多变量时空数据的矩阵值回归模型

《Spatial Statistics》：Matrix-valued regression model for multivariate spatio-temporal data

　　

摘要
在多个应用领域中——包括经济学、环境科学和区域研究——随着时间和空间自然观测到的多元数据日益普遍，这要求模型能够同时考虑空间和时间依赖。我们提出了一种面向多元时空数据的回归框架，将整个数据集表示为矩阵值响应。协变量效应通过线性均值设定纳入，而依赖关系则通过基于Kronecker积的可分离协方差模型来描述。我们推导了所有参数的极大似然估计量，并通过在不同空间依赖场景下开展模拟研究，考察了其有限样本行为。我们还提出并展示了适用于矩阵多元情形的残差诊断工具。将该方法应用于巴西各州的分行业国内生产总值数据，揭示了明显的时空模式以及人口与劳动力市场协变量之间可解释的关联。

引言
空间与时空分析在许多应用领域中起着核心作用，包括环境科学、神经影像、保险和农业。在这些场景中，多个变量在空间位置和时间点上被重复观测，由此产生了复杂的依赖结构，在统计建模中必须予以恰当考虑。此类数据天然适合用矩阵表示，其中一个维度索引响应变量，另一个维度索引观测单位——可能对应空间位置、时间点或时空组合。传统的基于向量的方法往往忽略这种结构，导致信息损失和可解释性下降。这些考量促使我们发展直接在矩阵上操作的回归框架，以保留多元数据的自然组织形式。

在本文中，我们考虑一种回归框架，其中整个数据集被表示为单个矩阵。为便于表述，我们将此设定称为矩阵值回归模型，强调响应被视为一个在其两个维度上存在结构化依赖的矩阵。这与存在多个矩阵值观测的情形不同，但为多元时空数据提供了自然的表示方式。在此语境下，"多元"一词指存在多个响应变量，对应矩阵的行，而矩阵值表述则反映了这些变量跨时空观测单位的联合建模。这一区分有助于阐明所提框架与经典多元回归模型之间的关系——后者通常将观测视为独立向量。

基于矩阵的及矩阵多元回归模型为分析具有结构化依赖的多元数据提供了系统方法。Ding和Cook（2018）提出了一种通用框架，其中响应是随机矩阵，预测变量可以是标量、向量或矩阵值。其表述考虑了响应元素之间的相关性，避免了向量化或分别对行和列建模所产生的效率损失。信封方法等扩展进一步削减了非实质性变异，改进了高维设置下的估计。在一个相关但不同的设定中，Viroli（2021）为三方数据开发了矩阵多元回归模型，其中存在多个矩阵值观测。该工作中引入的可分离协方差结构将变异分解为变量间和变量内组分，增强了可解释性。

尽管这些进展成功捕捉了二维依赖结构，但许多当代数据集展现出更为复杂的空间和时间相关模式。例如，在环境和农业研究中，多个响应变量在位置和时点上被记录，产生了天然以矩阵形式表示且具有时空依赖的结构化数据集。在此类场景中，仅基于标准矩阵多元设定的表述可能不够充分，因为它们没有明确考虑随空间和时间联合演化的依赖关系，而这恰恰是以空间为索引数据的关键特征。

为应对这些局限，已有若干扩展被提出。Landim和Gamerman（2000）开发了一种动态分层模型，其中观测服从矩阵正态（MVN）分布，通过一系列潜在矩阵方程实现时间演化，并通过Gibbs抽样进行估计。Salvador和Gargallo（2004）扩展了这一贝叶斯方法，在矩阵正态动态线性模型中考虑时变协方差矩阵。更近地，Lan等人（2019）引入了基于Wishart过程的空间矩阵多元回归模型，明确纳入了空间依赖；而Hsu等人（2021）提出了一种矩阵自回归表述，能够高效捕捉时空相关。Boyle等人（2024）进一步通过跨区域和时间观测的保险损失数据的应用，展示了基于矩阵的回归的实用意义。De Iaco等人（2023）提供了相关模型的广泛综述，包括多元地统计表述和环境预测的应用。总体而言，这些研究凸显了基于矩阵的方法对于空间和时空数据日益增长的重要性，尤其是在保留多元观测自然组织形式至关重要的时候。

尽管取得了这些进展，重要的挑战依然存在。贝叶斯动态表述（Landim和Gamerman, 2000; Salvador和Gargallo, 2004）通常依赖计算密集的抽样方案，且无法给出闭式估计量。基于更灵活随机过程的方法，如Lan等人（2019）的Wishart过程模型，提供了更大的建模灵活性，但计算代价相当可观。另一项局限涉及模型设定：大多数现有工作采用单一空间协方差结构，对不同表述的比较关注有限。此外，针对矩阵值数据固有的二维依赖结构的残差诊断工具仍然稀缺。标准多元工具无法充分利用残差矩阵的行列组织，仅能提供对模型充分性的部分评估。更广泛地说，将正则化技术纳入具有结构化矩阵响应的时空模型仍然相对未被探索（Otto等, 2024）。

