有限可压缩弹塑性变形的特征分析

《International Journal of Solids and Structures》：Characteristic analysis of finite compressible elastoplastic deformation

　　

摘要

本文对可压缩弹塑性介质在有限变形条件下剪切带发生的特征分析进行了阐述。有限变形下的剪切带分析被表述为一个初值与边值问题，其中包含两个关键要素：（1）分析中使用一致的参考坐标系，以及（2）当变形被视为一个过程时，在控制方程中实施平衡要求。本文对工程中具有重要意义的扭转、平面和三维变形情况分别进行了分析。所有情况下的特征解均以闭合形式推导得出，并在主应力空间中给出结果。值得注意的是，三维分析结果在主应力空间中的特征与平面应变变形情况完全一致。

引言

在其具有里程碑意义的专著中，Nadai（1950）展示了一系列不同截面形状的扭转变形钢棒的腐蚀微结构。在观察中，流动层在腐蚀截面上呈现为窄的楔形区域，且楔形的尖端指向截面中应力较低的部分。这些流动层被观察到从应力最高的外边界发出并向内推进。由于当时缺乏解析手段，此类钢棒的应力分布只能通过沙堆类比法来估算——这是一种塑性应力函数的实验表征方法。正如我们所理解的，该结果仅受边界形状的影响，而与材料属性无关。虽然扭转变形棱柱棒问题的弹性解由于其控制方程的简洁性可以轻易获得（Timoshenko 和 Goodier, 1951），但直到数十年后弹塑性流动理论和求解方法完全发展起来之后，该问题的完整解才得以实现（Thomas, 1961a; Swedlow, 1968），且这一过程是在小应变理论的框架下完成的。尽管变形的物理机制已被充分理解，但对楔形区域与应变较小区域的组合变形进行的计算分析却直到更晚才被完成（Lee 和 Swedlow, 1980）。

为了便于理解剪切带现象，我们从金属变形的两个例子入手。第一个例子归功于美国钢铁公司的 O. Richmond 进行的扭转棒测试。1 如图1所示，在圆形截面的扭转低碳钢棒超过屈服应力后，可以观察到非常规则的层状或痕迹。流动层在侧壁表面呈现为深色条带，在截面上也呈现为楔形区域。第一个流动层的痕迹比其旁边新形成的层更暗、更宽。对于流动层，我们更倾向于使用"剪切带"这一术语，即剧烈剪切的狭窄区域。此外，这些剪切带不仅总是从截面边缘垂直方向发起并形成，而且它们以几乎相等的间距出现。这暗示了一种机制：剪切带本身产生应变梯度，使得剪切带必须分布排列。与图1中截面类似剪切带模式也可以在 Nadai 的书中找到。Nadai 指出，这种模式可能仅需0.22度的扭转角就会出现，但在平行于圆柱棒母线的表面上很少能观察到第二组滑移层。

第二个例子与拉伸试验有关。Aronofsky（1949）研究了不同类型的缩颈过程，并展示了一系列用 SAE 1016-1020 CR 钢和 24ST 铝合金制成的平板拉伸试样的试验结果。他对宽厚比对斜向缩颈和断裂影响的调查显示，剪切带以与拉伸轴成59°至63°的各种角度出现。Nadai（1950）还讨论了 Stang 等人（1946）的早期工作，他们观察到在间歇加载后，六种不同厚度（从0.022英寸到0.125英寸）的24ST铝合金平板上产生了平行的流动层。所有试样的流动层与拉伸轴之间形成的角度约为60°。轧制方向和试样厚度似乎对该角度没有影响。在试验过程中，这些等间距的层（现在称为剪切带）依次出现，一次一个，伴随着载荷的小幅骤降和可听到的咔嗒声。受 Nadai 观察的启发，作者对两组宽厚比为16:1（厚度：0.79毫米）的2024铝合金平板进行了拉伸试验。一组表面光滑，另一组在试样中心钻有直径0.5毫米的横向孔。对于光滑试样（如图2所示），剪切带形成于两组不同方向上。第一组剪切带可以在平面应力视图中观察到，即在图中标示的试样正视和背视的两侧平面上。这表明剪切带在厚度方向内部也发生了。剪切带在缩颈过程中逐层扩展。每一带都是有限厚度的塑性变形层，层外材料处于塑性流动不那么显著的状态。如正视和背视所示，剪切带与拉伸轴的角度约为60°。在继续加载过程中，第二组剪切带从缩颈最严重区域附近发起。如图2的侧视图所示，随着缩颈进展，依次出现三条剪切带。从侧视图可以看到，第二组剪切带在边缘表面与加载轴的角度约为28°。与宽平表面上的剪切层不同，这些剪切带用肉眼观察是非常尖锐的线条。此类剪切带不会出现在对面的边缘表面上。该图左侧还给出了平面应变条件下剪切带扩展的侧视图。对于平板拉伸试样的三维视图中剪切带角度的更详细示意图将在后面三维控制方程的特征分析中给出。对于带中心孔的试样（如图3所示），变形以区域形式扩散，从孔向外辐射至与平面应力视图中垂直于加载轴的断裂线成±30°的范围，而在平面应变视图中，由于剪切局部化，断裂发生在与拉伸轴成45°的位置。在这种情况下未观察到剪切带，这是由于应力集中和在高应变硬化阶段塑性区在孔附近扩展所致。上述观察令人深思，因为它表明剪切带的出现不仅受试样几何形状的实际影响，还取决于变形过程中不同阶段可能出现瞬时塑性剪切模量和应力状态。该观察表明应力状态与材料硬化特性之间存在深层的内在关联。

