用于线弹性断裂力学的Born权重双重边界元方法

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：The born-weight dual boundary element method for linear elastic fracture mechanics

　　

• 裂纹尖端插值被重新表述为归一化为1的非负Born权之和。
• 任意奇异指数通过权施加，无需节点重新定位。
• 已证明当λ=1/2时，尖端单元等价于四分之一点单元。
• 在双材料界面处，任何节点布置都无法跨越所需的场空间。
• 四分之一点相位以?? ln ?发散；Born权收敛。

引言

边界元法（BEM）[1]是线弹性断裂力学（LEFM）的自然框架。由于仅对边界进行离散化，裂纹尖端附近的严重应力梯度无需域网格即可得到解析，裂纹扩展通过向裂纹表面添加新单元来建模，而非重新划分网格[2]、[3]。然而，将位移边界积分方程（DBIE）直接应用于裂纹是退化的：两个裂纹表面在几何上重合，因此在上、下表面的配置产生相同的方程，所得代数系统为奇异的。

已提出多种补救方案：多区域公式，即在裂纹处引入一个人工界面，使每个表面属于不同的区域；格林函数法，将裂纹构建在基本解中，因此仅限于简单几何形状；以及Crouch的位移不连续法（DDM）[4]，以裂纹张开位移作为主要未知量。这些公式在数学上是相关的——DDM核是线力格林函数的导数，DDM可视为对偶公式的一个特例[5]、[6]、[7]——但它们并非同样经济。DDM用位移不连续代替物理表面位移作为未知量，因此在每个裂纹面上引入了问题本身并不要求的辅助变量，事后必须从该变量恢复表面场。对偶边界元法（DBEM）[8]、[9]的提出正是为了克服标准方法在重合裂纹面上产生的数值退化，它在单区域、基于位移的公式中做到这一点，无需任何辅助未知量：位移边界积分方程（DBIE）配置在外边界和一个裂纹表面上，面力边界积分方程（TBIE）配置在另一个表面上，两者相互独立，因为TBIE包含外法向，而外法向在两个面之间变号。未知量始终是物理边界位移和面力。DBEM此后已成为裂纹问题的标准边界元公式，也是本文的出发点。本文的贡献与该选择无关：BDBEM仅修改单元上的插值，保持积分方程及其核不变。此处保留两个裂纹表面——如DBEM所要求，且无需DDM的不连续变量——这正是使第5节的双表面表示能够揭示裂纹张开作为单元的规范不变内容的原因。

任何裂纹边界元分析的精度几乎完全取决于离散化对渐近裂纹尖端场的重现保真度。Williams展开[10]给出在裂纹表面上√??量级的位移，在尖端前方???1?2量级的应力。标准多项式单元分别为??和???量级，因此遗漏了两个主导项。经典的补救方案是Henshell和Shaw[11]以及Barsoum[12]的四分之一点单元，其中二次单元的中点节点被移至四分之一点，使等参映射变为√??的二次函数，位移插值获得正确的阶数。这是一种几何手段：正确的渐近行为通过移动节点获得。

本文探讨能否通过构造性方法达到同样的目的，即对插值本身进行参数化，使非多项式行为变得自然而非常态。其核心结果是这不仅可行，而且是典范的：经典DBEM插值是更大凸插值族的一个成员，该族是第一个精确重现经典DBEM并扩展到多项式插值无法跨越的奇异空间的族。本文的其他所有内容——闭式提取、V形缺口的处理，尤其是界面裂纹结果——均源于这一定论。扩展的族通过在量子力学语言下重新参数化节点插值获得：节点变量取为厄米算符的本征值，插值场是该算符在归一化的位置相关态中的期望值，展开系数的模平方——即Born权，按Born规则[13]、[14]的意义——充当形函数，归一化不过是单位划分。由此得到的非负、归一化权自然地用Bernstein基[15]、[16]表示，其性质承担了大部分工作。量子语言是一种描述手段，而非发现本身；发现本身是凸族及其所能表示的内容。

以下两点在开篇陈述该构造的特征，以使声明的范围明确无歧义。

• 基本解未被修改。在弹性静力学中，基本解必须满足Navier方程，因此替换它相当于求解不同的边界值问题。BDBEM保留精确的Kelvin解，边界积分方程(2)–(5)保持精确；整个重构仅局限于插值。

