具有滑移边界条件的纳维埃-斯托克斯变分-次变分不等式的形状优化

《Nonlinear Analysis: Real World Applications》：Shape optimization for the Navier-Stokes variational-hemivariational inequality with slip boundary condition

　　

## 摘要

本文研究了一个变分-半变分不等式的形状优化问题，该不等式描述的是在有界区域中带有非单调滑移边界条件的不可压缩宾汉型流体的稳态Navier-Stokes模型。首先，我们给出了变分-半变分不等式的解在区域变化下的稳定性结果。然后，证明了该变分-半变分不等式的最优形状设计问题的存在性。最后，我们讨论了当正则化参数趋于零时，正则化变分-半变分不等式的形状优化问题的收敛性。

## 引言

自20世纪60年代以来，基于凸分析的变分不等式理论经历了巨大的发展，并已被应用于描述力学、物理学和工程科学中各种复杂现象的模型，参见[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]。该理论主要基于单调性和凸性的论证，包括凸函数次微分的性质。20世纪80年代初，受各种工业过程和未解决的物理现象的启发和推动，P.D. Panagiotopoulos提出了半变分不等式的概念，参见[8]。后者与Clarke意义下的局部Lipschitz函数的广义次梯度密切相关，参见[9]、[10]，并用于研究具有非凸和非光滑结构的系统，参见[7]、[11]。关于半变分不等式的存在性、唯一性和正则化的许多理论结果已经出现，参见，例如[12]、[13]、[14]、[15]、[11]。Navier-Stokes方程的变分不等式和半变分不等式的有限元近似在[16]、[17]、[18]、[19]中进行了研究。关于由变分不等式和半变分不等式控制的系统的最优控制问题的研究可在[20]、[21]、[22]、[23]、[24]中找到。

变分-半变分不等式构成一类包含凸和非凸不可微泛函的特殊不等式类。变分-半变分不等式理论已在各种流体力学模型中被广泛研究，例如Navier-Stokes方程在[25]中的研究，非牛顿流体和广义牛顿流体在[26]、[27]中的研究，以及定常和演化Oseen模型在[28]中的研究。在[29]中，研究了涉及多值映射的一类广义拟变分-半变分不等式，并分析了最优控制问题的解的存在性。在[30]中证明了一类一般椭圆混合变分-半变分不等式的适定性，参见[31]。近年来，宾汉型流体的变分-半变分不等式已被广泛研究。Migórski和Dudek在[32]中研究了宾汉型流体的一类变分-半变分不等式，去除了对广义次梯度放松单调性的假设。随后在[33]中将分析扩展到带有参数敏感性的拟变分-半变分不等式。宾汉型变分-半变分不等式的数值近似和最优控制在[34]中进行了开发，而在[35]中证明了在弱化假设下的存在性、唯一性和连续依赖性。

另一方面，形状设计是结构优化中的一个重要分支，与流场如何依赖于流动区域几何形状密切相关[36]、[37]、[38]、[39]。特别是，以非线性流体力学模型作为状态问题的形状优化具有重要的实际意义。经典例子包括飞机、汽车和风力涡轮机叶片的阻力最小化，以及外流中升阻比的提高[40]、[41]。除这些典型问题外，非牛顿流体的控制，尤其是宾汉流体，代表着日益增长的工业需求。宾汉流体以屈服应力为特征，广泛用于深井钻井泥浆、矿物浆料输送、水泥灌浆和污水污泥处理[42]、[43]。因此，定制流动边界的形状提供了一种减少泵送成本和防止沉降的实际策略。本工作研究了由Navier-Stokes变分-半变分不等式控制的宾汉流体模型的形状优化问题，该模型内在地将非凸、非光滑摩擦定律与非线性惯性项耦合在一起。