剪切带现象不仅存在于金属中，在润滑剂和玻璃态聚合物中也同样存在。Qureshi（1992）使用钠钙玻璃微球作为流场示踪剂，并展示了在221 MPa限制压力下的弹流动力润滑（EHD）条件下聚苯醚（5P4E）中观察到的剪切带视频打印时间序列。Qureshi 还观察到剪切带与5P4E的应力-应变速率曲线的关系。他的关键发现是剪切带在达到流变曲线极限载荷之前就已开始并扩展。这种现象类似于金属在应变硬化阶段发生的剪切带。此外，Qureshi 还报告了剪切带在玻璃化转变压力附近（上下方），在22°C时均被观察到，且剪切带的倾斜角度不受静水压力影响。受 Qureshi 观察的启发，Lee 等人（1994）发展了黏弹性塑性模型，并使用 Drucker 和 Prager（1952）准则预测了EHD条件下5P4E剪切带的发生条件和角度。几年后，Ohno（1999）对TN710合成牵引油中出现的剪切带进行了观察和详细解释，进一步证实了 Lee 理论模型的有效性。同样在弹流动力润滑条件下，同一润滑剂的黏性和黏弹性状态中均出现了剪切带。图4上部展示了125 MPa下呈现黏性状态的过渡过程，以及从液体向黏弹性固态转变过程中剪切带的出现，而下图则在135 MPa下显示了最终黏弹性固态中明显的断裂状外观。Ohno 的观察是润滑剂在自动CVT系统动力传递瞬间实际表现为固态的直接物理证据。

玻璃态聚合物在压缩条件下也会发生剪切带。Bowden 和 Jukes（1972）研究了一系列聚合物材料在不同应力状态下变形时的塑性应力-应变行为。其结果包括非晶态聚甲基丙烯酸甲酯、聚氯乙烯、非晶态聚对苯二甲酸乙二醇酯和聚苯乙烯在平面应变压缩下变形的若干剪切带图像，均由 Bowden（1973）详细记录。遵循先前工作 Lee 等人（1994），Lee 和 Ghosh（1996）使用相同的黏弹性塑性模型纳入J3修正 Drucker 屈服函数，并预测了 Bowden 所报道的那些玻璃态聚合物的剪切带发生和角度。

在更大尺度上，剪切带现象也在地壳材料中以断层形式出现（Price 和 Cosgrove, 1990）。二十世纪七十年代中期，Rudnicki 和 Rice（1975）将脆性岩体中的剪切带现象作为从均匀应力场出发的分叉问题进行研究，并采用屈服顶点屈服和非法向本构模型，从而预测了局部化现象。他们的分叉方法本质上基于 Hill（1962）关于固体中加速度波的工作，而后者又可追溯到 Thomas（1961b）对完全塑性固体的研究。虽然在寻求椭圆性丧失条件时并未明确表述，但该分析从共轴变形的公式出发，然后对 Jaumann 应力速率进行了修正以考虑变形的非共轴效应。该方法代表了从 Drucker（1951）提出的塑性假说中得出的法向条件的重要突破。另一方面，Hill 和 Hutchinson（1975）基于法向流动法则研究了受平面应变拉伸的不压缩固体分叉行为。该分析采用了用名义应力速率表示的平衡方程，并考虑了变形的共轴特征。后来，Needleman（1979）使用 Rudnicki 和 Rice 发展的屈服顶点模型重新研究了这一分叉问题。沿着这一研究方向，Tvergaard 等人（1981）研究了平面应力拉伸试验中的流动局部化。他们的分析通过向试样引入尖锐缺陷来控制缩颈位置来进行。其他研究则关注含孔材料的剪切局部化，基于 Gurson（1977）的研究。Tvergaard（1982）使用 Gurson 模型在 Rudnicki 和 Rice（1975）发展的分叉框架下研究了剪切带引起的延性断裂发展。塑性流动局部化是一种广泛观察到的现象，它可能限制固体可达到的延性程度。Rice（1976）将塑性变形局部化为剪切带讨论为塑性流动的不稳定性以及断裂的先兆。

