二维情形下具有指数型向量场的拉梅系统动力学

《Nonlinear Analysis: Real World Applications》：Dynamics of the Lamé system with exponential vector fields in the two-dimensional scenario

　　

# 摘要

我们研究二维Lamé系统在具有线性阻尼和完全耦合的具有指数增长的非线性矢量场情形下的渐近动力学。我们方法中的关键分析工具是引入精确的Trudinger-Moser估计，这使我们能够建立相应动力系统的重要准稳定性和平滑性质。作为推论，我们证明了具有有限分形维数的整体吸引子和指数型吸引子的存在性。据我们所知，这是首篇在具有指数非线性的演化情景下研究二维Lamé系统的贡献。

# 引言

二维（及更高维）中的Lamé算子在弹性（及弹性静力学）材料的数学建模中起着核心作用，参见例如[1]（及[2]）。其稳态形式描述了占据有界域$\Omega \subset \mathbb{R}^2$的弹性体的平衡位移场$\mathbf{u}=(u_1, u_2)$，由如下二阶椭圆系统支配：

$$\mu \Delta \mathbf{u} + (\lambda + \mu) \nabla \text{div} \mathbf{u} = \mathbf{h} \quad \text{在} \Omega \text{中}$$

subject to appropriate boundary conditions，其中$\lambda$和$\mu$表示Lamé系数，$\mathbf{h}$表示外力。弹性Lamé算子也作为空间项出现在与各向同性弹性和结构力学相关的演化模型中，描述弹性体在三维空间中受内力和外力作用下的位移，参见例如[3, 第2节]。

受上述文章的启发，我们当前的工作针对二维Lamé系统的动态版本，结合了时间演化和非线性矢量源项。具体而言，我们研究在平面域中由弹性传播和指数源非线性驱动的半线性双曲系统的解的长时间行为：

$$\begin{cases} \partial_t^2 \mathbf{u} - \Delta_e \mathbf{u} + \alpha \partial_t \mathbf{u} + \mathbf{f}(\mathbf{u}) = \mathbf{h} & \text{在} \Omega \times \mathbb{R}^+ \text{中} \\ \mathbf{u} = 0 & \text{在} \partial\Omega \times \mathbb{R}^+ \text{上} \\ \mathbf{u}(0) = \mathbf{u}_0, \quad \partial_t \mathbf{u}(0) = \mathbf{u}_1 & \text{在} \Omega \text{中} \end{cases}$$

其中$\Omega \subset \mathbb{R}^2$是具有光滑边界$\partial\Omega$的有界域，$\mathbf{u}=(u_1, u_2)$是依赖于$(x, t)$的未知位移向量解，其中$x=(x_1, x_2) \in \Omega$且$t \geq 0$，$\alpha > 0$是阻尼系数，$\mathbf{h} = \mathbf{h}(x)$是给定的外力，$\mathbf{f}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$是矢量值非线性扰动，$\Delta_e$表示弹性Lamé算子：

$$\Delta_e \mathbf{u} := \mu \Delta \mathbf{u} + (\lambda + \mu) \nabla \text{div} \mathbf{u}, \quad \mu > 0, \quad \lambda + \mu \geq 0$$

据我们所知，演化问题(1.1)从未在具有指数非线性性的二维情形下被研究过。另一方面，其长时间动力学首先由[3]在三维情形（$\Omega \subset \mathbb{R}^3$）下进行了研究，随后其推广到高维（$\Omega \subset \mathbb{R}^n, n \geq 3$），参见例如[4]、[5]在非自治情形下以及[6]在$n=3$的延迟情形下。在这些情形中，作者在非线性源$\mathbf{f}(\mathbf{u})$具有多项式增长的情况下研究了(1.1)。更具体地说，在[3, 假设(A3)]中考虑了$\mathbf{f}(\mathbf{u}) = (f_1(\mathbf{u}), f_2(\mathbf{u}), f_3(\mathbf{u}))$，$\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$，被分解为具有耦合坐标的矢量分量以及具有未耦合标量坐标的分量，如：

$$(f_1(\mathbf{u}), f_2(\mathbf{u}), f_3(\mathbf{u})) = (g_1(\mathbf{u}), g_2(\mathbf{u}), g_3(\mathbf{u})) + (h_1(u_1), h_2(u_2), h_3(u_3))$$