• 向经典方法的约化是被证明的，而非断言的。Bernstein装饰定理（定理4）精确重现任何经典多项式单元，因此由构造保证BDBEM不会比DBEM精度更低，也不会自动变得更精确：任何增益必须来自多项式无法触及的Born权，LEFM恰好提供了一个——第4节的裂纹尖端单元。

富集边界元法和XFEM[17]、[18]、[19]与本文方法都采用了单位划分并能够重现任意??下的????裂纹尖端场。它们通过在近似中添加函数来达到该场：??=∑??????????+∑??????∑????????????，因此富集系数??????是额外的未知量。本文方法则对已有的节点变量进行重新参数化，保持未知量数量和??、??的结构不变；其结果是可达空间的维数等于单元的维数，因此第4.6节的双材料尖端单元用其三个函数表示常数项和两个振荡项，也不会同时携带富集单元可以保留的??(??)项。两者相关但不等价，本文不主张也不意在声称优于富集方法。

贡献。贡献分为两类。主要贡献建立Born权族及其所能表示的内容；次要贡献是构造中有用的推论和副产品。按此排序。

主要贡献。

1. Born权插值与非平凡凸插值的不可能性。为LEFM的对偶边界积分方程建立了一种凸的、非负的、归一化的插值（第3节）。已证明Born权的非负性与次数??≥2的多项式重现不相容（命题3）。这是任何凸插值必须克服的障碍，也正是使下一结果成为必要而非理所当然的原因。

2. Bernstein装饰定理：经典DBEM是该族的一个成员。通过Bernstein基与节点值的装饰相结合来消除该障碍（定理4），其装饰矩阵对连续和不连续二次单元给出了显式表达。该定理精确重现任何经典多项式单元，由此将经典DBEM展示为Born权族的一个成员。命题3与定理4共同构成本文的基础：它们说明了为什么非平凡凸插值失败、为什么Bernstein装饰修复了它、以及为什么DBEM被精确恢复。

3. 任意（包括复数）奇异指数作为自然插值空间。基于分数幂??=(??/?)??构建的权张成{1,????,…,?????}（第4节）；当??=1/2、??=2时，这是Williams空间，并已证明该单元等价于四分之一点单元（命题5），而同一构造无需修改即可扩展到任意实数或复数??。对多项式插值而言属于例外情形的奇异场，对Born权而言是典型情形。

4. 双材料界面处节点布置的不可能性定理。对于Williams指数为复数的界面裂纹，已证明无论何种等参映射——无论何种节点布置——都无法生成所需的振荡插值空间（命题7），且任何非振荡单元提取的相位在细化过程中以?? ln ?发散（定理9）。这从否定的角度解决了此前隐含假定可通过几何手段修复的局限性，也是本文最有力的结果。基于振荡Williams函数构建的非负Born权直接达到该空间并准确恢复复数应力强度因子（第10.7节）；因此BDBEM是第一个能够跨越正确界面裂纹空间的插值方法。

次要贡献。

5. 推导了用单个装饰节点本征值表示??I和??II的闭式、单点表达式（定理16），无需在??上外推。

6. 重合的裂纹表面被表示为两寄存器态（第5节）。建立了Schmidt基与对偶公式的和/差基重合的精确条件（命题10）；然而，证明了该态的可分离部分是规范相关的（命题12），因此纠缠熵不是一个可用的断裂参数，断裂内容完全在于规范不变的裂纹张开。

7. 建立了两个对奇异核积分具有独立实际意义的结果：Hadamard有限部分在非线性裂纹尖端映射下不是不变的，必须在物理弧长中取值（注13）；且尖端单元的雅可比行列式除非1/??为整数外具有代数分支点（注14），这使得对每个缺口和每个界面都必须使用分级求积，也是??=1/2具有特殊性的另一层含义。

其中最后一个是本文所围绕的核心结果。这并非声称Born权是精确的，而是更精确地声称基于节点的单元不可能精确：在双材料界面处，单元必须表示的场位于任何节点布置都无法达到的空间中，因此标准补救措施在结构上失败，而非在数值上失败，且凸Born权构造不仅仅是一种改进，而是第一个能够跨越该空间的插值方法。

第2节回顾DBEM；第3至5节发展该公式；第6节处理奇异积分；第7节处理应力强度因子的提取；第8节处理裂纹扩展；第9节界定该方法中哪些是量子的、哪些不是；第10节给出数值结果；第11节总结。