他强调，通过非弹性本构描述中特征之间的相互作用，特别是偏离正交性和类似顶点的屈服，可以揭示局部化的初始发生。我们不应仅仅在固体的背景下考虑剪切带，而应在更广阔的连续介质力学理论领域中考虑剪切带。其框架无需受所考虑材料的限制。在连续介质力学中，特征线法已被证明是表示塑性流动问题中剪切带的一种富有成效的方法。使用在椭圆型向双曲型场方程特征转变时定义的几何失稳准则具有吸引力，因为从物理意义上讲，某些明确定义的现象必然与断裂或局部化相关联。与场方程特征变化中的剪切带局部化类似，一个更为熟悉的现象是激波，激波可能由跨音速流动（一种椭圆型和双曲型结合的场）经过机翼时引起（Schlichting, 1979）。总之，椭圆型和双曲型这些术语源于场方程特征的逐步分析（Courant和Hilbert, 1962）。为了说明机翼上的跨音速流动与金属变形中椭圆型和双曲型结合场之间的类比，我们引用Semiatin和Lahoti（1981）关于金属锻造的研究，其中使用了"剪切带"这一术语。如图5所示，模具正下方最暗的区域是所谓的"死金属"区。此处的材料像刚楔一样运动，这是工件与模具之间粘性摩擦的结果。它们与剩余变形金属之间的区域被明显更高于平均变形程度的区域所分隔。这些是变形件内部不同变形程度区域之间产生的局部剪切区域。在冷锻中，由于加工硬化的影响，分隔死金属区与其余工件的剪切带通常相当弥散。随着进一步压缩，这些剪切带变得足够集中，以至于在加工硬化率降低时会导致部件的宏观断裂。大部分能量耗散发生在这些位置。这类似于跨音速流动经过机翼时产生的激波。当流体穿过激波时，它从超音速突然且不可逆地减速到亚音速。因此，流动的动能在激波处下降，意味着内能上升且熵增加。该激波是超音速气泡与亚音速区域之间的界面边界，类似于楔内部材料与流出形成鼓胀形状的材料之间的剪切带。在数学上，死材料区域的变形场方程，如同超音速气泡中的场方程一样，是双曲型的，而剪切带代表塑料流动处于椭圆型区域中的界面边界。

在以上观察中，金属表现出弹塑性行为，包含在逐渐加载作用下具有简单结构的材料。材料单元在给定点的初始响应是线性弹性的；应变平滑分布，并随着加载增加显示出应变场的连续介质特征。当同一材料单元受到足够大的应力时，屈服或塑性流动开始。取决于硬化、几何形状和周围材料提供的运动学约束，应变场的连续介质性质得以维持，变形继续进行但硬化率降低。当材料单元在临界硬化率达到更高应力水平且应力本身变得有利时，不连续应变场开始形成。当不连续应变传播时，我们将这种场形成称为"剪切带现象"或简称"剪切带化"。最终，应变的更大增长不可避免，在此阶段，剪切带可以开始发展，如上述示例中所见。剪切带从工件中应力最高的区域向经历较低应力水平的区域延伸，从而抑制了应变的失控增长。剪切带生长的方向是可以计算的。我们称为剪切带的这种高度集中应变区域在变形过程中不一定必然发生。无论是否发生剪切带，在进一步加载下当应力和应变不再唯一相关时（即零硬化），塑性失稳最终会接管。对于开头提出的将进一步研究的扭转问题，我们发现零硬化实际上是剪切带发生的必要材料因素。现在应该清楚的是，应变（因此应力）不连续性可以在单一物理系统中发生。尽管拉伸试件和冷锻件中的外观明显不同，但它们都有一个共同特征，即在变形过程中界面边界的位置事先是未知的。因此，在开发有限元方案等计算方法之前，需要充分理解弹塑性流动方程的特征，以了解塑性区域中应力和速度分布的一般性质。