其中$g_i: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$被假设为具有次临界多项式增长（参见[3]、[4]），标量函数$h_i: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$具有临界多项式增长（参见[3]、[4]、[6]）或如在[5]中为次临界。

更具体地说，[3]中对$\mathbf{f}(\mathbf{u})$的假设意味着非线性源被假设为满足(1.3)并具有如下多项式增长条件，对于某个常数$c > 0$：

次临界：$|g_i(\mathbf{u})| \leq c(1 + |\mathbf{u}|^p)$，对于$1 \leq p < 3$

临界：$|h_i(u_i)| \leq c(1 + |\mathbf{u}|^3)$

其中符号$|\cdot|$既用于$\mathbb{R}^n$中的欧几里得范数也用于$\mathbb{R}$中的模。在[5]、[6]中取$g_i \equiv 0$，即仅考虑未耦合标量坐标$h_i$。(1.4)和(1.5)之间的本质区别在于非线性性的分析结构。在对应于未耦合项$h_i$临界增长的标量框架下（如三维情形中的(1.5)），处理经典导数至二阶$h_i''$，对$\mathbf{f}(\mathbf{u})$临界增长所需的非线性分析被简化为标量分量$h_i(u_i)$的临界指数，进而可以使用与之前标量问题中类似的恒等式来进行；参见例如[7, 引理4.9]在粘弹性标量波动模型背景下的情况，以及[3, 命题5]和[6, 引理3.4]在Lamé系统情形下。另一方面，对于真正耦合的矢量场$\mathbf{g} = (g_1, g_2, g_3)$，次临界情形(1.4)（此处次临界指$p < 3$），分析仅需进行到一阶导数$g'(u)$作为线性算子$\mathcal{L}(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^3)$，因为动力学所需的紧性来自于次临界增长。这在文献中已被考虑，参见例如关于Lamé型系统的[3]，但矢量临界情形，即(1.4)中$p = 3$的情形要复杂得多，需要对二阶导数$g''(u)$作为$\mathcal{L}(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^3; \mathbb{R}^3)$中的双线性映射使用新的分析工具。作者将在即将发表的工作中处理具有完全耦合矢量非线性的三维临界情形。

近年来，Lamé系统(1.1)及其若干扩展，包括具有非线性阻尼、耦合系统、随机和非自治版本、三维或更高维度的延迟和粘弹性Lamé系统，在稳定性和渐近动力学方面已被广泛研究。然而，据我们所知，文献中所有现有工作都针对具有结构(1.3)以及导致(1.4)-(1.5)条件的矢量Lamé问题，这些条件在具有次临界条件(1.4)的矢量分量下通常有助于Sobolev嵌入。参见例如[4]、[5]、[6]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]。

回到二维设定（$\Omega \subset \mathbb{R}^2$），本文的主要目标是在首次针对具有完全耦合矢量非线性扰动$\mathbf{f}(\mathbf{u}) = (f_1(\mathbf{u}), f_2(\mathbf{u}))$的Lamé系统(1.1)进行研究中，该扰动导致如下指数增长条件：给定常数$\gamma > 0$，存在常数$C_\gamma > 0$使得

$$|\mathbf{f}(\mathbf{u})| \leq C_\gamma |\mathbf{u}| e^{2\gamma |\mathbf{u}|^2}$$

将(1.6)与(1.4)-(1.5)及分解(1.3)进行比较，可以看出我们超越了二维情形中的（多项式）临界增长，同时保持了$\mathbf{f}(\mathbf{u})$的完全耦合坐标。然而，根据文献，还存在其他（指数）临界和次临界配置的推论。鉴于该问题的物理和数学相关性，我们下面呈现一些关于椭圆、抛物方程，以及主要是双曲模型中指数增长假设的方面。

对于静态方程，按照[15]、[16]的遵循，给出如下定义：函数$f(x, s)$在无穷远处具有临界增长，如果存在$\alpha_0 > 0$使得

$$\lim_{s \to +\infty} \frac{|f(x, s)|}{e^{\alpha s^2}} = 0, \quad \forall \alpha > \alpha_0; \quad \lim_{s \to +\infty} \frac{|f(x, s)|}{e^{\alpha s^2}} = +\infty, \quad \forall \alpha < \alpha_0$$

且$f$在无穷远处具有次临界增长，如果

$$\lim_{s \to +\infty} \frac{|f(x, s)|}{e^{\alpha s^2}} = 0, \quad \forall \alpha > 0$$

