一维城市犯罪系统经典解的长时间行为

《Nonlinear Analysis: Real World Applications》：Long-time behavior of classical solution to a urban crime system in dimension one

　　

摘要

本文研究一维城市犯罪系统：ut = uxx ? χ(S(u)vvx)x ? uv + ru ? μuk，vt = vxx ? v + uv，在有界区间[0, L]上，满足 S(u) ≤ s0·u/(u+1)^β 和 S'(u) ≤ s1/(u+1)^β，其中 β ∈ ? 且 s0, s1 > 0。当 β < 1/2 且 k, μ > 1 时，我们建立了 u 的上界关于系数 μ 的定量估计，并且进一步证明 (u, v, vx/v) 在 [L∞([0, L])]3 中指数收敛到 ((r/μ)^{1/(k?1)}, 0, 0)。

引言

本文考虑以下具有非线性聚集效应和逻辑斯蒂型源的城市犯罪系统：

$$
\begin{cases}
u_t = u_{xx} - \chi(S(u)vv_x)_x - uv + ru - \mu u^k, & x \in (0, L),\ t > 0, \\
v_t = v_{xx} - v + uv, & x \in (0, L),\ t > 0, \\
u_x = v_x = 0, & x = 0, L,\ t > 0, \\
(u(x, 0), v(x, 0)) = (u_0(x), v_0(x)), & x \in (0, L),
\end{cases}
$$

其中 χ, r, μ > 0, k > 1, S(u) ≤ s0·u/(u+1)^β 且 S'(u) ≤ s1/(u+1)^β，β ∈ ?，s0, s1 > 0。[0, L] ? ? 是一个有界区间，正初始数据满足 u0(x) ∈ C?(0, L) 且 v0, v'0, v'0/v0 ∈ L∞(0, L)。

该模型由 B.R. Short 等人在文献[1]中提出，旨在基于犯罪学和犯罪学行为策略的背景来捕捉城市犯罪热点的演化，特别是针对入室盗窃行为。这里 u 和 v 分别代表犯罪者的密度和吸引力值。交叉扩散项 ?χ(S(u)vvx)x 表明犯罪者会朝着高浓度的吸引力区域调整其移动方向，其中非线性密度敏感性 S(u) 描述了犯罪者在犯罪者密度影响下向机会区域聚集的强度。逻辑斯蒂型源 ru ? μuk 带有自发犯罪系数 r 和威慑强度 μ，表明自发犯罪者之间仍然为有限资源而相互竞争[2], [3]，这与文献[1]中选择的静态源不同。方程(1.1)中的衰减项 ?uv 表明犯罪者在发生犯罪后会放弃再次犯罪，而第二个方程中的非线性产生项 uv 则意味着由于犯罪学中的重复受害效应，每次犯罪活动都会增加吸引力值。

考虑在特定区域犯罪活动所对应的预设吸引力值，即向方程(1.1)的第二个方程中加入一些正则非负函数 B?(x, t)，并假设 inf_{t>0} ∫?? B?(x, t)dx > 0，则吸引力值 v 具有均匀正下界，这对于研究解的全局动态行为至关重要。

当 S(u) = u 且 r = μ = 0 时，文献[4], [5]中已获得 n = 1 情况下经典解的全局有界性和长时间行为，文献[6], [7]在初始数据小的假设下获得了 n ≥ 2 的结果。当 0 ≤ S(u) ≤ s0·u^β 且 β < 3/4, s0 > 0, r = μ = 0 时，文献[8]证明了 n = 2 时系统具有全局有界经典解。当 S(u) = u, r > 0 且 k > min{2, (n+4)/4} 对于 n ≥ 2 时，系统也具有全局有界经典解[3]。如果 B?(x, t) ≡ 0 且 S(u) = u, r = μ = 0，文献[9]在一维条件下获得了全局有界经典解。

关于经典或广义框架下解的全局动态行为，请参阅文献[2], [10], [11], [12]及其中的参考文献。

回顾一个具有奇异敏感性的相关趋化系统：

$$
\begin{cases}
u_t = \Delta u + \chi \nabla \cdot (uv \nabla v) + ru - \mu u^k, \\
v_t = \Delta v - v + uv,
\end{cases}
$$

其中 χ > 0。当 r = μ = 0 时，在 n = 1 的情况下，文献[13], [14]证明了存在全局经典解，且 (u, vx/v) 收敛到 (ū?, 0)，其中 ū? := (1/L)∫?? u? dx；在初始数据小的假设下，文献[15]对 n = 2, 3 的情况也获得了类似结果。此外，文献[14]指出 v 在 L∞ 范数下具有指数收敛性质，这取决于 1 ? ū? 的符号。当 n = 1, r, μ > 0 且 k > 1 时，文献[16]证明了系统具有全局有界经典解，且在 L∞ 范数下具有指数收敛性，这取决于 r ? μ 的符号。

在本文中，我们将研究方程(1.1)经典解的全局有界性和长时间行为。主要挑战在于，与文献[3], [4], [5], [6], [7], [8]中预设吸引力值（如(1.3)所示）不同，吸引力值没有先验的均匀正下界。然而，这可以通过处理对应非奇异反应扩散方程组 (u, w) 来克服，通过有效变换 w := ln v 在一维条件下进行，即：

$$
\begin{cases}
u_t = u_{xx} - \chi(S(u)w_x)_x - ue^w + ru - \mu u^k, & x \in (0, L),\ t > 0, \\
w_t = w_{xx} + w_x^2 + u - 1, & x \in (0, L),\ t > 0, \\
u_x = w_x = 0, & x = 0, L,\ t > 0, \\
u(x, 0) = u_0(x),\ w(x, 0) = \ln v_0, & x \in (0, L).
\end{cases}
$$

