在摩尔-吉布森-汤普森热弹性力学模型（考虑扩散效应）下，分数阶应变以及材料属性的变化对二维半空间的影响

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：Impact of fractional-order strain and variable material properties on 2D half-space under Moore–Gibson–Thompson thermoelasticity with diffusion

　　摘要

本研究在Moore–Gibson–Thompson (MGT) 热弹性理论的框架内，考虑了具有质量扩散的二维弹性半空间的热扩散响应，并纳入了分数阶应变和可变材料属性。通过将分数阶导数应用于应力-应变本构关系，引入了分数阶应变，使得变形过程能够考虑机械加载的时间历史，从而描述介于胡克固体和牛顿流体之间的粘弹性行为。此外，假设热导率和质量扩散率分别与温度和化学势呈线性关系。半空间的边界表面无牵引力，并受到间歇性的、指数衰减的热载荷作用，而边界的化学势保持恒定。本研究的新颖之处在于首次在MGT热弹性框架内结合了分数阶应变、可变材料属性和质量扩散对二维半空间的影响。控制方程经过无量纲化处理，并利用拉普拉斯变换和傅里叶变换进行解析求解。得到的向量-矩阵微分系统通过特征值方法处理，以获得变换域中场变量的封闭形式表达式。然后使用基于傅里叶级数的算法结合Romberg积分将结果反变换到物理时空域。对铜的数值计算展示了可变热导率、扩散率和分数阶应变参数对场变量的影响。所提出的框架为分析半导体制造、基于氢的储能和航空航天结构中的耦合热-机械-扩散过程提供了全面的工具。

引言

随着对高性能工程系统需求的增长，人们对热弹性-扩散现象的兴趣也在增加，这些现象中热、机械和质量传输过程同时发生相互作用。在半导体制造中，快速热处理过程中的掺杂剂扩散会产生强烈的温度梯度和应力集中效应。同样，在电池和基于氢的储能系统中，质量扩散会导致体积膨胀效应，与温度场相互作用，从而产生扩散诱导的应力。在这种条件下，热传导、弹性变形和质量传输之间的相互作用需要一个一致的耦合框架。传统的扩散模型，特别是基于Fick定律的模型，往往忽略了扩散剂与基底之间的相互作用。为了解决这个问题，Nowacki [1]、[2]、[3] 提出了耦合热弹性-扩散理论，该理论预测热弹性和扩散波的传播速度是无限的。然而，当涉及的时间尺度仅为飞秒/皮秒 [4] 时，这显然与物理事实不符。理论和实验研究表明，热和质量的传输是以有限速度进行的 [5]。Sherief等人 [6] 通过将Lord–Shulman (LS) [7] 模型纳入广义热弹性-扩散理论中，解决了这一限制，从而得到了有限的波速。在此基础上，Sherief及其合作者 [8] 研究了渗透物质与边界表面相互作用的半空间配置。Aouadi等人 [9] 在Green–Naghdi (GN) [10]、[11]、[12] 框架内开发了非线性热弹性扩散模型。在耗散边界功率存在的情况下，Lazzari和Nibbi [13] 分析了III型和II型热弹性-扩散GN模型中三元二次系统的解的渐近行为。然而，GN-III模型存在与傅里叶理论相同的瞬时热波传播问题，正如Giorgi等人 [14] 所指出的。为了克服GN-III热弹性-扩散模型的局限性，Abouelregal [15] 提出了一种改进的公式，其中通过使用MGT方程修改了热传导和质量扩散方程。MGT方程最初由Moore、Gibson和Thompson [16]、[17] 为具有松弛效应的可压缩流体中的声波开发，当Kaltenbacher [18] 提供了严格的数学分析并创造了“Moore–Gibson–Thompson方程”这一术语后，这一方程重新受到了关注。Quintanilla [19] 随后证明，通过在GN-III热传导定律中引入松弛参数可以得到MGT方程，从而确立了解的稳定性和衰减特性，而Pellicer和Quintanilla [20] 得到了相关的唯一性和不稳定性结果。由于其具有更高阶的时间导数和显式的记忆效应，MGT框架随后被应用于波传播和微观尺度的热传输问题 [21]、[22]。当扩展到耦合热弹性-扩散系统时，MGT方程改善了瞬态响应预测，减少了非物理振荡，并提高了波传播分析的准确性。最近的工作通过引入记忆效应和非局部行为，进一步发展了基于MGT的热弹性-扩散理论 [23]。Abouelregal等人 [24] 和Atta等人 [25] 在不同的几何和松弛条件下研究了MGT类型的热和质量传输，而Adel等人 [26] 和Abouelregal将这些模型扩展到了移动载荷问题。进一步的近期贡献包括在Klein–Gordon非局部框架内研究多孔弹性介质中的化学势扩散，并借助机器学习预测 [27]，以及分析在初始应力、旋转和磁场作用下的分数阶热弹性中的平面波反射 [28]。

