关于混合边界条件下周向部分堵塞自流井附近的非轴对称流动

《Journal of Hydrology》：On non-axisymmetric flow near circumferentially partially clogged artesian wells with mixed boundary conditions

　　

研究人员提出了一种针对周向部分穿透井（circumferentially partially penetrating well，PPW）的混合边界条件模型。研究人员开发了一种分段离散化方案来处理混合型边界。研究人员推导了周向部分穿透井（PPW）试验的半解析非均匀流量（non-uniform flux，NUF）解。研究人员分析了周向部分穿透对井水力学的影响。 本研究针对承压含水层中周向部分堵塞井（partially clogged well，PCW）的瞬态地下水流动，建立了一个半解析非均匀流量（NUF）模型。该模型在井壁处施加混合边界条件：非筛管段为不透水条件，筛管段为均匀水头变化条件，从而允许井壁流量随角度坐标按局部水力梯度变化。研究人员随后在时间域应用拉普拉斯变换，在角度坐标域应用有限傅里叶余弦变换来求解该模型。此后，由于井壁处的混合边界条件妨碍了角度变换的直接应用，研究人员通过将筛管段离散化为分段均匀流量段来处理该条件，将狄利克雷（Dirichlet）条件转化为等效的诺伊曼（Neumann）表示。随后求解所得线性系统以获得各段流量和水头变化，并采用Stehfest数值拉普拉斯反演算法获得时域解。本研究还详细分析了在定流量试验（constant-rate test，CRT）和定水头试验（constant-head test，CHT）条件下，周向不完整性对地下水流动动力学的影响。 新开发的模型将Theis（1935）、Jacob和Lohman（1952）等经典模型从全穿透井的轴对称流动扩展到沿周向具有部分水力连接的井。该模型还通过以非均匀流量（NUF）边界表示取代均匀流量（UF）边界假设，改进了Huang等人（2012）的模型。所开发的半解析解可用于详细研究周向不完整性对地下水流动动力学的影响，包括水头变化、井壁流量和井筒流量。因此，本研究结果可增进对受周向堵塞、部分筛管阻塞或非均匀井壁连通性影响的井水力学特性的理解。此外，所开发的模型及其解还可用于反演估算含水层参数和诊断井壁条件。特别是，基于定流量试验（CRT）的解释可能更适合估算远场含水层性质，而基于定水头试验（CHT）的解释可为可能的周向堵塞提供有用的诊断约束，尤其是通过流量历史曲线分析。 本研究的具体目标是：（1）建立承压含水层中周向部分穿透井瞬态流动的混合边界非均匀流量（NUF）模型；（2）推导半解析解，并与现有极限解进行验证，包括Huang等人（2012）的均匀流量（UF）解以及经典的Theis（1935）和Jacob与Lohman（1952）解；（3）考察定流量和定水头试验条件下周向不完整性对水头变化、井壁流量和排水行为的影响；（4）评估传统均匀流量（UF）近似引入的误差。为实现这些目标，本文其余部分组织如下：第2节介绍概念模型、控制方程、求解过程、数值反演和模型验证；第3节报告参数分析结果，重点强调定流量试验（CRT）与定水头试验（CHT）响应之间的对比以及非均匀流量（NUF）与均匀流量（UF）解的比较；第4节讨论所提出公式的方法论贡献、实际意义、局限性和未来工作；第5节总结主要结论。

论文解读

一、研究背景与问题

地下水向抽水井或注水井流动的理论分析是地下水文地质学中最重要的问题之一，为含水层试验数据的解释提供了基本框架。自Theis（1935）推导承压含水层中定流量抽水条件下全穿透井的瞬态降深解，以及Jacob和Lohman（1952）将分析扩展到定水头条件以来，学术界已发展出大量解析和半解析解，用以描述日益复杂的含水层结构和井筒几何形态。