Haslinger等[44]、[45]研究了带有阈值滑移边界条件的Stokes问题的形状优化，其中分析了最优形状设计的离散化和收敛性。Navier-Stokes系统的形状优化问题的解的存在性也在[46]、[47]中进行了讨论。此外，在[48]中报告了由定态Navier-Stokes方程控制的形状优化的梯度型算法。随后，在[18]中提供了Navier-Stokes方程形状优化问题的数值分析。在以上所有参考文献中，由于势泛函是凸的，所考虑的问题被表述为变分不等式。最近，Fang等[49]研究了带有滑移边界条件的Stokes半变分不等式的形状优化问题，并考察了惩罚Stokes半变分不等式的形状优化。相比之下，我们的研究聚焦于Navier-Stokes变分-半变分不等式，其中涉及凸和非凸不可微泛函。

受上述研究工作的启发，本文研究了带有滑移边界条件的Navier-Stokes变分-半变分不等式的形状优化问题，该不等式代表了不可压缩宾汉流体运动模型。首先，基于状态问题关于区域变化的稳定性结果和代价泛函的下半连续性假设，我们建立了原始变分-半变分不等式形状优化问题解的存在性。值得注意的是，这里我们也采用内部光滑子区域逼近策略来处理区域变化方法。接下来，我们通过磨光对非凸、非光滑上势j进行正则化，并证明了正则化状态问题的解强收敛到原始解；相应的正则化形状优化问题的存在性结果也获得了。这种正则化既受存在性证明中适定逼近的需要所驱动，也受基于梯度的优化的可微性数值需求所驱动。值得一提的是，我们在状态问题中使用上势泛函j的正则化，而不是像[49]中对Γ1(β)上的不可渗透条件进行惩罚。这种方法在不改变基本边界约束的情况下保持了滑移条件的结构。关键挑战在于利用主算子的伪单调性来建立控制到状态映射的连续性。据我们所知，这是首次考虑带有滑移边界条件的Navier-Stokes变分-半变分不等式（描述不可压缩宾汉流体）的形状优化问题。

设Ω??^d为有界区域（开且连通集），d=2。边界Γ=?Ω假定为Lipschitz连续的，并划分为两个不相交的可测部分Γ0和Γ1，其中|Γ0|>0，|Γ1|>0。我们考虑如下形式的宾汉流体流动模型的Navier-Stokes问题：

$$\begin{cases} -\text{Div}\,\mathbb{S} + \rho\,\text{Div}(\boldsymbol{u}\otimes\boldsymbol{u}) + \nabla p = \rho\,\boldsymbol{f} & \text{在}\Omega\text{中}, \\ \mathbb{S} = \mu(\|\mathbb{D}\boldsymbol{u}\|_{\mathbb{M}_d})\mathbb{D}\boldsymbol{u} + g\,\frac{\mathbb{D}\boldsymbol{u}}{\|\mathbb{D}\boldsymbol{u}\|_{\mathbb{M}_d}} & \text{如果}\mathbb{D}\boldsymbol{u}\neq 0 \text{在}\Omega\text{中}, \\ \|\mathbb{S}\|_{\mathbb{M}_d}\leq g & \text{如果}\mathbb{D}\boldsymbol{u}=0 \text{在}\Omega\text{中}, \\ \text{div}\,\boldsymbol{u}=0 & \text{在}\Omega\text{中}, \\ \boldsymbol{u}=0 & \text{在}\Gamma_0\text{上}, \\ u_\nu=0, \quad -\boldsymbol{\tau}(\boldsymbol{u})\in q(\boldsymbol{u}_\tau)\,\partial j(\boldsymbol{u}_\tau) & \text{在}\Gamma_1\text{上}. \end{cases}$$