变形是一个过程，其时间变化需要被描述以实现全面理解。以图2中的拉伸杆为例，剪切带的出现顺序表明剪切带首先在平面应力视图中出现，随后在先前缩颈影响下，平面应变视图中出现的剪切带紧随其后。即使对于如此简单的几何形状，变形的本质也是三维的，当变形被视为一个过程而非事件型现象时，剪切带的可预测性需要在三维空间中呈现。在多孔介质有限弹塑性流动的背景下，含孔材料被视为连续介质，场方程的特征在平面和轴对称条件下的变形中已得到确立（Lee, 1989, Lee, 1992），在此基础上使用特征线法研究了剪切带。其解是通过假设塑性变形不可压缩获得的，因为塑性流动模型包含了变形中密度的效应。在后续发展中，开发了一个统一的压缩塑性框架（Lee, 1994），以熟练地表征变形过程中的各种加载状态，包括硬化和软化行为。通过运用Lanczos（1970）在力学变分原理中描述的Legendre对偶变换，表明Drucker（1964）关于小尺度路径无关性的公设以及应力与应变之间的弹性线性是应变速率加性分解的特征。线性假设使加性分解具有唯一性。基于对偶变换中使用的势能函数的小尺度路径无关性，建立了塑性应变速率对加载函数的正交性。加工硬化是确保小尺度稳定性的充分但非必要条件。在此框架内，将压缩弹塑性理论推广以涵盖软化行为和弹塑性加载。在上述发展基础上，本研究报告将呈现三种工程重要情况，包括扭转、平面和三维问题。在扭转变形的特征分析之后，我们概述了先前剪切带分析发展中所取得的成果，并在不假设塑性不可压缩的情况下给出一般结果。解析解将用于解释图2中显示的现象。该现象将在三维空间中重新审视。因此，在最后一例中，我们采用基于方向导数（Courant和Hilbert, 1962）的相同程序处理更为复杂的情况，并在三维系统中呈现特征线法。该方法的特点是强制在变形过程中始终满足速率平衡要求，并将剪切带视为几何失稳，其失稳起始时刻定义为完整控制场方程不再为椭圆型的瞬间。因此，所处理的问题被表述为一个初边值问题，是一个恰当设定的数学问题。我们特别不关注边界和/或初始条件，因为对于工程分析者而言，它们通常源自物理条件，因此是合理的。由剪切带现象产生的剪切带实际位置和间距将取决于表面条件、工件几何形状和材料力学性能（不包括温度效应和材料结构影响）。它们的预测需要准确追踪速度和应力等因变量的整个演化历史。因此，速度（位移速率）和应力速率的时间积分将留待未来研究，超出当前分析范围。

**章节摘要**

**剪切带与Navier方程在有限弹塑性变形中的类型变化**

在现有发展的开端，我们强调并总结先前工作提供的独特特征：

1. 首先，通过本构模型的物理诠释，材料失稳被定义为在构关系失去可逆性的瞬间。失稳准则是一个不变量。在另一方面，几何失稳对于剪切带并非必然发生，而是取决于应力状态以及应变……

**平面情况下有限弹塑性流动的特征分析**

在本节中，我们关注平面情况的场方程，然后检查它们的特征。在先前工作中，Lee（1989）和Lee（1992）提供了瞬时应力状态下剪切带起始条件。这些条件既是必要的也是充分的，是基于第2.1节中描述的完整控制场方程导出的。在分析中，塑性剪切模量和应力状态对剪切带行为的影响……

**三维变形中有限弹塑性流动的特征分析**

在勾勒图2至图11的基础上，我们现在关注有限弹塑性场方程的三维特征面，或滑移面，以及在双曲性发生时它们存在的准则。类似于第3节中描述的两个自变量的第一阶方程组，现在考虑包含n个因变量uj关于m个自变量xα的一组一阶微分方程。该方程组表示为Cijα?uj/?xα=Si……

**关于βcr*正性对变形计算分析意义的注释**

在本文中，我们展示了一条明确的路径，用于识别必要且充分条件，如果这些条件在变形中得以实现，将导致有限弹塑性流场方程的特征发生变化。场方程以直接方式实现，并被设定为初值与边值问题。推导过程中没有使用因变形期间空间坐标系变化而引起的任何变换，因为场方程是严格基于……

**结论**

基于几何和偏微分方程的坚实数学基础，发展了有限弹塑性变形Navier方程的特征分析。塑性失稳和材料失稳及其起始条件，均从一个先前已有详细记录的关于弹塑性变形的出版物中重新阐述。几何失稳作为初边值问题进行分析，该分析强制满足平衡……

**利益冲突声明**

作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

Y.K. Lee