节选片段

问题陈述

设????2为剪切模量为??、泊松比为??的均匀各向同性线弹性体，由??=????∪???∪???围成边界，其中????为外边界，???、???为裂纹的两个重合表面，外法向为????=?????（图1）。在无体力的情况下，位移场在??内满足Navier方程μ???,????+μ/(1?2ν)???,??=0，其中???在????????上给定，面力???在?????????上给定，裂纹表面为无面力，????=????=0。

位移和面力边界积分方程

在配置点??′处的DBIE

在Born权插值上

本节通过两个结果奠定本文的基础：非负性障碍（命题3），说明为什么凸插值不能非平凡地构建；以及Bernstein装饰定理（定理4），消除了该障碍并将经典DBEM确定为Born权族的一个成员。所有后续内容——裂纹尖端单元、闭式提取和界面裂纹不可能性结果——都是这一基础的结果。

裂纹尖端态

定理4保证BDBEM相对于DBEM不会有任何损失。它本身并不获得任何东西。增益来自于振幅(16)不必构建在??上的事实。

两寄存器构造

对偶公式之所以存在，是因为???和???是携带不同场的同一点——一个二分结构，也是张量积装置存在精确对应物的唯一地方。

在二维表面基???=span?{|+?,|??}上，将两个面的缀饰节点位移本征值收集为2×??实矩阵??=[???+????????]，???????=?????(??)，??∈{+,?}，每个笛卡尔分量对应一个这样的矩阵（若将两个分量堆叠为一个2×2???

非多项式权重下对偶核的积分

将（12）代入（2）–（5）并配置，产生如下形式的积分∫???????(??′,??)???)????(??)d??，??∈{???????,???????,??????????,??????????}，其中??为雅可比行列式。在普通单元上????为伯恩斯坦多项式（15），是与它所替代的经典形函数同阶的多项式，因此经典DBEM积分机制完全适用：正则积分用Gauss–Legendre公式，近奇异积分用Telles变换[23]，柯西部分和哈达玛部分用解析求值。

离散系统

在????∪??+的节点上配置（2），在???的节点上配置（5），结合（12）的插值和第6节的积分，得到????????=????????，其中(????)???????=∫?????????????????d??，(????)???????=∫?????????????????d??，以及来自（5）的相应??块和??块。未知量为缀饰本征值???,???；物理节点值由（18）中??=?????????恢复。由于??逐单元为分块对角阵，此步代价为???(??)，且无需全局矩阵求逆。

应力强度因子的闭式解

定理16 单点SIF提取

令尖端单元为??=2, ??=

增量裂纹扩展

增量扩展方向由Erdogan和Sih[25]的最大主应力准则给出，????=2?arctan??? ? ? ????I?√??2I+8???2II4???II?? ? ? ??，有效I型应力强度因数为??eff=cos?????2?(??I?cos2?????2?32??II?sin?????)，疲劳扩展由Paris定律控制d???d???=??(?????eff)??。方向准则并非以下讨论的核心。增量DBEM中的路径选择可由（63）等局部准则驱动，也可由全局能量最小化驱动，在此方向中

BDBEM中哪些是量子，哪些不是量子

BDBEM完全在经典硬件上运行；量子形式体系是一种构造性工具，并非贡献的一部分，该方法可以在不提及它的前提下陈述，标题亦如此。摘要和引言已明确此点，此处不再赘述。值得精确陈述的是形式体系的精确内容——哪些部分起了作用，哪些只是词汇。

1. 归一化即单位分解。条件???|???=1在节点基下读取为∑??????=1：

数值结果

以下所有结果均由专门编写的双边界元程序实现第3–7节产生：全程采用直线不连续二次单元，配置点为??=?23,0,23，????∪??+上用DBIE，???上用TBIE，以及第6节的解析奇异积分。平面应变，??=0.3。由于在每个算例中裂纹面均免拉应力，所有牵引力均为给定值，离散系统秩亏三（刚体运动），以最小范数求解。

结论与未来发展方向

本文的核心结果是：经典双边界元方法是更大一族凸插值——Born-权重族——的一个成员，且该族是第一个精确重现经典DBEM并将其推广到多项式插值无法张成的奇异空间的方法。该插值被重构为缀饰节点值与满足和为一的非负权重之凸组合，边界积分方程和...

利益冲突声明

作者声明不存在已知的可能影响本文工作的竞争性经济利益或个人关系。

致谢

作者感谢巴西利亚大学工程学院土木与环境工程系结构与土木工程研究生项目PECC的支持。

A. Portela