一种用于空间分数阶Gray-Scott方程组的广义RBF-QR方法

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：A generalized RBF-QR method for the space-fractional Gray–Scott system

　　

摘要

本文对二维空间分数阶Gray-Scott模型的数值解提出了两个主要贡献。首先，我们将Kansa的径向基函数（RBF）配置方法推广到空间分数阶Gray-Scott方程。其次，我们开发了一种广义RBF-QR（gRBF-QR）方法，通过将Chebyshev求积融入RBF-QR框架，将原始基于高斯函数的RBF-QR公式扩展到更广泛的足够光滑的径向函数类。时间离散化采用Crank-Nicolson格式进行，并给出了半离散稳定性分析以建立所提议的时间积分方法的稳定性。广义RBF-QR方法有效缓解了直接RBF逼近所带来的病态问题，同时保持了高精度。广泛的数值实验证明了直接RBF配置方法和gRBF-QR配置方法在精度、效率和稳定性方面的表现。与文献中报道的几种近期数值方法的比较表明，所提议的gRBF-QR方法取得了更优的性能，同时将稳定RBF-QR技术的适用性显著扩展到高斯径向基函数之外。

引言

分数阶微积分在过去十年中经历了显著增长，其应用已扩展到几乎所有科学和工程领域。其优势在于能够建模记忆效应和非局部相互作用，这使其非常适合描述复杂的现实世界现象。早期研究确立了其在描述电磁学[1]、粘弹性[2]、湍流[3]和生物过程[4]系统中的重要性。此后，分数阶微积分被有效地应用于流体动力学[5]、随机建模[6]、金融[7]、图像处理[8]以及生物、物理和工程科学中的各种问题。

在其基本应用中，分数阶扩散通过在空间和/或时间中引入分数阶导数来推广经典扩散过程，以表示反常输运和长程关联。与以线性均方位移标度为特征的正常扩散不同，分数阶扩散考虑了亚扩散和超扩散，其中?x2(t)?∝t^β（β≠1）。Mainardi等人[9]获得了涉及Riesz-Feller和Caputo导数的时空分数阶扩散方程的基本解，为分数阶输运模型奠定了理论基础。鉴于这些模型的实际重要性以及这些算子的非局部特性，解析解通常难以求解，这促使了对数值逼近方案的广泛研究。

分数阶扩散方程通常被分为空间分数阶、时间分数阶、时空分数阶[10]或变阶分数阶模型[11]。人们开发了大量数值方法，包括矩阵方法[12]、伪谱方案[13]、使用Chebyshev函数的配置方法[14]、有限差分法[15]、有限元方法[16]、有限体积法[17]、梯形方案[18]和基于RBF的方法[13]。这些数值框架的持续进步显著提高了分数阶扩散求解器的精度、稳定性和计算效率[19]。相关研究包括分布式阶模型[20]、空间分数阶对流-弥散方程[21]和时间分数阶扩散-波动方程[22]。

在许多物理系统中，扩散和化学或生物反应通常同时发生。Turing的形态发生理论表明，自然界中观察到的空间和时间模式源于反应和扩散过程的共同作用。这种相互作用在各种物理、化学和生物系统中产生了一系列模式——包括斑点、条纹、前沿、螺旋、行波和耗散孤子[23]。经典反应-扩散模型包括Allen-Cahn方程[24]、FitzHugh-Nagumo模型[25]和Gray-Scott（G-S）模型[26]。当扩散项变为反常时，这些系统演变为分数阶反应-扩散方程，表现出与其经典对应物不同的动力学特征[27]、[28]。为求解此类空间分数阶反应-扩散方程，人们提出了几种数值方法，包括Fourier谱方法[29]、[30]和移位Legendre-Gauss-Lobatto配置方案[31]。

在各种分数阶反应扩散模型中，Gray-Scott（G-S）模型因其非线性自催化动力学和耦合双组分结构而具有特殊重要性。在本文中，我们关注二维空间分数阶Laplacian（Riesz型）的空间分数阶Gray-Scott模型[32]。