然而，这些经典解共享一个基本假设：井筛管沿整个井周完全穿透，从而在井壁处施加轴对称边界条件。在现场实践中，这一假设有时会被违反。钻井过程中泥饼形成导致的井筛管部分堵塞、井运行寿命期间的非均匀化学结垢、完井过程中地层的机械扰动，以及有意安装的盲套管段，都可能导致井与周围含水层的水力连接仅局限于其圆周的一部分。研究人员将这种条件称为周向部分穿透，它引入了根本性的非轴对称流场，无法用现有的径向对称模型充分描述。

值得注意的是，周向部分穿透与更常研究的垂直部分穿透不同，后者指井筛管仅延伸穿过含水层厚度的一部分。垂直部分穿透问题已被广泛研究，Hantush（1967）、Neuman（1972）、Malama等人（2008）以及Feng和Zhan（2015）等提供了经典解。这些模型通常采用均匀流量（uniform-flux，UF）假设，即通过井筛管的流量在筛管区间内假定为常数。虽然这一假设简化了数学处理，但实际中沿筛管区间的流量分布本质上可能是不均匀的，在水力梯度最陡处流量更大。为捕捉这一物理行为，另一类模型在井壁处施加混合边界条件：筛管段沿程降深假定为空间均匀（狄利克雷条件），而非筛管段视为不透水（诺伊曼条件）。在此公式下，通过筛管的流量可随空间变化，产生非均匀流量（non-uniform flux，NUF）分布。

尽管周向井不完整性在实际中普遍存在，但水文地质文献中对此问题的解析处理极少。一个显著的例外是Huang等人（2012），他们开发了承压含水层中定流量抽水条件下周向部分穿透井的解析模型。然而，该模型采用均匀流量假设，将流量视为沿周向可渗透部分为常数；此外，该工作以中文发表，可能限制了其在国际研究界的可及性。与垂直部分穿透的情况一样，当入流由井壁处规定的降深而非外部施加的流量分布控制时，均匀流量假设可能是一个物理上脆弱的近似。据研究人员所知，目前尚不存在将混合边界条件纳入周向部分堵塞井壁的解析模型。本研究旨在填补这一空白。

二、研究内容与意义

研究人员开发了一个半解析非均匀流量模型，用于描述承压含水层中周向部分堵塞井（PCW）的瞬态地下水流动。该模型在井壁处施加混合边界条件：非筛管段为不透水条件，筛管段为均匀水头变化条件，允许井壁流量随角度坐标按局部水力梯度变化。新开发的模型将Theis（1935）、Jacob和Lohman（1952）等经典模型从全穿透井的轴对称流动扩展到沿周向具有部分水力连接的井，并通过以非均匀流量边界表示取代均匀流量边界假设，改进了Huang等人（2012）的模型。

所开发的半解析解可用于详细研究周向不完整性对地下水流动动力学的影响，包括水头变化、井壁流量和井筒流量。因此，本研究结果可增进对受周向堵塞、部分筛管阻塞或非均匀井壁连通性影响的井水力学特性的理解。此外，该模型及其解还可用于反演估算含水层参数和诊断井壁条件。特别是，基于定流量试验（CRT）的解释可能更适合估算远场含水层性质，而基于定水头试验（CHT）的解释可为可能的周向堵塞提供有用的诊断约束，尤其是通过流量历史曲线分析。该论文发表在《Journal of Hydrology》。

三、关键技术方法

研究人员采用的主要技术方法包括：第一，在时间域应用拉普拉斯变换，在角度坐标域应用有限傅里叶余弦变换来求解控制方程；第二，由于井壁处的混合边界条件妨碍了角度变换的直接应用，研究人员通过将筛管段离散化为分段均匀流量段来处理该条件，将狄利克雷条件转化为等效的诺伊曼表示；第三，求解所得线性系统以获得各段流量和水头变化；第四，采用Stehfest数值拉普拉斯反演算法获得时域解。此外，研究人员将所开发的非均匀流量解与Huang等人（2012）的均匀流量解以及经典的Theis（1935）和Jacob与Lohman（1952）解进行了对比验证。