引言

对高性能工程系统的需求增加，使得热弹性-扩散现象的研究日益受到重视，这些现象中热、机械和质量传输过程同时发生相互作用。在半导体制造中，快速热处理过程中的掺杂剂扩散会产生强烈的温度梯度和应力集中效应。同样，在电池和基于氢的储能系统中，质量扩散会导致体积膨胀效应，与温度场相互作用，从而产生扩散引起的应力。在这种情况下，热传导、弹性变形和质量传输之间的相互作用需要一个一致的耦合框架。传统的扩散模型，尤其是基于Fick定律的模型，往往忽略了扩散剂与基底之间的相互作用。为了解决这个问题，Nowacki [1]、[2]、[3] 提出了耦合热弹性-扩散理论，该理论预测热弹性和扩散波的传播速度是无限的。然而，当涉及的时间尺度仅为飞秒/皮秒 [4] 时，这与物理事实不符。理论和实验研究表明，热和质量的传输是以有限速度进行的 [5]。Sherief等人 [6] 通过将Lord–Shulman (LS) [7] 模型纳入广义热弹性-扩散理论中，得到了有限的波速。在此基础上，Sherief及其合作者 [8] 研究了渗透物质与边界表面相互作用的半空间配置。Aouadi等人 [9] 在Green–Naghdi (GN) [10]、[11]、[12] 框架内发展了非线性热弹性扩散模型。在耗散边界功率存在的情况下，Lazzari和Nibbi [13] 分析了热弹性-扩散GN模型II型和III型中出现的三元二次系统的解的渐近行为。然而，GN-III模型存在与傅里叶理论相同的瞬时热波传播问题，正如Giorgi等人 [14] 所指出的。为了克服GN-III热弹性-扩散模型的局限性，Abouelregal [15] 提出了一种改进的公式，其中通过使用MGT方程修改了热传导和质量扩散方程。

MGT方程最初由Moore、Gibson和Thompson [16]、[17] 为具有松弛效应的可压缩流体中的声波开发，当Kaltenbacher [18] 提供了严格的数学分析并创造了“Moore–Gibson–Thompson方程”这一术语后，这一方程重新受到了关注。Quintanilla [19] 随后证明，通过在GN-III热传导定律中引入松弛参数可以得到MGT方程，从而确立了解的稳定性和衰减特性，而Pellicer和Quintanilla [20] 得到了相关的唯一性和不稳定性结果。由于其具有更高阶的时间导数和显式的记忆效应，MGT框架随后被应用于波传播和微观尺度的热传输问题 [21]、[22]。当扩展到耦合热弹性-扩散系统时，MGT方程改善了瞬态响应预测，减少了非物理振荡，并提高了波传播分析的准确性。最近的工作通过引入记忆效应和非局部行为，进一步发展了基于MGT的热弹性-扩散理论 [23]。Abouelregal等人 [24] 和Atta等人 [25] 在不同的几何和松弛条件下研究了MGT类型的热和质量传输，而Adel等人 [26] 和Abouelregal将这些模型扩展到了移动载荷问题。进一步的近期贡献包括在Klein–Gordon非局部框架内研究多孔弹性介质中的化学势扩散，并借助机器学习预测 [27]，以及在初始应力、旋转和磁场作用下的分数阶热弹性中的平面波反射 [28]。