这些局限直接促使了本研究贡献的产生，该研究将计算高效且灵活的建模框架与改进的诊断工具相结合。为应对这些问题，我们开发了一种矩阵值回归框架，用于处理跨空间位置和时间观测的多元数据。所提方法围绕三大特征构建。第一，在迭代翻番方案下为所有模型参数推导了基于似然的估计程序，为现有贝叶斯方法提供了可行且计算高效的替代；回归系数矩阵、变量间协方差矩阵以及可分离时空协方差组分均获得了闭式及简单优化更新的估计。第二，在统一建模框架内嵌入了多种空间协方差结构，并通过贝叶斯信息准则进行比较，实现数据驱动的模型选择，并便于评估空间依赖假设。第三，引入了一种分层诊断方案，利用残差矩阵的行列组织。位置-时间单位、响应变量和单个观测在三个互补的分辨率层级上进行检验，所得汇总被整合为全局拟合优度度量。均值结构还容纳了系数矩阵的多种设定，包括稠密、稀疏和基于交互的形式，使使用者能够根据问题平衡灵活性与简约性。

为说明所提方法，我们考虑了巴西26个州和联邦区2012至2021年逐年观测的分行业国内生产总值数据的应用。响应对应四大经济部门的GDP，人口和劳动力市场指标作为协变量。空间依赖通过州级中心点以地统计方式表示，使模型能够在统一框架中捕捉空间和时间模式。

本文其余部分组织如下。第2节介绍记号和预备结果。第3节给出所提时空回归模型，第3.1节详述空间和时协方差结构，第3.2节讨论系数矩阵的可能配置。第4节描述基于极大似然的估计程序，第5节讨论残差分析和模型诊断。第6节报告评估估计量性能的模拟结果，第7节呈现实证应用。第8节提供进一步讨论和未来研究方向。

初步知识
本节介绍定义所提矩阵值回归模型所需的记号和分布。全文中，维度为??×??的随机矩阵记为??，其元素为??????，其中??=1,…,??，??=1,…,??。协变量矩阵记为??。行列式和迹算子分别表示为|?|和tr(?)，‖?‖表示矩阵范数，?表示Kronecker积。按照惯例，随机变量用大写字母表示，其

时空数据矩阵值回归模型
我们考虑一个矩阵值回归模型，响应矩阵??∈???×??中，每一行对应一个不同的响应变量，每一列表示以空间和时间索引的观测单位。在时空应用中，这种索引自然源自空间位置和时间点的组合，我们记??=??×??，其中??和??分别表示空间位置数和时间点数。

这种表示容纳了多种场景，其中多个

似然函数形式与估计
在第3节定义的模型下，响应矩阵??∈???×??服从矩阵正态分布，均值为??=????，协方差结构为可分离形式???(??sp???tp)，即??～????×??(????, ??, ??sp???tp)，其中??捕捉响应变量之间的依赖，??sp和??tp分别建模空间和时间依赖。

参数集??={??, ??, ??sp, ??tp}的对数似然函数，不计加性常数，为：
?(??, ??, ??) = ?(??/2) log|??| ? (??/2) log|??| ? (1/2) tr[???1(???????)???1(???????)?]，
其中??=??sp???tp。

残差分析与模型检验
矩阵多元回归中的模型评估需要明确尊重由行协方差矩阵和列协方差矩阵诱导的二维依赖结构的诊断工具。在拟合模型下，残差矩阵???=????????预期近似服从矩阵正态分布，???≈????×??(??, ???, ???)。

尽管???并非理论误差过程的精确实现，但该近似为残差诊断提供了有原则的基础。特别是，当估计量(???,

模拟研究
本节报告了一项模拟研究，旨在评估所提矩阵值回归模型在受控时空依赖结构下的有限样本性能。我们重点关注在不同空间和时间分辨率下恢复回归系数矩阵、行协方差矩阵以及可分离列协方差结构的参数。此外，我们纳入了一项简单的样本外实验，以评估预测性能并比较

应用
本研究分析的数据来源于巴西地理与统计研究所（IBGE）发布的官方国民经济核算数据，通过SIDRA系统获取（Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), 2024），该系统提供各州年度国内生产总值（GDP）及相关经济指标。样本期涵盖2012至2021年，包括巴西全部26个州和联邦区，共27个空间单位，观测十年

讨论
本文提出了一种面向跨空间和时间观测的多元响应的矩阵值回归框架，在保留数据固有矩阵组织的同时，以简约的方式建模空间、时间和跨响应依赖。跨响应依赖通过行协方差矩阵??捕捉，空间和时间依赖则通过Kronecker结构??=??sp???tp分别纳入。通过在协变量

致谢
第二作者感谢CAPES/MEC/巴西政府提供的资金支持。研究使用了数学中心应用于工业（CeMEAI）的计算资源，该项目由FAPESP资助（拨款号2013/07375-0）。

Carlos A.R. Diniz | Victor E. Lachos Olivares | Victor H. Lachos