首先，我们基于泛函 $\mathcal{F}(t) := \int_0^L (u+1)\ln\left(\frac{u+1}{\alpha}\right)dx + \frac{1}{2}\int_0^L w_x^2 dx$ 建立了 u 的上界关于系数 μ 的定量关系，其中 $\alpha := e^{\frac{1}{2\beta}\left(1+\left(\frac{r}{\mu}\right)^{\frac{1}{k-1}}\right)}$。然后，我们利用泛函 $\mathcal{G}(t) := \int_0^L \left(u - a - a\ln\frac{u}{a}\right)dx + \frac{1}{2}\int_0^L w_x^2 dx + \int_0^L v\,dx$ 证明了 u 在 t → ∞ 时收敛到 a = (r/μ)^{1/(k?1)}，其中 a := (r/μ)^{1/(k?1)}，并进一步证明解 (u ? (r/μ)^{1/(k?1)}, v, vx/v) 在 [L∞(0, L)]3 中具有指数收敛性。现在，我们陈述主要结果。

**定理 1**

若 β < 1/2，k, μ > 1，χ, r > 0，则存在与 μ 无关的 K? > 0，使得

$$\|u\|_{L^\infty(0,L)} \leq K_0\left(1 + \mu^{-\frac{1}{k-1}}\right), \quad t > 0.$$

此外，存在 μ?, η? > 0 以及 $\bar{K}_0 > 0$，使得

$$\left\|u - \left(\frac{r}{\mu}\right)^{\frac{1}{k-1}}\right\|_{L^\infty(0,L)} + \|v\|_{L^\infty(0,L)} + \left\|\frac{v_x}{v}\right\|_{L^\infty(0,L)} \leq \bar{K}_0 e^{-\eta_0 t}, \quad t > 0,$$

前提是 μ > μ?。

**注 1**

若方程(1.1)中 r = μ = 0，则引理 2.2 中建立的 u 和 v 的质量也是有界的，与文献[9, 引理 2.3]中的结果一致，在 β < 1/2 的条件下，通过引理 2.3–2.5 中类似的论证可确保全局有界性。尽管由于没有预设吸引力值（与文献[3], [4], [5], [6], [7], [8]不同），吸引力值 v 没有先验的均匀正下界，但在一维条件下，逻辑斯蒂源足以平衡具有某些超线性密度敏感性的聚集效应，从而获得全局有界性并进一步得到经典解的长时间行为。

**注 2**

定理 1 表明，足够大的威慑强度 μ 有利于防止不可控的犯罪活动，并使其指数收敛到犯罪密度的长期平衡态 (r/μ)^{1/(k?1)}。因此，足够大的威慑强度 μ 和足够小的自发犯罪系数 r 有利于控制并进一步消除犯罪。

**预备知识**

基于标准不动点理论，方程(1.1)经典解的局部存在性可以通过与文献[9]中类似的论证获得。我们在此不作详细证明。

**引理 2.1** 假设初始数据 (u?, v?) 满足(1.2)。令 χ, r, μ > 0, k > 1 且 β ∈ ?。则存在 Tmax > 0 和一组函数 (u, v) ∈ (C?([0, L] × [0, Tmax)) ∩ C2([0, L] × (0, Tmax)))2 以经典意义求解(1.1)，且在 (0, L) × (0, Tmax) 中 u, v > 0。此外，Tmax = ∞，或

$$\limsup_{t \to T_{\max}} \|u\|_{L^\infty(0,L)} = \infty.$$

**长时间行为**

**引理 3.1** 若 β < 1/2 且 k, μ > 1，χ, r > 0，则存在 θ? ∈ (0, 1) 和 K? > 0，使得

$$\|u\|_{C^{\theta_0, \frac{\theta_0}{2}}([0,L] \times [t, t+1])} + \|w_x\|_{C^{\theta_0}([0,L])} \leq K_5, \quad \text{对所有 } t > 1.$$

**证明** 将方程(1.5)的第一个方程改写为

$$u_t = (a(x, t, u, u_x))_x + b(x, t, u), \quad x \in (0, L),\ t > 0,$$

其中 $a(x, t, u, u_x) = u_x - \chi S(u)w_x$ 且 $b(x, t, u) = -ue^w + ru - \mu u^k$。基于引理 2.5 中 u 的有界性和 Young 不等式，我们得到

$$a(x, t, u, u_x) \cdot u_x = u_x^2 - \chi S(u) \cdot u_x \cdot w_x \geq \frac{1}{2}u_x^2 - \frac{\chi^2}{2}s_0^2(u+1)^{2+2\beta}w_x^2 \geq \frac{1}{2}u_x^2 - \frac{C_{12}}{2}w_x^2$$

其中 $C_{12} = \frac{\chi^2}{2}s_0^2(2K_4)^{2+2\beta}$，以及

$$|a(x, t, u, u_x)| \leq |u_x| + \chi|S(u) \cdot w_x| \leq |u_x| + \chi s_0(u+1)^{1+\beta}|w_x| \leq |u_x| + \cdots$$

（原文在此处截断）