近年来，分数微积分越来越多地被引入热弹性建模中，以更好地捕捉材料的记忆依赖行为。Magin和Royston [29] 将分数导数引入应力-应变关系，表明材料响应可以通过应变导数的阶数来表征。在这个框架中，零阶导数对应于胡克固体的机械变形，一阶导数代表牛顿流体行为，而中间的分数阶数描述了粘弹性材料。受到这一概念的启发，Youssef [30] 提出了一种基于分数阶应变的广义热弹性理论，通过修改经典的Duhamel–Neumann应力-应变关系，使得变形过程能够考虑热和机械加载的时间历史。此后，多项研究探索了这一理论在各种热弹性问题中的应用，包括夹层结构 [31]、多层介质 [32] 和三维热弹性模型的分析。这些研究表明，引入分数阶应变可以改善粘弹性效应的表示，并通常导致热机械分析中的温度、应力和位移分布更加平滑。分数阶模型作为捕捉材料中的记忆依赖和非局部热机械效应的工具越来越受到重视，而在经典傅里叶定律无法提供充分描述的情况下尤其如此。最近的工作将这些框架扩展到了涉及半导体材料、磁性介质和多物理相互作用的耦合热弹性问题，展示了它们的广泛适用性和预测能力 [33]、[34]、[35]、[36]。在许多实际情况下，假设材料属性恒定是不现实的，特别是当材料受到高温或强热梯度作用时。因此，将这些参数视为常数可能导致热扩散响应的预测不准确。可变热导率和扩散率的影响在许多工程应用中尤为重要，例如集成电路制造、地热系统、原油提取、多孔材料的干燥以及核反应堆或航空航天结构中的组件。大量研究表明，热导率和扩散率强烈依赖于温度和扩散物质的浓度，因此将这些可变属性纳入热机械模型可以提供更真实的耦合热扩散系统中的热和质量传输描述 [37]、[38]、[39]。

最近的贡献进一步发展了在不同几何形状和物理条件下的分数阶、非局部和记忆依赖的热弹性建模，包括具有非奇异核的分数双相滞后 (DPL) 公式 [40]、[41]、在激光和爆炸激励下的非局部MGT和磁热弹性模型 [42]、[43]、[44]、圆柱形和多孔结构中的非局部热弹性扩散 [45]、[46]、磁压电热弹性和磁弹性纳米棒的非局部振动和波动分析 [47]、[48]，以及生物组织中的分数热传导 [49]。相关技术还应用于耦合生物对流纳米流体传输 [50]、半导体介质中的分数光热弹性 [51]，以及具有相位延迟的微极介质中的非局部热弹性 [52]。现有文献的回顾表明，虽然目前在公式中结合的各个理论元素已经分别或部分组合进行了研究，但没有现有研究将它们结合在一个模型中。特别是，Abouelregal和Sedighi [15] 开发了一个MGT热弹性-扩散模型，但没有分数阶应变或可变材料属性；关于热弹性-扩散介质中可变热导率和扩散率的研究 [37]、[38]、[39] 是在Lord-Shulman或双温度框架内进行的，没有MGT松弛结构或分数阶应变；Geetanjali和Sharma [53] 将分数阶应变和粘度纳入了MGT热弹性模型，但没有质量扩散。表1总结了与这些密切相关近期工作的比较。据作者所知，本研究是第一个同时在MGT热弹性-扩散框架中纳入分数阶应变以及温度和化学势依赖的可变材料属性的二维半空间模型。

鉴于这一空白，本研究旨在开发一个统一的二维MGT热弹性-扩散模型，该模型同时纳入分数阶应变和可变材料属性，并通过封闭形式的特征值解和数值模拟系统地量化这些特征对半空间耦合热机械-扩散响应的影响。假设半空间的表面无牵引力，并受到间歇性的指数衰减的热载荷作用，而边界的浓度保持恒定。控制方程使用拉普拉斯变换和傅里叶变换进行公式化和求解，然后利用特征值方法处理得到的向量-矩阵微分系统。随后使用数值反演技术将场变量反变换到时空域。通过图形结果说明了分数参数和可变材料属性对温度、化学势、位移和应力分布的影响，并进行了讨论。本文的其余部分组织如下：第2部分介绍数学建模，包括基本假设、基本控制方程和与现有热弹性理论一致性的极限情况；第3部分描述了在纳入分数阶应变和可变材料属性的MGT热弹性扩散框架内的二维问题配置；第4部分阐述了初始和边界条件；第5部分概述了使用拉普拉斯变换和傅里叶变换以及特征值方法的解析解程序；第6部分详细介绍了用于恢复物理时空域中场变量的数值反演技术；第7部分提出了数值结果和图形讨论；第8部分总结了主要结论，第9部分提出了未来的研究方向。