类似地，次临界和临界的概念也可以在$-\infty$处定义。

相应地，这种临界性概念是由所谓的Trudinger-Moser估计所激发的，参见[17]、[18]。在此术语下，我们在假设2.2（见第2节）中对$\mathbf{f}'(\mathbf{u})$的假设，使得矢量场$\mathbf{f}(\mathbf{u})$满足(1.6)，等价于次临界（椭圆）情形(1.8)。这对于给出形如$\int_\Omega e^{\theta |\mathbf{u}(x,t)|^2} dx$的项的适当界是必要的，对于某些特定的$\theta$值，且$\mathbf{u}(\cdot, t) \in H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega)$。此外，这种指数增长假设对于生成对应于(1.1)的 dynamical system 是至关重要的，并且对于准稳定性和平滑性质也是极为关键的。这在Remark 2.2中也有说明。另一方面，在临界情形(1.7)下工作时，我们可能失去对$\int_\Omega e^{\theta |\mathbf{u}(x,t)|^2} dx$的动力学控制，这是一个基本估计，与Trudinger-Moser不等式一起用于达到适定性、通过准稳定性方法达到紧性性质，以及通过半群分解达到平滑性质。因此，这种临界椭圆情形将需要其他技术来研究(1.1)的渐近行为，如果可以的话，可以在未来的工作中完成。

在演化背景下，我们首先参考[19]，其处理的是二维半线性热方程，以及[20]考虑的是二维波动模型，两者都在全空间$\mathbb{R}^2$上；以及[21]、[22]、[23]在有界域$\Omega \subset \mathbb{R}^2$上处理二维波动型模型的论文，都具有指数非线性性。我们还引用[24]，其中在有界域$\Omega \subset \mathbb{R}^n, n \geq 2$上考虑了一个具有拟Laplacian和非线性指数扰动的拟线性模型。[20, 定义1]中引入的临界性概念涉及初始能量的大小，为了处理非线性指数项，作者依赖于Strichartz估计，这些估计可以处理流形上的波动方程（参见[25]），特别是在有界或无界域上，这些结果被广泛应用于$n \geq 3$时具有超三次非线性性的半线性标量波动问题以及$n = 2$时具有指数扰动的问题。相应地，这种混合范数Strichartz估计明确依赖于Laplacian算子$-\Delta$的主符号。然而，对于Lamé系统，主要空间算子$-\Delta_e$不仅仅是逐分量作用的Laplacian，除非在(1.2)中$\lambda = -\mu$。因此，与标量波动方程或系统不同，必须为Lamé系统开发新的Strichartz估计，涉及矢量和耦合分量，据我们所知，这在Lamé问题（特别是在有界域上）的文献中是未知的。

现在，让我们说明有界二维域上双曲问题的标准假设，如[21]、[22]、[23]、[24]。例如，在[22, 假设1.1]中，对标量波动系统采取了以下假设：设$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$是一个$C^1$函数，满足：

(i) 对每个$\beta > 0$，存在$C_\beta > 0$使得

$$|f(t)|, |f'(t)| \leq C_\beta e^{\beta t^2}, \quad \forall t \in \mathbb{R}$$

(ii) 在原点附近，函数$f$满足

$$\lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{t} = 0$$

(iii) 函数$\frac{f(t)}{t}$在$(0, +\infty)$上是递增的。

[21]、[23]要求类似的假设。此外，正如作者所指出的，假设(1.9)-(1.10)确保了以下估计：对每个$\beta, \varepsilon > 0$和固定的$p \geq 1$，存在$C_{\beta, \varepsilon, p} > 0$满足

$$|f(t)| \leq \varepsilon |t| + C_{\beta, \varepsilon, p} |t|^{p-1} e^{\beta t^2}, \quad \forall t \in \mathbb{R}$$

特别地，对每个$\beta > 0$，存在$C = C_\beta > 0$使得

$$|f(t) - f(s)| \leq C_{\beta, \varepsilon, p} [e^{\beta |t|^2} + e^{\beta |s|^2}] |t - s|, \quad \forall t, s \in \mathbb{R}$$

因此，我们已经到达本文的核心，即估计(1.11)。事实上，通过我们对$\mathbf{f}'(\mathbf{u})$的假设，参见第2节中的假设2.2，我们对矢量情形也得到一个类似(1.11)的估计（参见Remark 2.1），并且，相应地，我们处理由(1.6)给出的具有指数增长的函数。此外，如前所述，Trudinger-Moser不等式将有助于处理$e^{\beta |\mathbf{u}|^2}$的积分（参见Remark 2.2），这对于推导适定性、通过准稳定性方法得到渐近紧性以及通过半群分解得到平滑性质是根本性的。