该系统描述了占据区域Ω的不可压缩宾汉流体的流动。守恒律(1.1a)支配不可压缩流体的流动。这里，$\mathbb{S}: \mathbb{M}_d \to \mathbb{M}_d$是附加应力张量，$\boldsymbol{u}: \Omega \to \mathbb{R}^d$表示流体速度，$p: \Omega \to \mathbb{R}$是压力，$\boldsymbol{f}: \Omega \to \mathbb{R}^d$是源项，ρ是流体的常数密度，为方便起见记为1。张量本构定律(1.1b)描述了宾汉型模型，其中$\mu: [0,\infty)\to\mathbb{R}$是给定的正粘度函数，$g: \Omega \to [0,\infty)$代表塑性阈值（屈服应力）。它指定了一个临界屈服应力g，使得当应力较高时，物体表现为粘性流体，而当应力较低时，不发生变形，流体开始表现为刚体。应变速度张量$\mathbb{D}\boldsymbol{u}=\frac{1}{2}(\nabla\boldsymbol{u}+(\nabla\boldsymbol{u})^\top)$表示$\boldsymbol{u}=(u_1,\ldots,u_d)$梯度的对称部分。注意，当g=0且$\mu(r)=\mu_0$时，本构定律简化为Navier-Stokes方程的牛顿流体模型。条件(1.1c)被称为无散条件，说明流体是不可压缩的。边界Γ上的单位外法向量记为ν。对于边界上的向量值函数v，我们用$v_\nu=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nu}$和$\boldsymbol{v}_\tau=\boldsymbol{v}-v_\nu\,\boldsymbol{\nu}$分别表示其法向和切向分量。(1.1e)中的第一个条件称为不可渗透（无泄漏）边界条件，说明流体不能穿过该边界流向区域外部。第二个条件描述了Γ1上的非单调滑移边界条件。此外，牵引力向量表示为$\boldsymbol{\tau}(\boldsymbol{u},p)=\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{u},p)\,\boldsymbol{\nu}$，在Γ1上，其中$\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{u},p)=-p\,\mathbb{I}+\mathbb{S}(\mathbb{D}\boldsymbol{u})$是总应力张量，$\mathbb{I}$是单位张量。注意?j表示j(x, ·)的Clarke广义次梯度。为简洁起见，我们经常省略各种函数对空间变量x∈Ω∪Γ的显式依赖。符号$\mathbb{M}_d$表示对称d×d矩阵的空间，$\mathbb{R}^d$和$\mathbb{M}_d$中的标准内积分别记为"$\cdot$"和"$:$"。

本文使用标准记号。给定赋范空间$(X,\|\cdot\|_X)$，令X*为其对偶空间。对(X*, X)的对偶括号记为$\langle\cdot,\cdot\rangle_{X^*\times X}$。当不会产生混淆时，我们通常省略下标。X中的范数和弱收敛分别记为"$\to$"和"$\rightharpoonup$"。从赋范空间E到赋范空间F的线性有界算子空间记为$\mathcal{L}(E,F)$，并赋予标准算子范数$\|\cdot\|_{\mathcal{L}(E,F)}$。给定集合S?X，我们令$\|S\|_X=\sup\{\|x\|_X\mid x\in S\}$。

设X为Banach空间。算子A: X→X*称为单调的，如果对所有的u, v∈X，成立$\langle Au-Av, u-v\rangle\geq 0$。算子A称为有界的，如果A将X中的有界集映射为X*中的有界集。算子A称为伪单调的，如果它是有界的，且$u_n\rightharpoonup u$在X中满足$\limsup\langle Au_n, u_n-u\rangle\leq 0$蕴含对所有v∈X，$\langle Au, u-v\rangle\leq\liminf\langle Au_n, u_n-v\rangle$。已知如果X是自反Banach空间，则A: X→X*是伪单调的，当且仅当它是有界的，且$u_n\rightharpoonup u$在X中满足$\limsup\langle Au_n, u_n-u\rangle\leq 0$蕴含$\lim\langle Au_n, u_n-u\rangle=0$且$Au_n\rightharpoonup Au$在X*中。

此外，我们回顾凸次微分和Clarke次梯度的定义，参见[50]、[14]。

**定义1.1** 设V为Banach空间，V*为其对偶空间。设$\varphi: V\to\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$为一个正则凸函数。由
$$\partial\varphi(x)=\{x^*\in V^*\mid\langle x^*, v-x\rangle\leq\varphi(v)-\varphi(x)\ \text{对所有}\ v\in V\}$$
定义的多值映射$\partial\varphi: V\to 2^{V^*}$称为φ的（凸）次微分，x*∈?φ(x)的元素称为φ在x∈V处的次梯度。