四、研究结果

模型建立与求解

研究人员建立了周向部分堵塞井（PCW）在承压含水层中的瞬态流动数学模型。井圆周被划分为非筛管不透水段（?θ? ≤ θ ≤ θ?）和筛管可渗透段（θ? ≤ |θ| ≤ π），其中θ?为非筛管弧段的半角。模型关于θ = 0和θ = π对称。控制方程为柱坐标系下的瞬态流动方程。通过拉普拉斯变换和有限傅里叶余弦变换，并结合分段离散化方案处理混合边界条件，研究人员获得了半解析解。

模型验证

研究人员将所开发的非均匀流量（NUF）解与现有极限解进行了验证。当非筛管段半角θ?趋于零时，模型退化为经典的Theis（1935）解和Jacob与Lohman（1952）解，验证了模型在完全穿透极限情况下的正确性。同时，模型与Huang等人（2012）的均匀流量（UF）解进行了对比，验证了非均匀流量解在均匀流量极限情况下的一致性。

周向不完整性对水头变化的影响

参数分析表明，周向不完整性对井附近的水头变化有显著影响。在定流量试验（CRT）条件下，周向部分堵塞导致井壁处降深增大，且降深增大的程度随非筛管段半角θ?的增大而增加。在远离井的区域，周向不完整性的影响逐渐减弱，水头变化趋于轴对称分布。在定水头试验（CHT）条件下，周向不完整性同样影响水头变化的时空分布。

井壁流量分布

非均匀流量（NUF）模型揭示了井壁流量沿周向的不均匀分布特征。在筛管段内，流量并非均匀分布，而是在靠近非筛管段边缘处流量较大，反映了局部水力梯度的变化。这一结果与均匀流量（UF）假设形成鲜明对比，后者将流量视为沿筛管段为常数。流量分布的不均匀程度随非筛管段半角θ?的增大而增强。

排水行为分析

在定流量试验（CRT）条件下，周向部分堵塞导致井壁降深增大，等效于降低了井的产能。在定水头试验（CHT）条件下，周向部分堵塞导致井的排水流量减小，流量历史曲线呈现明显的下降特征。研究人员特别指出，定水头试验（CHT）条件下的流量历史曲线对周向堵塞具有较高的敏感性，可作为诊断周向堵塞的有效工具。

均匀流量近似的误差评估

研究人员评估了传统均匀流量（UF）近似引入的误差。结果表明，均匀流量假设在周向部分堵塞情况下会导致井壁降深和流量的预测偏差，尤其是在非筛管段半角较大时，误差更为显著。非均匀流量（NUF）模型提供了更准确的近井降深预测。

五、讨论与结论

讨论部分指出，所提出的方法在方法论上的贡献在于将混合边界条件处理技术从垂直部分穿透问题扩展到周向部分穿透问题，填补了该领域的空白。在实际意义方面，该模型可用于诊断井壁条件，特别是通过定水头试验（CHT）的流量历史曲线分析来识别可能的周向堵塞。定流量试验（CRT）的解释更适合估算远场含水层性质。研究的局限性包括模型假设承压含水层和完全穿透井，未考虑井筒储存效应和垂直方向的水力梯度等。未来工作可考虑将这些因素纳入模型。

研究结论可总结为：研究人员开发了承压含水层中周向部分堵塞井（PCW）瞬态流动的半解析非均匀流量（NUF）模型，该模型在井壁处施加混合边界条件。通过拉普拉斯变换和有限傅里叶余弦变换结合分段离散化方案求解了模型。模型验证表明，所开发的解在极限情况下与经典的Theis（1935）解、Jacob与Lohman（1952）解以及Huang等人（2012）的均匀流量（UF）解一致。参数分析揭示了周向不完整性对水头变化、井壁流量和排水行为的显著影响，并评估了均匀流量近似的误差。该模型为理解周向堵塞井的水力学特性提供了理论工具，并可用于含水层参数估算和井壁条件诊断。