一种用于二维线性弹性的赫尔丁格-莱谢纳混合物理信息神经网络

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：A Hellinger–Reissner mixed physics-informed neural network for two-dimensional linear elasticity

　　

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  Hellinger–Reissner神经网络直接预测位移和应力。
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  局部平衡条件和材料本构关系改善了两个场之间的一致性。
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  该方法改善了应力梯度较大区域的应力预测。
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  与深度能量法相比，获得了更低的应力误差。

引言

偏微分方程是描述固体力学、流体力学、热传导及相关领域物理问题的基本数学工具。在实际工程结构中，由于几何形状复杂、材料非均质性以及多种类型的边界约束，通常难以获得解析解。因此，数值方法已成为求解工程边值问题的主要途径。有限元法、有限差分法、有限体积法以及无网格方法已形成成熟的数值计算框架。其中，有限元法在固体力学中应用最为广泛；然而，其性能仍受网格质量、自由度数以及单元格式的影响。基于位移的有限元对于近不可压缩材料可能出现体积锁死问题，而经典混合有限元必须满足inf-sup条件，这对有限元空间的选择提出了更为严格的要求。

近年来，人工智能在许多领域发展迅速，机器学习和深度学习逐步被引入计算固体力学。Raissi等人提出的物理信息神经网络，将控制方程以及初始和边界条件嵌入训练过程，从而为正向和逆向PDE问题提供了新的框架。与纯数据驱动模型相比，物理信息神经网络可以利用物理先验知识来减少对大规模标注数据的依赖，并在数据稀缺或有噪声时提供正则化作用。

在弹性力学中，传统的物理信息神经网络通常采用强形式残差，即将平衡方程、本构方程、运动学方程和边界条件同时纳入损失函数。然而，其训练往往受到残差权重和高阶自动微分的困扰。为降低此类问题的求解难度，Samaniego等人基于最小势能原理提出了深度能量法，该方法已应用于线弹性、断裂、超弹性和粘弹性等问题。此后，混合深度能量法、参数化深度能量法、保守能量神经网络和深度互补能量法进一步拓展了基于能量的物理信息神经网络的适用范围。

除了单场能量公式外，固体力学中也发展了混合变量神经网络方法。Rao等人将位移和应力作为物理信息神经网络的同步输出用于计算弹性动力学问题，而Haghighat等人采用多网络物理信息模型处理线弹性和弹塑性问题。Fuhg和Bouklas通过为基于位移的深度能量法增加独立的应力输出来引入混合深度能量法，Rezaei等人则开发了结合强形式和基于能量的约束的混合物理信息神经网络公式用于非均匀固体。最近，受H-R原理启发的混合变量物理信息神经网络也已被应用于接触力学问题，其中位移和应力作为同步网络输出。与这些公式不同，本文提出的HR-PINN将离散化H-R泛函的驻值残差作为其主要变分约束。

弹性力学中的变分原理通过泛函的驻值或极值条件来描述力学平衡，其差异主要取决于独立变量和约束方程的选择。H-R混合变分原理以位移场和应力场作为独立变量，其驻值条件为弹性力学提供了统一的应力–位移公式。基于该公式的经典混合有限元离散化已被广泛研究。特别是，Arnold和Winther为平面弹性的应力–位移公式开发了稳定的混合有限元，为H-R型数值离散化提供了重要的理论基础。混合有限元方法建立在H-R原理等混合变分原理之上，在近不可压缩材料、复杂约束和多物理场耦合问题中发挥着重要作用。上述考虑促使我们开发基于H-R混合变分原理的双场物理信息神经网络框架，以实现精确且力学一致的位移–应力预测。

然而，在H-R变分原理的神经网络实现中，满足离散全局驻值条件可能无法确保平衡方程和本构关系的逐点精确执行，特别是在应力梯度较大的区域。因此，必要时引入与问题相关的辅助强形式残差来强化局部力学一致性。此外，虽然物理信息神经网络原则上可以在无标注数据的情况下进行训练，但纯物理优化在固定的训练预算内可能收敛效率较低。因此，使用有限数量的有限元参考样本作为辅助监督。相应地，本文提出的HR-PINN被构建为一种物理信息、数据辅助的求解器，其中H-R变分损失提供主要物理约束，辅助损失强化局部物理约束执行，数据损失为优化提供额外引导。

章节摘要

H-R混合变分原理

H-R变分原理以位移场u和应力场σ作为独立变量，相应的泛函可表示为${\Pi }_{\text{HR}}\left(\mathit{u},\mathbf{\sigma }\right)$。在构建该泛函时，能量以应力为变量表示；因此，引入了与应变能密度W(ε)对偶的互补能密度W*(σ)。H-R泛函由三项组成：

(1) 与物体中所存储的总互补能相关的项：$?\underset{\mathrm{V}}{\int }$

方法

本节介绍HR-PINN用于求解二维线弹性问题。与仅使用神经网络近似位移场的最小势能原理不同，所提出的方法采用两个相互独立的神经网络分别近似位移场和应力场。两个变量场通过H-R变分原理进行耦合。图3.1展示了HR-PINN的基本原理，其实现

数值算例

本节通过若干数值算例评估HR-PINN的精度和鲁棒性。将HR-PINN获得的解与深度能量法获得的解进行比较。在解析解不可用的情况下，使用有限元参考解作为比较基准。为确保公平比较，在每个数值算例中，HR-PINN和深度能量法使用相同的有限元参考样本及相应的监督数据约束进行训练。采用相同的数据点位置和参考

结论

本文提出了一种Hellinger–Reissner混合变分物理信息神经网络，用于求解二维线弹性问题。与通过预测位移场并在后处理中获得应力的传统深度能量法不同，HR-PINN采用双网络架构分别近似位移场和应力场。两个场通过离散化H-R泛函数的驻值条件进行耦合，

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康一萌：撰写——初稿、验证、软件、方法论、概念化。耿辉青：撰写——审阅与编辑、监督、资源、项目管理、方法论、概念化。

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