超弹性半球接触的闭式解与柔性压阻式压力传感器的正向设计

《International Journal of Solids and Structures》：Closed-form solutions for contact of hyperelastic hemisphere and forward design of flexible piezoresistive pressure sensors

　　

摘要

柔性压阻式压力传感器（FPPS）被广泛应用于软体机器人和可穿戴系统中，其中灵敏度、压力范围和线性度必须经过合理调优。这些要求通常通过多层微结构架构来满足，其中电阻随压缩下产生的有效接触面积而变化。然而，大多数设计仍然停留在经验层面，因为针对超弹性微凸柱接触响应的解析模型相当有限。本研究基于超弹性半球形微结构压缩的闭式解，开发了一套用于多层柔性压阻式压力传感器的正向设计框架。通过对聚二甲基硅氧烷（PDMS）进行单轴压缩和半球形压缩试验，识别出一种合适的超弹性本构模型。随后推导了超弹性半球与刚性平面压头接触问题的闭式解。通过实验和有限元模拟考察了这些解在不同超弹性材料和几何形状的半球接触问题中的适用性。然后利用所得到的接触载荷和接触面积解，设计了一种满足规定传感器目标的四层传感器架构。通过将压力相关的接触面积演化与电阻变化相关联，该框架为在规定的压力范围内平衡传感器性能提供了系统性基础。该方法通过使用炭黑/聚二甲基硅氧烷复合材料微结构以及在压缩下的电阻-压力测量进行验证。针对低、中、高压力范围设计的传感器证实了该方法预测能力，并量化了在设计空间内可达到的灵敏度。对于工作范围至10 kPa、初始剪切模量为0.528 MPa的传感器，实现了280 kPa?1的灵敏度。

引言

压力传感器将机械输入转换为可测量的电输出，并应用于工业系统、生物医学仪器、机器人、可穿戴设备和人机交互界面（Esashi等，1998；Liu等，2007）。与传统的刚性传感器相比，柔性压力传感器能够承受弯曲、拉伸和较大的表面变形，从而实现对曲面和柔性基底的共形接触。这种机械柔顺性使其在软体机器人、可穿戴技术、电子皮肤和人机交互系统中具有重要意义（Li等，2018；Li等，2023；Wang等，2021；Zhang和Zhang，2024）。柔性压力传感器通常根据其换能机制被归类为压阻式、电容式、压电式或摩擦电式器件（Xu等，2018）。电容式传感器通过电极间距或介电几何形状的变化引起的电容变化来检测压力，而压电式传感器则在机械变形下产生电荷。摩擦电传感器依赖于重复接触-分离过程中的接触起电和静电感应（Neeraj和Gupta，2025）。在这些技术中，柔性压阻式压力传感器（FPPS）尤为引人注目，因为它们直接将施加的压力转换为电阻变化，同时保持简单的架构、广泛的材料兼容性和直接的集成性。这些特点使FPPS成为研究最广泛的柔性压力传感平台之一（Li等，2021）。

如图1所示，典型的柔性压阻式压力传感器（FPPS）由上电极、敏感层、下电极和封装层组成（Chen和Yan，2020；Zong等，2025）。封装层通常由柔性绝缘材料制成，包括聚二甲基硅氧烷（PDMS）、聚对苯二甲酸乙二醇酯和聚酰亚胺薄膜，以保护内部传感结构免受机械退化和环境侵蚀（Gong等，2014）。上电极和下电极通常由柔性导电材料形成，如金属纳米线、导电聚合物、石墨烯基薄膜和碳纳米管基薄膜（Khalid等，2025；Vosgueritchian等，2012）。敏感层提供主要的压力相关电响应，通常通过在弹性聚合物基质（如PDMS、Ecoflex或聚氨酯）中分散导电填料（包括炭黑（CB）、碳纳米管和金属纳米粒子）来制备，或者使用具有多孔微架构的导电泡沫和海绵（Chen等，2025；Ji等，2022）。