基本假设

本节中提出的控制方程是在以下假设下推导出的：

1. 假设介质是线性的、均匀的、各向同性的，即物理量可以忽略高阶项，材料属性在空间上是均匀的且方向无关的。
2. 没有考虑体力源和热源。
3. 通过分数阶导数将机械响应中的记忆效应纳入考虑。

问题描述

为了研究介质的热扩散响应，考虑了一个由MGT热弹性-扩散理论框架控制的二维弹性半空间，该理论结合了分数阶应变和可变材料属性。介质占据区域y≥0，其中平面y=0表示图1中给出的半空间的边界表面。介质的位移分量用u(x,y,t)和v(x,y,t)表示，分别沿x轴和y轴作用。

初始和边界条件

最初，假设固体处于静止状态，未变形且不受干扰。因此，初始条件表示为：
u(x,y,0)=0, ?u/?t(x,y,0)=0, v(x,y,0)=0, ?v/?t(x,y,0)=0, θ(x,y,0)=0, ?θ/?t(x,y,0)=0, fort=0, x≥0, y≥0。

半空间的边界表面位于y=0。假设表面无牵引力，并受到时间依赖的热载荷作用，而边界的化学势保持恒定。因此，边界条件为：
[59] θ(x)

问题解决

为了解决所提出的模型，应用了关于时间t的拉普拉斯变换和关于空间坐标x的傅里叶变换，定义如下：
L{F(x,y,t)}=F?(x,y,s)=∫0∞exp(?st)F(x,y,t)dt,
F{F?(x,y,s)}=F?(q,y,s)=∫?∞∞exp(ιqx)F?(x,y,s)dx。

将上述变换应用于方程(40)–(47)后，得到：
σ?xx=1β2s0(β′2(ιqu?+dv?dy)?2dv?dy)?α1β2ψ?1?α2ψ?3,
σ?yy=1β2s0β′2(ιqu?+dv?dy)?2ιqu??α1β2ψ?1?α2ψ?3,
σ?xy=1β2s0(du?dy+ιqv?),
C?=gβ2β1ψ?1+α2β2s0(ιqu?+dv?dy)+ψ?3,

λ2u?

拉普拉斯-傅里叶变换的反演

在前一节中，获得了变换域中场变量的解析表达式。为了恢复时空域中的物理解，需要逆变换。反演过程分为两个阶段进行。首先，应用逆傅里叶变换：
f?(x,y,s)=1/2π∫?∞∞f?(q,y,s)e^(-ιqx)dx=1/π∫0∞f?ecos(qx)?f?osin(qx)dx，

其中f?e和f?o分别表示f?(q,y,s)的偶数和奇数分量。对于固定的x和y值，

计算解释和讨论

本节展示并解释了半空间热弹性-扩散响应的数值结果。计算以铜作为参考材料，其物理属性列在表5中。所有模拟都在x=0.5处进行，对于无量纲值t=4.8，τ0=0.06，τ1=0.2，τe=0.01。数值结果分为两组。图3和图4研究了变量材料属性参数K1和D1的影响。结论本研究利用MGT热弹性-扩散理论，结合分数阶应变和可变材料属性，探讨了二维均匀各向同性半空间的热弹性-扩散响应。从数值结果中得出的主要结论如下：1. 可变热导率（K1）的影响：增加K1可以降低温度变化的峰值及其空间衰减速率，表明热导率具有温度依赖性。未来研究方向当前模型是为线性各向同性半空间在热点载荷下的情况建立的。该研究可以在几个有意义的方向上进行扩展：• 可以研究替代的边界载荷配置，例如激光脉冲加热、渐变型热输入或指数衰减的热源，以模拟实际的制造和医疗场景；• 可以将所提出的模型应用于功能梯度和非均匀材料；• 可以将模型扩展到更复杂的情况。作者贡献声明Rozy Sharma：负责撰写初稿、方法论、形式分析及概念化。Pawan Kumar Sharma：负责审阅与编辑、可视化以及验证和监督工作。利益冲突声明作者声明他们没有已知的可能影响本文研究的财务利益冲突或个人关系。致谢作者Rozy Sharma感谢印度大学拨款委员会（UGC）提供的研究奖学金（SRF）资助。作者还使用了基于人工智能的写作辅助工具来进行语言编辑和语法润色。