在上述陈述下，为了研究矢量Lamé问题(1.1)，我们依赖于与有界域上双曲标量问题相关的假设，如[21]、[22]、[23]、[24]。然而，仍然基于上述陈述，本文似乎是首篇通过在非线性源项中引入指数增长来研究(1.1)在二维中的新动力学的论文。我们的贡献依赖于这样一个事实：第3节中为对应于问题(1.1)的动力系统$(\mathcal{H}, S(t))$获得的所有定性性质都是在$\mathbf{f}(\mathbf{u})$的指数设定下考虑的。特别地，在Corollary 3.4和Lemma 3.4中，我们证明了重要的准稳定性和平滑性质1，这对于在第4节中通过给出(1.1)的完整动力学分析来证明整体吸引子和指数型吸引子的存在性至关重要。

本文的其余部分组织如下。第2节专门介绍预备记号、假设和初始结果。第3节展示相应动力系统的定性性质。在第4节中，我们陈述并证明关于整体吸引子和指数型吸引子的主要结果。我们最后在附录A中对动力系统的一般结果进行了简要概述。

## 章节片段

### 记号

我们从$(L^p(\Omega), \|\cdot\|_p)$，$H^m(\Omega) = W^{m,2}(\Omega)$，$H_0^m(\Omega)$，$p, m \geq 1$开始，表示标量Lebesgue和Sobolev空间。为了处理(1.1)，我们还引入以下粗体空间，表示：

$$\mathbf{L}^p(\Omega) := L^p(\Omega) \times L^p(\Omega)$$

$$\mathbf{H}^m(\Omega) := H^m(\Omega) \times H^m(\Omega)$$

$$\mathbf{H}^m(\Omega) \cap \mathbf{H}_0^1(\Omega) := [H^m(\Omega) \cap H_0^1(\Omega)] \times [H^m(\Omega) \cap H_0^1(\Omega)]$$

以及通常的范数

$$\|\mathbf{u}\|_p^p = \sum_{i=1}^2 \|u_i\|_p^p, \quad \mathbf{u} = (u_1, u_2) \in \mathbf{L}^p(\Omega)$$

$$\|\mathbf{u}\|_{\mathbf{H}_0^1(\Omega)}^p = \sum_{i=1}^2 \|\nabla u_i\|_p^p, \quad \mathbf{u} = (u_1, u_2) \in \mathbf{H}_0^1(\Omega)$$

在特殊情况$p = 2$下，我们通过以下符号简化内积的表示：

$$(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sum_{i=1}^2 \int_\Omega u_i(x) v_i(x) dx := \sum_{i=1}^2 (u_i, v_i)$$

对所有

### $(\mathcal{H}, S(t))$的定性性质

为简单起见，我们在以下计算中使用$C$、$c$（或$C_i$、$c_i$）来表示几个不同的正常数，这些常数在估计中可能发生变化。

### 整体吸引子$\mathcal{A}$

**定理4.1 整体吸引子**

在定理2.2的假设下，由(2.19)给出的动力系统$(\mathcal{H}, S(t))$具有唯一的紧致整体吸引子$\mathcal{A} \subset \mathcal{H}$，它由从不动点集合$\mathcal{N}$（由(3.9)给出）发出的不稳定流形$\mathbb{M}^+(\mathcal{N})$所刻画。

此外，整体吸引子$\mathcal{A}$在$\mathcal{H}$中具有有限分形维度，即

$$\dim_f \mathcal{A} < \infty$$

且吸引子$\mathcal{A}$中的每条轨道$\mathfrak{U} = \{(\mathbf{u}(t), \mathbf{u}_t(t)); t \in \mathbb{R}\}$具有光滑性质

$$(\mathbf{u}_t, \mathbf{u}_{tt}) \in L^\infty(\mathbb{R}; \mathcal{H})$$

with

$$\sup_{\mathfrak{U} \subset \mathcal{A}} \sup_{t \in \mathbb{R}} \|(\mathbf{u}_t(t), \mathbf{u}_{tt}(t))\|_\mathcal{H} \leq R$$

for some constant $R$.

**R.G. Camara | P.F.M. Damazio | M.A. Jorge Silva | F. Natali**