在静水压力作用下的环形-球形壳分析：大位移与弹性屈曲现象

《Marine Structures》：Analysis of toroidal–spherical shells under hydrostatic pressure: large displacements and elastic buckling

　　•本文提出了一种在静水压力作用下新型的环形-球形壳体结构。•应变-位移关系和曲率-位移关系以张量分量形式给出。•进行了大位移分析和弹性稳定性分析。•使用非线性有限元法（FEM）和拉格朗日乘数来满足连续性条件。•根据几何特性和临界压力绘制了稳定性图。

引言
弹性薄壳广泛应用于土木工程、机械工程、海洋工程和 offshore 工程结构中，如圆顶、压力容器、液体储存罐和封闭单元[[1]、[2]、[3]、[4]、[5]]。这些结构通常在静态和动态载荷条件下受到内部和外部压力的作用。因此，其设计必须考虑位移、强度、稳定性和振动要求[[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]]。在 offshore 和海洋工程实践中，多段壳体被广泛用于各种浅水和深水应用。图1所示的环形-球形配置代表了一种潜在的浸没壳体圆顶几何形状，可能适用于承受高外部静水压力的海底压力容器和储存结构[14,15]。这类应用需要能够在持续静水载荷下保持结构完整性的结构。受这些潜在应用的启发，本研究探讨了在静水压力作用下的大位移和环形-球形圆顶壳体的弹性屈曲问题。在讨论上述问题之前，首先对 offshore 应用中的壳体结构进行了文献回顾。

在海洋和 offshore 工程中，Jiammeepreecha 等人[16,17] 使用膜理论研究了充满液体的球形和环形储存容器在静水压力下的非线性行为。对于在重力波作用下的壳体，Phadke 和 Cheung[14] 提出了一个时域模型用于充满液体的球形壳体的非线性分析。对于在静水压力作用下的弯曲分析，Jiammeepreecha 等人[18,19] 分别为充满液体的环形储存容器和多段五阶多项式形状的壳体开发了非线性有限元公式。虽然大多数研究集中在由单一子午线曲线定义的壳体上，例如球形、圆锥形、椭球形和环形壳体，但对多段壳体的兴趣日益增长。例如，Zingoni 等人[20]研究了多段球形容器的应力状态，Enoma 和 Zingoni[21] 提出了一种由四个不同半径的圆弧组成的卵形壳体，用于环形压力容器，Di 等人[22]研究了球形分段环形壳体的屈曲特性。受 Zhan 和 Zhang[23] 中红细胞几何形状的启发，本文首次提出并研究了一种新型混合几何形状——环形-球形壳体，因其具有在海洋和 offshore 工程中应用的潜力。根据使用场景的不同，环形-球形壳体具有明显的优势。例如，与具有相似外部尺寸的纯环形壳体相比，这种混合几何形状可以更有效地利用内部空间，这在压力容器和浸没壳体中是一个重要考虑因素。此外，这种复合形状在平衡内部体积、可制造性和耐压性等相互竞争的需求方面提供了更大的设计灵活性。

关于薄壳体的屈曲，Pan 和 Cui[3] 指出球形壳体有两种可能的失效模式：由屈服条件控制的塑性塌陷以及导致壳体塌陷的弹性或弹塑性屈曲。因此，壳体的极限强度取决于从应力分析或稳定性分析得出的较低外部压力。Pan 等人[24] 对球形压力壳体进行了实验测试，发现测量得到的塌陷压力与[8] 中提出的球形压力壳体的塌陷压力方程吻合良好。对于旋转壳体的屈曲分析，Jasion[25] 构建了一个有限元模拟模型，并研究了旋转壳体（即凸形、圆柱形和凹形壳体）的线性特征值分析。对于多段壳体，Jasion 和 Magnucki[26,27] 使用解析方法研究了在均匀压力下的 clothoidal-球形和环形-伪球形壳体的屈曲行为。Blachut[28] 比较了结合了圆柱形和圆锥形容器端封段的 toriconical 壳体的实验和数值结果。Zingoni 和 Enoma[29] 提出了一种解析公式，用于研究在均匀压力下的球形-圆锥形和球形-抛物面壳体。Zhang 等人[30] 研究了完美卵形壳体的强度和稳定性。关于非典型旋转壳体形式的研究仅限于线性分析，而在少数情况下进行了非线性分析。为了克服这一限制，Jiammeepreecha 等人[31,32] 开发了一种非线性有限元方法，用于基于表面基本形式研究多段壳体的非线性行为。

