贝波-莱维空间中的椭圆拟变分-半变分不等式

《Nonlinear Analysis: Real World Applications》：Elliptic quasivariational-hemivariational inequalities in the Beppo-Levi space

　　我们的论文研究了在Beppo-Levi空间??1,??2(??)内的椭圆拟变分半变分不等式，该空间的特点是解依赖的约束集和凸泛函。我们的研究亮点体现在四个方面：
1. 对整个空间??上的椭圆拟变分半变分不等式（问题1.1）进行了通用框架的研究，将经典不等式理论作为特例包含其中。
2. 构造了一种没有显式障碍函数的新型惩罚算子，以解决解依赖约束集K(u)这一核心难题，推进了无界域上拟变分问题的惩罚范式。
3. 结合Kluge不动点定理和精细的惩罚方法，克服了Beppo-Levi空间嵌入到??中的非紧致性挑战。
4. 使用距离函数dK(·)将原问题重构为辅助的惩罚系统，使得在非紧致的整体空间环境中能够严格分析解的存在性。

### 引言
椭圆变分不等式理论可以追溯到20世纪60年代Lions和Stampacchia [1]以及Brézis [2]的开创性工作。在过去的几十年里，变分不等式得到了显著发展，并成功应用于力学、物理学和工程学中的许多问题；例如，参见[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]。
拟变分不等式是一种以未知解为依赖条件的不等式，它在20世纪70年代和80年代通过Bensoussan [12]、Kluge [13]以及Baiocchi和Capelo [14]的开创性贡献而被引入。此后，由于它们能够描述涉及自依赖约束的各种非线性现象，因此受到了广泛关注；例如，参见[15]、[16]、[17]。为了捕捉涉及解依赖约束和非凸能量势的更复杂的物理过程，已经发展并研究了多种拟变分-半变分不等式；例如，参见[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]。这些模型为描述接触力学、流体力学和非线性弹性学中的多种现象提供了一个强大的数学框架。
尽管取得了这些重要进展，现有的变分和拟变分不等式理论主要是在有界域上发展的，而在无界域上的相应分析仍然很大程度上未被探索。最近，Carl [25]、[26]开始了在整个空间环境中研究变分不等式的工作，其中[25]讨论了椭圆情况，[26]讨论了抛物线型变分-半变分问题。受这些工作的启发，本文研究了在整个空间??中提出的椭圆拟变分-半变分不等式。这种向无界域的转变自然是由物理应用所驱动的。在许多现实世界的问题中，例如流体流经广阔的多孔介质或半无限弹性体上的接触力学，物理域本质上是无界的。从数学上讲，这些模型可以表述为??上的椭圆拟变分半变分不等式。然而，在整个空间上工作会导致标准Sobolev空间中的嵌入失去紧致性。为了克服这一分析难题并恢复紧致性，我们采用了Beppo-Levi空间作为我们的函数框架。

设??=??1,??2(??)且2 ≤ p < N表示Beppo-Levi空间，设K: V → 2V是一个集值映射。给定一个非线性算子A: V → V*，一个函数??:??→??，一个势函数??:??×?→?，以及一个关于第二个变量凸的泛函??:??×??→?，我们考虑以下椭圆拟变分半变分不等式：
**问题1.1**：
寻找u ∈ K(u)，使得??????,????????*×??+∫????2(??)???(??,??;?????)????+??2(??,??)???2(??,??)?0 对所有??∈??2(??)。
这里，K(u) ? V表示一个解依赖（或状态依赖）的约束集。符号j?表示局部Lipschitz函数j的Clarke广义方向导数。

问题1.1提供了一个通用框架，其中包含几个经典不等式问题作为特例。一方面，如果??2(??)=??且??2(??,??)=??2(??,??)=0，问题1.1就简化为[25]、[27]中研究的??上的椭圆变分不等式。另一方面，将整个空间??替换为一个有界域Ω，问题就恢复为通常在抽象反射Banach空间中广泛研究的椭圆拟变分-半变分不等式；例如，参见[24]、[28]。其在有界域上的演化对应物也吸引了相当多的关注；例如，参见[29]、[30]、[31]。此外，施加固定约束条件??2(??)=??可以得到经典的椭圆变分-半变分不等式[10]、[32]、[33]、[34]、[35]，而额外假设??2(??,??)=??2(??,??)=0进一步恢复了标准的椭圆变分不等式[36]。
在[25]中讨论了一个与整个空间紧密相关的受限问题，其中通过惩罚方法建立了存在性结果。然而，[25]中提出的惩罚算子不适合我们的框架。鉴于约束集K(·)依赖于未知解u，我们受到了Migórski [28]的启发，采用基于距离的惩罚方法，使用dK(·)将集值约束转换为在V中定义的函数惩罚。在这个惩罚框架内，我们通过整合满射定理、Minty引理、Kluge不动点定理和加权Lebesgue空间理论来证明问题1.1的解的存在性。虽然惩罚方法是一种可行的方法，但直接应用不动点定理也是一种可行的选择。

