卡尔沃的机器学习最优计划

《Journal of Economic Dynamics and Control》：Machine Learning Calvo’s Optimal Plan

　　

**摘要**

一个计算机程序计算出一对无限序列——货币创造率和物价水平通胀率（θ→, μ→）——以最大化一个仁慈的、处于时间0的政府的目标函数。一个单调递减的延续值序列的极限是一个与"无时间视角"相关联的最差延续值。与最差延续拉姆齐计划相关联的时不变通胀率，并不是与受限拉姆齐计划相关联的通胀率，在后者的限制中，时间0的政府被约束为必须选择一个时不变的货币创造率。我们运用贝尔曼方法对延续拉姆齐问题进行了处理。

**章节片段**

**题献**

我们很荣幸受邀在这一论文中庆祝米歇尔·朱亚拉对定量动态宏观经济学的贡献。我们通过在本文中研究米歇尔所钟爱的几个主题的部分方面，并借助米歇尔通过创建Dynare所教授和使我们能够使用的一些重要工具，来完成这一庆祝。米歇尔的工作展示了如何将人类高智能与机器学习相结合，以帮助制定良好的公共政策。与Kydland和Prescott（1977）的合作研究一样……

**模型**

Calvo的模型聚焦于以下两个方面的代际权衡：

- 代表性主体预期到未来通货紧缩所带来的效用——通货紧缩降低了该主体持有实际货币余额的成本，从而诱导该主体增加实际货币余额存量；以及
- 社会成本——政府征收扭曲性税收以回收从流通中撤回的纸币，从而产生预期的通货紧缩。

该模型具有以下特征：

- 理性预期

**受限最优计划**

我们的拉姆齐规划者选择μ→以最大化政府价值函数(10)，受限于方程(9)。考虑另一个不同的问题是有用的：规划者同样选择μ→以最大化政府价值函数(10)，但现在受限于方程(9)以及附加限制μt对所有t保持恒定。该问题的解是时不变的μt = μCR（对所有t ≥ 0），达到受限计划的值VCR。

**3 暴力梯度上升算法**

在本节中，我们通过应用Sargent和Yang（2025a）中所使用的相同梯度上升算法来计算拉姆齐计划。我们编写一个Python函数，输入一个截断的μ→序列并返回拉姆齐规划者的时间0目标值，然后将该函数交给梯度上升优化器。我们用货币增长率序列μt = 0（对所有t ≥ 0）初始化算法，然后迭代更新μ?直到收敛。

图1将拉姆齐计划的μt和θt（t = 0, …, T）与t作图。

**A 时间间隔Δ**

尽管Calvo（1978）在连续时间中构建了他的模型，但到目前为止我们一直以单位时间间隔的离散时间来构建我们的模型。为了接近Calvo的连续时间规范，在本节中我们考虑离散时间拉姆齐问题的一个版本，其中时间增量为Δ ∈ (0, 1]。设TΔ := {0, Δ, 2Δ, …}表示Δ时间网格。我们假设t ∈ TΔ，且pt+Δ = pt + Δθt，mt+Δ = mt + Δμt。政府价值函数变为：V = ∑t∈TΔ exp(?ρt) s(θt, …

**人类智能**

我们在开环形式下表示拉姆齐计划：

μt = f(t)，

其中函数f将t ∈ TΔ映射到μt ∈ R。图1和图4表明，拉姆齐规划者使μ→和θ→都随时间变化。

- θ→和μ→都单调递减。
- θ→和μ→从上方收敛到一个共同常数μ?。

虽然拉姆齐计划的开环表示尊重了拉姆齐问题在时间0一次性选择序列μ→的目的，但许多宏观经济学家和控制论研究者更偏好闭环表示。

**动态规划**

我们展示了Chang（1998）对拉姆齐问题的递归表述，并使用乐观策略迭代（OPI）来求解。我们表明离散时间和近连续时间模型都可以用相同的动态规划（DP）表述来求解。我们首先处理Δ = 1的离散时间模型，然后在7.1.1节中展示如何通过替换折现因子和缩放福利函数来将分析扩展到Δ = 0.001的近连续时间模型。

我们用以下近似……

**推迟拉姆齐计划的损失**

拉姆齐规划者选择一个货币增长率序列μ→ = {μt}t∈TΔ，以在约束系统(15)下最大化折现社会福利准则(14)。为了展示拉姆齐计划时间不一致性的某些方面，我们现在研究替代计划：时间0的规划者保持货币供应量不变直到时间t? ∈ TΔ，然后实施原始拉姆齐序列的时间平移版本。我们计算了这种延迟的拉姆齐计划以及相关的通胀序列。

**结论性评论**

状态变量θt在我们第7节的闭环递归拉姆齐计划表示中扮演多重角色：它是货币当局昨天承诺今天实现的通胀率，是代表性家庭昨天对本期通胀率的预测，也是实际通胀率。同一个变量扮演这些多重角色是理性预期模型中一个原则的体现——代表性私人主体的规则……

**利益冲突声明**

本文作者没有影响本文的利益冲突。本文纯属科学研究，无商业目的。

Thomas J. Sargent | Ziyue Yang