y} \leq C \|g\|_{L^2}^{1/4} \|\partial_x g\|_{L^2}^{1/4} \|\partial_y g\|_{L^2}^{1/4} \|\partial_{xy} g\|_{L^2}^{1/4}$$
(5.1)的证明完成。$\square$

引理5.3 假设$\bar{g} = 0$且$\psi$定义如(2.7)，则对$1 < q \leq \infty$，
$$\|\partial^\alpha g_\psi\|_q \leq C_\delta (\|\partial_y \partial^\alpha g\|_q + \|\partial^\alpha g\|_q).$$

证明 记
$$\rho(y) = \begin{cases} 1, & 0 \leq y \leq 1, \\ 0, & y \geq 1. \end{cases}$$
然后由Hardy

附录

本附录致力于证明命题2.1。类似于第2.2节，我们定义：
$$\hat{\partial}^\alpha = \partial_t^{\alpha_1} \partial_x^{\alpha_2} (\delta z)^{\alpha_3} \partial_z^{\alpha_3}.$$

然后我们有 $[\hat{\partial_z}, \hat{\partial_\alpha}] = \hat{\delta_\alpha^3 \partial_\alpha} - (0,0,1)\partial_z$，对于 $s, l, m \in \mathbb{N}$，内余法Sobolev空间定义为

$$Z_s^{l,m}(\mathbb{R}^2_+) = \left\{ u \mid \|u\|_{Z_s^{l,m}}^2 = \sum_{\alpha_1 \leq l,\, |\alpha| \leq m} \|(1+z)^s \hat{\partial_\alpha} u\|_2^2 < \infty \right\}.$$

然后由定义(2.9)和(2.10)可得

$$\|h(t,x,y)\|_{\bar{Y}^{l,m}}^2 = \sum_{\alpha_1 \leq l,\, |\alpha| \leq m} \int_{\mathbb{R}^2_+} \left| \partial_t^l \partial_{\alpha_1,x} \psi_{\alpha_3} \partial_{\alpha_3,y} h \right|^2 dx\, dy \leq \sum_{\alpha_1 \leq l,\, |\alpha| \leq m} \|\psi_{\alpha_3}\|_{L^\infty_y}^2 \int_{\mathbb{R}^2_+} \left| \partial_t^l \partial_{\alpha_1,x} \partial_{\alpha_3,y} h \right|^2 dx\, dy \leq C \|h\|_{\bar{H}^{l,m}}^2,$$

以及

$$\|h(t,x,z)\|_{\bar{Y}^{l,m}}^2 = \sum_{\alpha_1 \leq l,\, |\alpha| \leq m} \int_{\mathbb{R}^2_+} \left| \partial_t^l \partial_{\alpha_1,x} \psi_{\alpha_3} (\delta_z)^{\alpha_3} (\delta_z)^{\alpha_3} \epsilon_{\alpha_3} \partial_{\alpha_3,z} h \right|^2 dx\, dy \leq \sum_{\alpha_1 \leq l}$$

**致谢**

作者感谢王志安教授的有益交流。W. Wang 的研究受中国国家重点研发计划（编号2023YFA1009200）以及国家自然科学基金资助项目12471219和12071054的资助。

李博伦 | 石凤强 | 王文东
中国 大连 116024 大连理工大学数学科学学院