为了解决问题1.1，我们引入一个非空的闭凸集C，使得K(u) ? C ? V。使用距离函数dK(u)(·)，我们构建了一个相应的惩罚项。这使得原问题1.1可以重构为以下带有惩罚参数λ > 0的辅助问题：
**问题1.2**：
寻找u ∈ C，使得??????,????????*×??+∫????2(??)???(??,??;?????)????+??2(??,??)???2(??,??)+1??[????2(??)2(??)?????2(??)2(??)]?0 对所有v ∈ C成立。
为了处理移动约束，我们使用了距离差惩罚1??[????2(??)2(??)?????2(??)2(??)]，这已被证明是建立状态依赖拟变分不等式可解性的有效工具（参见[28]）。从数学上讲，这个函数差是经典惩罚算子项的非光滑变分对应物。

有了这个惩罚项，我们继续分析问题1.2。首先，我们通过用固定元素w ∈ V替换能量泛函和约束中的未知u来构造一个辅助问题（见问题4.1），并通过满射性论证确定其可解性。接下来我们定义相关的解映射，并应用Kluge不动点定理得到惩罚问题1.2的解。我们进一步证明惩罚问题的解集在V中是紧凑的。最后，我们展示了随着??→0+，惩罚问题的解收敛到原问题1.1的解。

### 本文的其余部分结构如下
第2节介绍了我们讨论所需的基本数学概念和相关定理。第3节陈述了主要的相关假设。第4节我们使用Kluge不动点定理和满射结果证明了惩罚问题1.2的解的存在性。第5节我们研究了惩罚问题解序列的收敛性，并证明了其极限正是原始拟变分-半变分不等式(1.1)的解。

### 预备知识
对于任何σ ∈ (1, ∞)，令σ′表示其H?lder共轭，即1/σ+1/σ′=1。在???2(??)中的范数表示为‖·‖σ。对于Banach空间X和Y，符号X?Y和X??Y分别表示X到Y的连续和紧凑嵌入。X及其对偶空间X*之间的对偶配对表示为?·,·???*×X。

在本文中，我们假设2 ≤ p < N，并用??*=??3??????表示临界Sobolev指数。我们在Beppo-Levi空间??=??1,??2(??)中工作，该空间定义为??1,??2(??)={??∈????*2(??):∫??|????|??????}

### 假设和相关引理
接下来，我们陈述问题的主要假设：
**H(a)**：函数a: ??→??是可测的，并满足衰减条件
??a2(??)≤??a??2(??)
??对几乎所有??∈??成立，其中ca > 0是一个常数，w是在(2.1)中定义的权重函数。
**H(j)**：函数??:??×?→?满足：
??(i) j(·, s)在??上对每个??∈?是可测的，并且j(x, ·)在?上对几乎所有??∈??是局部Lipschitz的；
??(ii) 存在一个常数cj > 0和一个函数??∈????′2(??,??)，使得|??|≤??2(??)+????3|??|???1
??对所有的a.??∈??,???∈?,???∈????2(??,??)成立；
??(iii) 存在一个常数dj ≥ 0

### 问题1.2的解的存在性
在本节中，我们证明了惩罚问题的解的存在性和解集的紧凑性。我们采用不动点策略。首先，对于一个固定的元素w ∈ C，我们考虑下面的辅助问题：
**问题4.1**：
寻找u ∈ C，使得??????,????????*×??+∫????2(??)???(??,??;?????)????+??2(??,??)???2(??,??)+1??[????2(??)2(??)?????2(??)2(??)]?0 对所有v ∈ C成立。
定义????2(·)=??2(??,·)+1??[????2(??)2(·):??→?，我们从H(φ)(i)和引理3.1(d)推断出Rw是适当的凸集且下半连续的。

### 惩罚问题的解的收敛性
设{??}?∈?是一系列正的惩罚参数，使得??→0+ 随着??→∞。对于每个n，我们考虑惩罚问题：
**问题5.1**：
寻找un ∈ C，使得???????,?????????*×??+∫????2(??)???(??,???;??????)??????+??2(???,??)???2(???,???)+1??[????2(???)2(??)?????2(???)2(??)]?0 对所有v ∈ C成立。
根据定理4.7，在假设H(a), H(j), H(A), H(φ), H0和H(K)下，问题5.1至少有一个解。接下来，我们分析随着???→0+，问题5.1的解的收敛性。

### 资助
本工作得到了广西自然科学基金创新研究团队项目[资助编号2025GXNSFGA069001]、中国国家自然科学基金[资助编号12461023, 12361021]以及广西百色青年人才项目的支持。
作者：彭子佳 | 陈子贤 | 李秀文