用于各向同性板高阶剪切变形分析的含稳定项与不含稳定项的子单元无网格加权最小二乘积分方法

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：Sub-cell-free weighted least-squares integration methods with and without stabilization terms for higher-order shear deformation analysis of isotropic plates

　　

**摘要**

本文提出了一种用于各向同性板高阶剪切变形分析的无子胞加权最小二乘积分（SCF-WLSI）框架，该框架包含两种变体：非稳定化（u-SCF-WLSI）和稳定化（s-SCF-WLSI）。该框架在基于估计的直接节点网络模拟（EDISONN）方法的基础上进一步发展，直接在节点处评估离散弱形式，消除了背景积分网格和子胞划分。其基础是将移动加权最小二乘梯度算子与双环Hessian算子相结合。为抑制直接节点积分引入的伪零能模态，s-SCF-WLSI采用基于节点极转动惯量作为内禀长度尺度的无参数稳定化刚度，恢复了C1变分一致性。在薄板和厚板的静弯曲、自由振动和屈曲问题上的基准评估表明，两种变体均表现出最优收敛性。关键发现是，在中心聚集的节点域上（如圆形板）进行自由振动分析时，两者存在重要区别：u-SCF-WLSI虽能获得精确的频率本征值，但局部秩亏诱导了模态形状中出现尖锐的非物理尖峰；而s-SCF-WLSI则完全消除了这些本征向量伪迹，在不降低本征值精度的前提下恢复了光滑、物理上可接受的模态形状。因此，u-SCF-WLSI为充分解析的网格提供了最大效率，而s-SCF-WLSI则提供了不可或缺的、无伪模态的框架，在需要精确模态形状和非均匀节点分布下鲁棒性的场合必不可少。

**引言**

板结构广泛应用于航空航天、土木、机械和生物医学工程领域，可靠的分析工具支撑着机舱、建筑楼板、机器面板和手术植入物等承载部件的设计。现代航空航天应用要求对板和壳结构进行精确且计算高效的分析，因为这些结构在耦合气动弹性、飞行动力学模拟[1]以及迭代气动设计循环[2]中扮演着不可或缺的角色。这些需求促使了兼具高精度、鲁棒性和低计算复杂度的空间离散方法的发展。经典板理论提供了预测所需的运动学框架，其中Kirchhoff–Love理论[3,4]代表了忽略横向剪切变形的薄板极限，一阶剪切变形理论[5,6]引入了横向剪切但需要依赖问题特定的修正系数。然而，这两种理论均无法捕捉弹性解揭示的适度厚板抛物线型剪切应力分布。高阶剪切变形理论（HSDTs）通过在位移场中引入三次或更高次多项式项直接施加抛物线分布，从而克服了这一局限[7,8]。C0连续的七自由度运动学模型[9,10]在高阶剪切变形理论中是极为有效的选择。通过将有连续性要求限制在C0级别，该模型在简化数值实现和标准有限元边界条件施加的同时，完整捕捉了横截面上复杂的剪切变形。除各向同性板外，这一七变量C0高阶剪切变形模型最近已扩展应用于复杂多物理场和先进复合材料问题。显著应用包括流体接触磁电弹性多孔板的自由振动分析[11]以及基体开裂石墨烯片增强复合板的分析[12]，凸显了该模型的广泛和持续适用性。

有限元法在板分析中占据核心地位，但在薄板极限下继承了低阶单元的锁定病理[13]。双线性四边形在板变薄时发生剪切锁定[14,15]，高阶单元在某些几何构型下产生膜锁定和非物理振荡[16]。文献中的主要缓解策略包括：Hughes等人[17]的选择性缩减积分在剪切刚度上使用单点积分而保持弯曲刚度的完全积分，利用缩减规则的秩亏缓解剪切约束；Bathe等人[18,19]的张量分量混合插值在独立的绑定点上插值剪切应变，将剪切场与弯曲场解耦；Bletzinger等人[20,21]的离散剪切间隙通过基于边的间隙积分重建剪切应变，满足不规则网格上的补丁测试。这些策略在各自的适用场景内均有效，但增加了传递到实现、边界处理和后续非线性或耦合场扩展中的公式机制。