在施加压力下，柔性压阻式压力传感器中敏感层的电响应通常由五种机制中的一种或多种决定：接触电阻、本征压阻效应、隧穿、裂纹扩展和离子电子效应（Roh等，2015；Schwartz等，2013；Yao等，2013）。接触电阻是最常报告的机制。根据压力引起的相互作用位置，它可以源自敏感层内部的电阻变化（Cui等，2021），或者源自敏感层与电极界面处的变化（Choong等，2014）。例如，Li等（2026；Li等，2025）分别提出了基于多物理场的微机械模型和多尺度均匀化模型，以表征多孔纳米复合材料的传感行为，展示了多孔结构在柔性压力传感器中的潜力。

微结构敏感层通常被用于通过促进敏感层与电极界面处接触电阻的大幅变化来提高FPPS的灵敏度和线性度（Choong等，2014）。早期工作主要集中在单层微结构上，并显示出压力灵敏度的显著提升（Li等，2020；Zhang等，2021）。Zhu等（2014）开发了一种具有单层金字塔形微结构的石墨烯传感器，其表现出超低的检测限、低压下的快速响应，以及在延伸至100 kPa的线性范围内的5.53 kPa?1灵敏度。Singh等（2022）报道了一种具有半球形微特征的PDMS传感器，在10 kPa的压力范围内获得了9.51 kPa?1的灵敏度。Huang等（2024）引入了一种结合分层脊状特征与微球阵列的传感器，实现了39.1 kPa?1的灵敏度和100 Pa至160 kPa的检测范围。Neeraj和Navneet Gupta（Neeraj和Gupta，2026）研究了在FPPS中协调高灵敏度与宽传感范围的挑战，以优化三种几何结构阵列。结果表明，具有金字塔阵列结构的传感器在0-0.1 kPa下实现了785 kPa?1的最高灵敏度，并表现出优异的压力分布和变形特性。

单层传感器通常受到灵敏度随压力增加而迅速降低的限制，这将其线性工作限制在狭窄的压力区间内。多层微结构已被引入以缓解这一限制，通过促进压缩下的渐进式接触演化。这些架构可以大致分为基于简单几何单元（如金字塔）的堆叠配置和受自然表面形态启发的人工仿生配置。例如，Chen等（2023）开发了一种双面金字塔形微结构，线性范围为1.4 MPa，灵敏度为24.6 kPa?1。Wang等（2022）提出了一种受芦苇叶启发的堆叠结构，在107 kPa的线性范围内实现了2.54 kPa?1的灵敏度。Shi等（2018）报道了一种受荷叶启发的结构，在25 kPa的线性范围内灵敏度为1.2 kPa?1。这些研究表明，多层架构可以扩展可用的传感范围，尽管其设计仍然主要依赖于选择的表面图案，而不是基于预测性力学的设计框架。

总之，多层微结构可以提高柔性压阻式压力传感器的灵敏度和线性度。然而，现有的设计过程仍然主要停留在经验层面，缺乏充分发展的理论基础支持。特别是，目前的方法没有提供关键性能指标（如压力范围和灵敏度）与相应结构参数之间的定量关系。因此，规定的传感器要求无法直接映射到微结构设计变量上，这阻碍了真正的正向设计方法的形成。这一限制根源于这些系统的耦合材料行为和接触行为。FPPS通常由软性超弹性导电复合材料制成（Liang等，2018；Ma等，2024；Xue等，2023），因此其传感机制在很大程度上由超弹性接触力学支配。该领域的解析发展仍然有限，大多数现有解集中在刚性压头作用于超弹性半空间的理想化构型上。由于主要变形发生在柔性微凸柱内部而非均匀基底中，这样的模型对于传感器微结构的正向设计是不够的。因此，缺乏超弹性微凸柱的闭式接触模型仍然是FPPS微结构合理设计的主要障碍。