**定义1.2** 设V为对偶空间V*的Banach空间。设$f: V\to\mathbb{R}$为一个局部Lipschitz函数。f在x∈V处沿方向v∈V的广义方向导数，记为f?(x; v)，定义为
$$f^0(x;v)=\limsup_{w\to x,\,\lambda\downarrow 0}\frac{f(w+\lambda v)-f(w)}{\lambda}.$$
f在x∈V处的（Clarke）广义次梯度由
$$\partial f(x)=\{\xi\in V^*\mid f^0(x;v)\geq\langle\xi,v\rangle\ \text{对所有}\ v\in V\}$$
给出。

我们列出广义方向导数和广义次梯度的若干基本性质，参见[14, 命题3.23]。

**命题1.3** 设V为Banach空间，$f: V\to\mathbb{R}$为局部Lipschitz函数。则成立：(i) 对每个x∈V，函数$f^0(x;\cdot): V\to\mathbb{R}$是正齐次的和次可加的，即$f^0(x;\lambda v)=\lambda f^0(x;v)$对所有λ>0, v∈V成立，且$f^0(x;v_1+v_2)\leq f^0(x;v_1)+f^0(x;v_2)$对所有v?, v?∈V成立。(ii) 函数$f^0: V\times V\to\mathbb{R}$是上半连续的，即对所有x, v∈V，{x?}, {v?}?V使得x?→x和v?→v在V中成立，则$\limsup_{n\to\infty}f^0(x_n;v_n)\leq f^0(x;v)$。(iii) 对所有x, v∈V，有$f^0(x;v)=\max\{\langle\xi,v\rangle\mid\xi\in\partial f(x)\}$。

本文的组织如下。在第2节中，我们研究Navier-Stokes问题(1.1)的弱形式。在第3节中，我们给出与变分-半变分不等式相关的形状优化问题的表述并提供所需的辅助材料。形状优化问题的存在性结果在第4节中建立。在第5节中，我们讨论带有正则化多值项的变分-半变分不等式的形状优化问题，并分析该问题的稳定性。

## 各节片段

### 弱形式

为了分析问题(1.1)，我们首先引入函数空间：
$$\tilde{V}_{\text{div}}(\Omega)=\{\boldsymbol{v}\in C^\infty(\bar{\Omega};\mathbb{R}^d)\mid\text{div}\,\boldsymbol{v}=0\ \text{在}\Omega\text{中},\ \boldsymbol{v}=0\ \text{在}\Gamma_0\text{上},\ v_\nu=0\ \text{在}\Gamma_1\text{上}\},$$
$$V(\Omega)=\tilde{V}_{\text{div}}(\Omega)\text{在}\ H^1(\Omega;\mathbb{R}^d)\text{中的闭包}.$$

我们回顾Korn不等式的以下版本，参见[26, 定理8]：
$$\frac{c_K}{2}\|\boldsymbol{v}\|_{H^1(\Omega;\mathbb{R}^d)}\leq\|\mathbb{D}\boldsymbol{v}\|_{L^2(\Omega;\mathbb{M}_d)},\quad\text{对}\ \boldsymbol{v}\in V(\Omega),\ \text{其中}\ c_K>0.$$

已知在V(Ω)上，范数$\|\cdot\|_{H^1(\Omega;\mathbb{R}^d)}$和$\|\mathbb{D}\cdot\|_{L^2(\Omega;\mathbb{M}_d)}$是等价的。由Rellich-Kondrachov定理，参见[51, Sect. 2.6.1, 定理6.1]，我们知道当d=2时，嵌入
$$H^1(\Omega;\mathbb{R}^d)\subset L^s(\Omega;\mathbb{R}^d),\quad\text{对任何}\ 1\leq s<\infty$$

