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许多当前的混合度量方法，如浓度统计量、标量耗散率（scalar dissipation rate，SDR）或稀释指数（dilution index），都基于单一组分或伪组分的稀释。因此，这些方法忽略了会直接改变真实混合的多种条件，例如化学属性不同的水体初始分离
许多当前的混合度量方法，如浓度统计量、标量耗散率（scalar dissipation rate，SDR）或稀释指数（dilution index），都基于单一组分或伪组分的稀释。因此，这些方法忽略了会直接改变真实混合的多种条件，例如化学属性不同的水体初始分离。两种密度函数重叠的度量——Kullback/Leibler与Jensen/Shannon交叉熵（cross-entropies）——天然考虑了溶解羽流的分离，并导出取值在0（完全未混合）到1（完全混合）之间的混合指数（mixing index）。该混合指数及其时间导数（混合速率，mixing rate）可对简单羽流几何求解解析解，并显示出对多羽流条件（包括初始分离或不同运移性质）的依赖性。Jensen/Shannon版本因对零浓度的处理方式更适合水文学。应用于多个算例后，研究人员发现局部弥散与混合的概念化对观测混合速率有很大影响。初始条件、非均匀与非稳态速度、各向异性且速度依赖的弥散之间复杂相互作用，对总体混合速率影响显著，意味着在孔隙尺度以上的复杂非稳态流动中，需要完整弥散张量来量化混合。研究人员还表明，新的Jensen/Shannon混合指数与速率可推广至任意数量溶质羽流及反应性溶质。
研究背景方面，多孔介质中化学属性不同的水体混合驱动许多化学反应，因此准确量化混合速率对描述反应速率十分关键。然而现有方法多关注单一溶质稀释，例如浓度方差、Sobolev混合范数（mix-norms）、标量耗散率（scalar dissipation rate，SDR）、稀释指数（dilution index）等；这类方法把单组分浓度变化称为稀释，把多组分相互交织称为混合。单一组分指标不能反映不同水体初始分离、不同溶质具有不同运移与弥散参数、零浓度区域等真实情况。以保守伪组分和SDR衡量多组分系统时，即使两水体并未真正重叠，SDR仍可能因边缘扩散而显示“混合”，从而误导反应速率估计。因此，需要一种能从任意初始条件、任意局部弥散机制、任意数量化学不同水体中量化真实重叠与混合的度量。
研究人员以信息论中的Kullback/Leibler散度（KLD）与Jensen/Shannon散度为基础，将单溶质稀释指数（dilution index）的思想推广到多溶质：用归一化浓度作为概率密度，定义对称KLD（symmetric KLD，SKLD）与Jensen/Shannon发散，并构造取值0到1的混合指数（mixing index）及其时间导数混合速率（mixing rate）。论文发表于《Water Resources Research》。
关键技术方法上，研究人员采用三类工具：一是基于信息论的交叉熵与散度，用一致熵（consistent entropy）处理采样体积使熵量纲合理；二是有限差分法求解一维Fickian扩散下的双δ函数、双Heaviside函数等初始条件，并在无通量边界下计算SKLD与Jensen/Shannon指数；三是质量传递粒子追踪（mass-transfer particle-tracking，MTPT），用Scheidegger型速度依赖弥散张量把局部混合建模为粒子间质量传递、把展宽为随机游走，从而分离混合与展宽。
研究结果如下。
2 The KLD and Jensen/Shannon Cross-Entropies and Divergences：研究人员回顾KLD、对称KLD与Jensen/Shannon散度，指出KLD要求两密度在同一非零子空间，零浓度处不适用；Jensen/Shannon散度通过对p和q的平均分布取熵，能处理零浓度，且可推广到三个及以上水体。
2.1 The Mixing Index as a Link to the Dilution Index：研究人员把单羽流熵指数（稀释指数）推广为两不同羽流重叠程度的混合指数。双δ函数在无限域Fickian扩散下，混合指数随初始间距d显式变化，说明新指标天然包含不同水体初始分离信息；混合指数介于0与1之间，但不像稀释指数那样必然单调增长，因为不同运移参数可导致“非混合（unmixing）”。
2.2 Mixing Rates：研究人员定义混合速率?SKLD与?JS为混合指数对时间的导数，类比SDR衡量单溶质浓度方差破坏速率；双δ函数情形下混合速率约按t-1衰减，可与SDR比较以显示重叠而非梯度破坏。
3 Examples：研究人员用多组算例说明新指标性质。
3.1 Simple Diffusion：在一维Fickian扩散中，双δ函数数值解与无限域解析SKLD吻合；Heaviside方块初始条件因零浓度区使KLD类指标早期异常，Jensen/Shannon速率更能反映混合开始时刻；相关系数（correlation coefficient，CORR）在接近完全混合时因协方差与方差同趋于零而不可靠。
3.2 Plumes With Different Transport Properties：两羽流有不同滞留因子、速度与弥散系数时，上游快羽流与下游慢羽流先重叠混合，随后快羽流离开导致“非混合”；SDR对伪组分仍可数值计算但会出现负值，而JS/SKLD混合指数能刻画混合达峰后再下降。
3.3 Mass-Transfer and Random Walk Particle-Tracking Solutions：研究人员用MTPT说明混合是粒子间质量共享，展宽来自速度偏离的随机游走；用Scheidegger弥散张量Dij=Dmδij+αT|v|δij+(αL-αT)vivj/|v|，其中各向同性项代表混合、速度依赖项代表展宽。研究人员据此考察局部弥散概念化如何影响混合速率。
3.3.1 Mixing Versus Spreading in 1-D：一维中D=Dm+αL|v|，研究人员通过把混合部分用于粒子质量传递、把纵向展宽部分用于随机游走，显示同一总弥散系数下“混合—展宽”划分会根本改变混合速率。
讨论与结论部分：研究人员指出，单溶质稀释指标不能替代多水体混合指标；KLD类方法在零浓度与不同运移参数下有限制，Jensen/Shannon混合指数（Jensen/Shannon mixing index）更适合水文学与反应性溶质系统。初始条件、非均匀非稳态速度、各向异性且速度依赖的弥散共同控制总体混合速率，因此在孔隙尺度以上复杂流动中需要完整弥散张量。新指标可应用于任意数量羽流、反应性溶质、动力学吸附及移动—不动质量传递等场景；借助保守示踪剂估算JS重叠，还能在昂贵反应计算前预测反应可达性。结论是：Jensen/Shannon交叉熵提供的混合指数与混合速率，是可量化化学不同水体真实重叠、初始分离和多物种运移差异的通用框架。