无网格方法摒弃了单元概念，用基于散点构造的形函数替代节点插值，如基于近似的元素自由Galerkin法和再生核粒子法[[22], [23], [24]]。然而，这些公式在节点处不满足Kronecker delta性质，无法直接施加本质边界条件，需要背景积分网格来复杂化数值积分[25]。为克服这些结构性困难，基于插值的无网格技术（最显著的是径向点插值法（RPIM）[26]和移动Kriging法[27]）作为强大替代方案脱颖而出。通过严格满足Kronecker delta性质，这些方法允许像标准有限元一样在节点处直接精确施加本质边界条件。具体而言，RPIM将径向基函数与多项式结合以消除畸变节点下的矩阵奇异性，而移动Kriging利用局部化地统计漂移核提供适用于高阶结构分析的高精度梯度场。

稳定化节点积分将直接节点评估的计算简便性与变分一致性的数学严谨性相结合，以抑制伪零能模态。Chen等人[28]提出的基本稳定化协调节点积分利用散度定理对Voronoi子胞上的光滑应变场进行积分，成功恢复了一点积分的变分一致性。为减少几何复杂性，Puso等人[29]引入了简化子胞布局的修正公式。与几何划分不同，Taylor展开和梯度稳定化技术完全消除了背景子胞的计算负担。具体而言，Hillman和Chen[30]的自然稳定化节点积分通过直接Taylor展开摒弃了子胞构造，而Hillman等人[31]的变分一致方法在瞬态和非线性场景中提升了精度。与此同时，Wu等人[32,33]引入的基于节点的光滑点插值法构造了专门的光滑域，在不使用传统积分的情况下实现稳定系统矩阵。更进一步，最近提出的无子胞基于约束的方法学，如Duan等人[34]的鲁棒导数算子和Wang等人[35]的稳定化配点框架，完全绕过了背景积分网格。这些无参数进展直接在离散水平上惩罚运动学约束，为复杂高阶结构公式提供了出色的稳定性，为现代无网格分析奠定了坚实基础。

Kowshik等人[36]最近引入的基于估计的节点网络直接模拟（EDISONN）方法完全放弃形函数构造，为传统无网格方法提供了类别性替代方案。EDISONN不依赖于移动最小二乘[22]或再生核近似[23]，而是通过局部Delaunay邻域上的无偏线性回归结合节点积分直接计算场梯度。这一独特框架提供了显著的结构优势。形函数的缺失自然绕过了Kronecker delta局限，允许通过标准有限元式替换直接施加本质边界条件。此外，直接在Delaunay剖分上积分摒弃了繁琐的背景积分网格，而结构上等价于单点缩减积分的特性产生了适合剪切主导情况的无锁定离散化。其算法简洁性可无缝适应结构化与非结构化节点云。尽管具有这些引人注目的优势，原始EDISONN公式在应用于高阶板问题时存在两个关键局限。首先，普通最小二乘回归中应用的均匀权重将远处和近处邻居等同对待，在边界附近产生非光滑伪迹和振荡解，需要大量网格细化才能达到工程精度。其次，固有的单点节点积分引发秩亏，表现为伪零能模态和低频非物理模态。这种不稳定性在薄板极限下严重加剧，因为强制性损失从根本上破坏了离散谱。

为解决基于估计的节点网络直接模拟EDISONN方法的局限，本工作用基于一环节点域上构建的移动三次样条加权最小二乘（WLS）预测器[[37], [38], [39]]替代普通最小二乘。针对七变量C0-HSDT运动学公式化，该方案生成了光滑、自然良态的系统矩阵，无需人工正则化。它保留了EDISONN的所有定义性优点，包括Kronecker delta性质、直接单点节点积分等效性和算法简洁性，同时完全消除了背景积分网格和子胞划分。这一基础无网格模型定义了非稳定化变体u-SCF-WLSI。