### 形状优化问题的表述

在本节中，我们为Navier-Stokes模型(1.1)表述一个形状优化问题，并提供后续所需的一些辅助材料。我们假设只有滑移边界部分Γ?(β)受到变化，Γ?(β)是函数β的图像，β属于适当函数集合Σ_ad。

此处及后文中，集合 $\Sigma^{ad}$ 和区域 $\Omega(\beta)$ 的定义如下：
$$\Sigma^{ad} = \left\{ \beta \in C^{1,1}([0,1]) \mid \beta_{\min} \leq \beta \leq \beta_{\max} \text{ 在 } [0,1] \text{ 上成立}, \, |\beta^{(i)}| \leq C_i, \, i=1,2, \text{ 在 } (0,1) \text{ 上几乎处处成立} \right\}$$
$$\Omega(\beta) = \left\{ \mathbf{x} = (x_1, x_2) \mid x_1 \in (0,1), \, x_2 \in (0,\beta(x_1)) \right\}$$

**最优形状的存在性**

本节将建立问题 ($\mathbb{P}$) 的解的存在性。考虑以下假设。

$\overline{H(f,g)}$: $\mathbf{f} \in L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}^d)$，$g$ 为正常数。

$\overline{H(q_\beta)}$: $q_\beta: \Gamma_1(\beta) \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ 是满足以下条件的函数：
(i) 对所有 $\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^d$、$\beta \in \Sigma^{ad}$，$q_\beta(\cdot, \boldsymbol{\xi})$ 在 $\Gamma_1(\beta)$ 上可测；
(ii) 对所有 $\beta \in \Sigma^{ad}$，几乎处处 $\mathbf{x} \in \Gamma_1(\beta)$，$q_\beta(\mathbf{x}, \cdot)$ 在 $\mathbb{R}^d$ 上连续；
(iii) 存在不依赖于 $\beta \in \Sigma^{ad}$ 的常数 $q_0, q_1 > 0$，使得对所有 $\beta \in \Sigma^{ad}$、$\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^d$，几乎处处 $\mathbf{x} \in \Gamma_1(\beta)$，均有 $q_0 \leq q_\beta(\mathbf{x}, \boldsymbol{\xi}) \leq q_1$；
(iv) 对任意 $\beta_n \to \beta$ 在 $C^1([0,1])$ 中，$\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^d$，均有 $\lim_{n \to \infty} q_{\beta_n}(\boldsymbol{\xi}) = q_\beta(\boldsymbol{\xi})$。

$\overline{H(j_\beta)}$: $j_\beta:$

**正则化问题**

本节我们将建立带有非线性正则化项的变分-半变分不等式的存在唯一性结果。此外，我们还将讨论正则化变分-半变分不等式形状优化问题的稳定性。

引入标准磨光子 $\ell \in C^\infty_0(\mathbb{R}^d)$，具有以下性质：
$$\ell(\mathbf{y}) \geq 0 \text{ 在 } \mathbb{R}^d \text{ 上成立}, \quad \text{supp}(\ell) \in [-1,1]^d, \quad \int_{\mathbb{R}^d} \ell(\mathbf{y}) \, d\mathbf{z} = 1$$
定义 $\ell_\varepsilon(\mathbf{y}) := \frac{1}{\varepsilon^d} \ell\left(\frac{\mathbf{y}}{\varepsilon}\right)$。则 $\text{supp}(\ell_\varepsilon) = D_\varepsilon$，即对任意 $\varepsilon > 0$，有 $D_\varepsilon \subset [-\varepsilon, \varepsilon]^d$。对 $\beta \in \Sigma^{ad}$：

**基金资助**

本项目得到欧盟地平线2020研究与创新计划玛丽·斯克洛多夫斯基-居里赠款协议No. 823731 CONMECH的资助，波兰共和国科学与高等教育部赠款No. 4004/GGPJII/H2020/2018/0和440328/PnH2/2019的资助，波兰国家科学中心项目No. 2021/41/B/ST1/01636的资助，以及重庆市基础前沿研究项目No. cstc2020jcyj-msxmX0738的资助，以及国家自然科学基金的资助。

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