《Stochastic Processes and their Applications》：Asymptotics of returns to the coordinate axes for conditioned planar simple random walks
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**摘要** 本文研究二维最近邻随机游历返回坐标轴的次数。虽然一维随机游历返回原点的结果是经典的，但高维情形知之甚少。我们分析了在多种自然条件下返回次数的渐近行为：无条件的随机游历、桥、蜿蜒路径和非负桥（或游程）。我们的主要结果刻画了在适当重标度下的极限分布。所得到的二维边缘
**摘要** 本文研究二维最近邻随机游历返回坐标轴的次数。虽然一维随机游历返回原点的结果是经典的，但高维情形知之甚少。我们分析了在多种自然条件下返回次数的渐近行为：无条件的随机游历、桥、蜿蜒路径和非负桥（或游程）。我们的主要结果刻画了在适当重标度下的极限分布。所得到的二维边缘分布可能是半正态分布、瑞利分布、几何分布、负二项分布或它们的某些混合。在大多数情况下，各坐标是渐近独立的；然而，对于蜿蜒路径的情形，根据漂移的不同存在显著例外。证明依赖于对水平和垂直步数的条件化，这恢复了某种独立性，并通过二项卷积和伯恩斯坦型近似将问题归约为一维估计。**文章节选** **背景** 给定整数格 ? 上的一维随机游历，其返回原点 0 的次数是最广泛研究的统计量之一。它们与随机游历的波动、其常返或瞬返特性以及相关的格林函数（通过访问次数）密切相关。Feller [1]、[2] 和 Spitzer [3] 等经典参考著作提供了基本结果，包括用相关统计量（如首次通过时间）表示的精确恒等式以及极限定理，如当……时**路径分解与独立性** 从二维随机游历 (??1??,??2??)???0 出发，我们提取两个简单随机游历如下。对于 ??=1,2，考虑由 ????0=0 和 ??????+1=inf{??>??????∣??????≠???????1} 定义的停时序列，并令 ???????=??????????。序列 (???????)???0 是 ? 上的简单随机游历，向右一步的转移概率为 ?????=????/???，向左一步的转移概率为 ?????=????/???。见图 3。我们还将考虑序列 (Dn)n ≥ 1，定义为 ????=??{??????≠?????????}，它指示第 n 步是否……**? 上简单随机游历的估计与极限定理** 在本节中，我们汇集了一系列估计并证明了 ? 上简单随机游历的极限定理。其中大部分是已知的，但一些似乎是新的（参见例如定理 11 (2)）。本节的结果将作为获取二维情形估计和极限定理的基础。因此，在本节中，我们考虑 ? 上从 ??0=0 出发的一维随机游历 (Sn)n ≥ 0，其独立同分布增量为 ????=??????????1，满足 ?(????=1)=?? 和 ?(????=?1)=??，其中 p, q 是正数且满足……**定理 1 的证明** 考虑如 (2) 中定义的 ??????。同时回顾 ???? 表示水平步数的随机个数。由于 ?????? 仅记录"真正的"返回零点，即满足 ?????=0 但 ??????1≠0 的指标 ? 的个数，因此在条件 ????=?? 下，它等于随机游历 (??????)0????? 的零点个数 ???????；参见第 2 节开头，我们在那里引入了这一记号。因此，根据引理 6，我们有 ?(??1??