关于超弹性压入的早期解析工作由Sabin和Kaloni（Sabin和Kaloni，1983）建立，他们使用非线性二阶本构定律为各向同性不可压缩橡胶状材料的球形压入建立了S-K模型。该模型提供了压入深度与施加载荷之间的显式关系。Giannakopoulos和Triantafyllou（Giannakopoulos和Triantafyllou，2007）随后将二阶超弹性理论与有限元分析相结合，为球形压入下不可压缩橡胶状固体获得了G-T力-位移公式。Liu等（2010）通过球形压头形状函数的二阶近似处理了大变形超弹性压入，从而推导了相应的载荷-压入关系。最近，Mu等（2025）研究了弹性球与刚性基底之间的大变形接触，为接触表征和软弹性体结构设计提供了进一步的见解。

本研究基于超弹性接触问题的闭式解，开发了一套用于多层FPPS微结构的正向设计框架。首先通过将PDMS的单轴压缩和半球形压缩试验与有限元模拟相关联，识别了半球接触响应的合适超弹性本构模型。随后推导了超弹性半球与刚性平面压头接触问题的闭式解。这些解被用于确定满足规定传感器目标的四层半球架构的结构参数，包括灵敏度、压力范围和线性度。为了验证该框架，制备了一种导电炭黑/PDMS复合材料，并通过实验考察了闭式接触解在该材料系统中的适用性。然后制造并评估了设计的架构，通过机电压缩试验确认了所提出的正向设计方法的预测能力。对于在不同压力范围内工作的传感器，该方法量化了在给定设计空间内可达到的最大灵敏度，并阐明了导电软材料的初始剪切模量和规定压力范围对传感器响应的耦合效应。

各节片段

超弹性半球的接触行为

FPPS微结构的正向设计需要一种理论描述，能够捕捉超弹性微凸柱的接触响应及其对电输出的影响。FPPS的总电阻包括接触电阻、电极电阻和导电软相的本征电阻。在多层架构中，灵敏度主要通过扩展压缩下的有效接触面积来提高，从而减少

传感器结构的正向设计方法

FPPS多层微结构的正向设计基于第2节推导的超弹性半球接触问题的闭式解。基于这些解，图10报告了具有不同初始剪切模量的超弹性半球的力-面积（F-A）响应，同时半球半径固定在0.3 mm。根据公式（1），F-A曲线的斜率决定了FPPS的灵敏度K。结果表明灵敏度

有限元与实验验证

在设计阶段，基底被表示为0.1 mm厚的超弹性层，并假设其变形相对于微结构传感层可以忽略不计。为了检验这一假设并评估所提出设计方法的准确性，本节展示了结合数值和实验的研究。首先进行有限元分析以量化基底变形对接触响应的影响。该

结果与讨论

FPPS设备通常根据其工作压力范围被分为三类（Wan等，2017）。低压传感器工作范围在1 kPa以下，用于检测微弱的机械信号，包括呼吸引起的振动和声学激励。中压传感器覆盖1-10 kPa的范围，适用于生理监测，如心跳、脉搏和肌肉变形。高压传感器工作范围在10 kPa以上，通常用于

结论

本研究开发并验证了一套用于柔性压阻式压力传感器多层微结构的正向设计方法。该方法基于本工作中推导的闭式解，即刚性平面压头压缩超弹性半球的接触响应。该公式被用于设计规定压力范围内的四层半球形FPPS架构，重点在于实现高灵敏度和近似线性的响应。CRediT作者贡献声明
Liu Ruotong：写作 – 初稿撰写，可视化，验证，软件，方法学，调查研究，形式化分析，数据管理，概念化。

Jie Su：写作 – 审阅与编辑、软件、方法论、调查、概念化。Liao-Liang Ke：写作 – 审阅与编辑、资源、项目管理、资金获取、概念化。Sami：。未引用参考文献：Kilian and K.U.，1986；Neeraj and Gupta，2026；Neeraj and Gupta，2025。利益冲突声明：作者声明不存在可能影响本文报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。致谢：感谢中国教育部基础学科与交叉学科突破计划（编号：JYB2025XDXM305）以及国家自然科学基金委员会（编号：12272261 和 12332006）的支持。Ruo-Tong Liu|Jie Su|Liao-Liang Ke|Sami