然而，直接节点积分本质上诱发局部秩亏。虽然u-SCF-WLSI提供了最大计算效率并交付了高精度频率本征值，但这种秩亏引发了伪零能模态和局部本征向量污染，在非均匀或中心聚集的节点域上的模态形状中表现为非物理的挠度尖峰。为消除这些数值伪迹而不诉诸子胞划分[28,29]或Taylor展开[30,31]，在二环域上构造了二阶WLS Hessian算子。将此Hessian算子与作为内禀特征长度尺度的节点极转动惯量耦合，产生了无参数的基于约束的稳定化刚度矩阵。加入该项形成稳定化变体s-SCF-WLSI，恢复了C1变分一致性，消除了秩亏，并恢复光滑的物理可接受本征向量，同时不改变本征值精度也不需经验参数调优。

本文的主要贡献有四点。首先，开发了无子胞局部一阶梯度（一环）和二阶Hessian（二环）WLS算子，在不依赖背景积分子胞的情况下以机器精度重现仿射和二次场。其次，推导了由节点极转动惯量标定的内禀基于约束的稳定化刚度，将公式升级为s-SCF-WLSI，恢复了C1变分一致性而无需用户校准参数。第三，研究揭示了两种变体之间的关键区别：u-SCF-WLSI虽能准确预测频率本征值，但s-SCF-WLSI对于在非均匀节点网格上消除局部秩亏尖峰和恢复物理有效模态形状（本征向量）是不可或缺的。最后，在静弯曲、自由振动和屈曲问题上的广泛基准评估建立了最优二次收敛性，确认了在薄板和厚板区间完全免疫剪切锁定，并澄清了两种变体在效率与鲁棒性之间的互补性权衡。

本文其余部分组织如下。第2节概述七变量C0-HSDT板模型。第3节构造u-SCF-WLSI梯度算子并建立其重现性和最优性。第4节详细阐述s-SCF-WLSI Hessian算子和无参数稳定化刚度。第5节呈现两种变体的综合数值基准评估，第6节总结全文。

**各章节概要**

**七变量C0-HSDT板模型**

定义在中面域Ω??2上具有常数厚度h的板，其位移场在任意空间位置(x, y, z)处由五个广义位移变量完全表征。由于这些变量仅依赖于中面坐标，它们被紧凑地收集为运动学向量，记为：

d^(x,y) = {u, v, w, φx, φy}?

其中(u, v)表示中面平面内位移，w表示横向挠度，(φx, φy)定义两个旋转。

**非稳定化无子胞加权最小二乘积分方法（u-SCF-WLSI）**

本节建立了非稳定化无子胞加权最小二乘积分方法。在EDISONN范式[36]的基础上，该方法用利用三次样条核的加权最小二乘替代方案替换了原始的普通最小二乘梯度估计器。这一修改产生了更光滑的梯度场，显著提升了边界附近和高曲率区域内的精度。同时，该方案保留了核心特性。

**稳定化无子胞加权最小二乘积分方法（s-SCF-WLSI）**

尽管精确且高效，但第3节中的C0 u-SCF-WLSI方法继承了两个关键缺陷：薄板中因C1运动学耦合减弱导致的剪切锁定，以及由单点节点积分秩亏引起的伪零能模态。为解决这两个问题，第4节引入了一个无参数稳定化刚度矩阵。该公式通过最小二乘惩罚施加二阶导数约束，恢复满秩和C1变分一致性。

**数值算例**

在本研究中，为防止矩矩阵秩亏，公式(22)和(60)中的因子k取值为1.05。该选择保证了即使最远的相邻节点也具有严格为正的权重。此外，字母S和C分别表示简支和全固支边界约束，用以定义板的边缘。具体记号SCSC描述具有两个简支边界和两个全固支边界的板。此外，边界。

**结论**

本文开发了一种用于各向同性板高阶剪切变形分析的无子胞加权最小二乘积分框架，通过两个不同变体实现：非稳定化（u-SCF-WLSI）和稳定化（s-SCF-WLSI）模型。

通过改进 EDISONN 方法，所提出的方法直接在节点处评估离散弱形式，完全摒弃了背景积分网格和子单元划分。数学基础 CRedīt 作者贡献声明 Chien H. Thai：撰写 - 审阅与编辑，撰写 - 初稿，可视化，软件，方法学，概念构思。Hung Q. Tran：撰写 - 审阅与编辑，验证，调查。Duong D. Vu：撰写 - 审阅与编辑，验证，调查。Chien H. Thai|Hung Q. Tran|Duong D. Vu