本文的第一部分研究了在线性静水压力作用下多段壳体结构的大位移效应。如图1所示，多段壳体的子午线曲线是由环形弧和球形弧组成的样条曲线。因此，本工作中的静水压力需要考虑两种不同的加载条件：环形部分中的静水压力视为外部压力，而球形部分视为内部压力。环形-球形壳体的几何形状通过表面基本形式[33] 计算，基于虚功原理[34] 以矩阵形式表达壳体公式。壳体的应变和曲率分量用度量张量和曲率分量表示[35]。在球形和环形壳体交界处，使用拉格朗日乘数技术来消除不连续性效应。为了获得基于壳体理论的数值结果，将五阶形状函数引入非线性有限元法[36]。对九种类型的环形-球形壳体进行了表面与体积（S/V）比和参数研究。本文的第二部分使用 ABAQUS 有限元程序[37] 研究了环形-球形壳体的弹性线性屈曲行为。基于完美环形-球形壳体，本文介绍并讨论了选定环形-球形壳体的屈曲载荷和屈曲形状。尽管几何缺陷和屈曲后行为对壳体塌陷有显著影响，但未来的工作将进一步探讨这一主题。

环形-球形壳体中间表面的几何形状
环形-球形壳体的几何形状由环形（ST）和球形（SS）壳体组成，如图1所示。环形部分与赤道平面相交，而球形部分与旋转轴相交。上标 T 和 S 分别表示环形壳体和球形壳体。对于环形壳体，其主要半径和次要半径分别用 a 和 b 表示。环形-球形壳体在旋转轴的高度为...

当环形-球形壳体受到外部静水压力作用时，SdT 和 SdS 的位置向量 RT 和 RS 分别表示为 RdT 和 RdS，如下所示：
RdT = RT + (RθTET)uT + (R?TGT)vT + n^TwTRdS = RS + (RφSES)uS + (R?SGS)vS + n^SwST
位移（u,v,w）分别表示切向、纵向和法向位移，如图2所示。对于旋转壳体，可以从方程（10）和（11）中消除纵向位移 v。然后，度量张量...

总虚功公式和连续性条件要求
在静水压力作用下，环形-球形壳体系统的总虚功是其膜应变能和弯曲应变能以及线性静水压力所做的虚功之和[34]。在球形和环形壳体的交界处，使用拉格朗日乘数技术来约束不连续性效应[36]。因此，环形壳体段的子午角域描述为 θ∈[θ0,θJ1]，其中 θ0 是赤道处的角度...

有限元方法
在本研究中，使用非线性有限元方法结合迭代程序[36,41]获得了环形-球形壳体在外部静水压力下的数值解。如图2所示，环形和球形部分分别沿 θ 和 φ 坐标划分。基于非线性有限元方法，使用 C2 梁单元模拟环形-球形壳体，ST 的位移梯度向量可以定义如下：
{gT} = [ψ]{dT}
其中 ?gT? = ?u(χ)w(χ)uθ(χ)L...

大位移分析
本文的第一部分重点研究使用迭代程序通过有限元法确定的环形-球形壳体的非线性结果。非线性有限元代码使用 MATLAB R2015b 编写。环形-球形壳体的几何参数和材料属性如下：
环形壳体：a = 5.0 m, b = 2.5 – 4.5 m, h = 0.05 m, β = 20 – 40°。
球形壳体：r = acscβ?b, c = acotβ?r, h = 0.05 m。
壳体材料属性：E′ = 200 GPa, μ = 0.3。

弹性屈曲分析
根据 Enoma 和 Zingoni[44] 的研究，旋转壳体的第一屈曲模式并不总是关于其旋转轴对称的。他们发现，从轴对称二维模型得到的第一屈曲压力大约是从完整三维模型得到的两倍。因此，所提出的有限元模型不适合确定旋转壳体的临界屈曲压力，因为前一节中的公式...

结论
由球形壳体和环形壳体组成的环形-球形壳体被确定为一种新型壳体形式，适用于外部静水压力。在第一部分（第6节）中，基于表面基本形式和虚功原理，使用非线性有限元方法结合迭代程序确定了大位移分析。使用拉格朗日乘数技术来约束交界处的不连续性效应。在第二部分（第7节）中...

作者贡献声明
Weeraphan Jiammeepreecha：撰写 – 审稿与编辑、原始草稿撰写、可视化、验证、监督、软件、资源、项目管理、方法论、研究、资金获取、正式分析、数据管理、概念化。
Hathaikan Nandun：撰写 – 审稿与编辑、原始草稿撰写、可视化、验证、软件。
Komkorn Chaidachatorn：撰写 – 审稿与编辑。
Sunchhorng Roun：撰写 – 审稿与编辑。
Boonchai Phungpaingam：...

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢
本项目得到了科学研究与创新基金（协议编号 FF69/NKR/006）的支持。作者感谢 Rajamangala 技术大学工程学院的支持。

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