为提供分数阶扩展的背景，我们首先回顾经典G-S公式。Gray-Scott模型是一种自催化反应扩散过程，是Selkov糖酵解模型的变体[33]、[34]。它由两个反应步骤组成：U+2V→3V和V→P，其中U、V、P表示化学物种。经典Gray-Scott模型中两个化学组分的浓度方程为?u/?t=???_u·?2u?uv2+F(1?u)，?v/?t=???_v·?2v+uv2?(F+κ)v，其中F和κ分别为反应的供给率和衰减率，??_u和??_v分别为u和v的扩散系数。根据(F,κ)的选择，G-S模型表现出多种多样的时空模式，这些模式已在单维和二维设置中得到了广泛分析[26]、[35]。分数阶扩散项的引入通过引入非局部空间效应改变了模式的稳定性和波长。因此，分数阶G-S模型在分析反常扩散与非线性反应动力学之间的相互作用方面起着重要作用。

分数阶算子的非局部特性使得分数阶G-S方程解析解的推导极具挑战性，这激发了稳健数值方法的发展。Wang等人[32]在空间上采用谱配置方法，在时间上结合Crank-Nicolson格式，报告了与整数阶模型不同的图案结构。Abbaszadeh和Dehghan[36]开发了降阶有限差分方案，Zhang等人[37]为分数阶反应-扩散系统（包括G-S模型）提出了半隐式Fourier谱方法。Liu等人[38]引入了快速双网格（TT-M）有限元方法，Chai等人[39]为二维空间分数阶G-S模型设计了四阶紧致差分方案。近期的研究，如Abbaszadeh[40]、[41]、Owolabi[42]、Han[43]和Farahani[44]的工作，进一步推进了对分数阶G-S动力学的理解。此外，还有其他数值方法，其中分数阶Laplacian采用其奇异积分形式[45]或谱形式[46]。

基于径向基函数（RBF）的方法因其处理复杂几何的灵活性和高精度而证明特别有效。Hardy于1971年引入了多二次径向函数用于地理散布数据的插值，此后Kansa发展了RBF配置方法用于求解PDE[47]。Larsson等人[48]和Li等人[49]的工作强调了该方法的优势，其中RBF方法在精度方面优于传统的有限差分、有限元和谱方案。Zheng等人[50]使用局部RBF方法求解经典Gray-Scott方程，证明其有效。

全局RBF配置方法的主要缺点是系统矩阵的严重病态，当节点数或形状参数c的值增大时问题更加严重。虽然已知无限光滑的RBF能产生PDE的谱精度解，但逼近质量强烈依赖于c的选择。在许多情况下，最高精度通常在c值较大时获得。然而，在这个极限状态下，两个主要因素降低了RBF插值的性能。第一个是Runge现象，如[51]所述。第二个也是我们的主要关注点，是系统矩阵的病态，这是由于基函数变得近似常数，因此越来越线性相关。在c较大时获得稳定计算的首个算法是轮廓-Padé算法[52]，但该方法仅适用于很少的节点。此后，Fornberg和Piret[53]引入了RBF-QR方法用于球面上的函数逼近，使得形状参数较大时能够进行稳定计算。Fornberg等人[54]将RBF-QR扩展到一维、二维和三维的笛卡尔域，但仅限于高斯径向函数。Larsson等人[55]研究了多个PDE模型的RBF-QR。为缓解这一问题，人们还提出了其他几种策略，使用扩展精度算术、分解方法、RBF-GA方法、混合RBF和RBF-RA方法。虽然这些方法已成功应用于经典PDE，但由于分数阶算子的固有复杂性，其在分数阶PDE中的扩展仍然相对有限[56]。

最近，基于RBF的技术已成功扩展到分数阶扩散模型，显示出克服分数阶算子非局部性所带来的挑战的重大潜力。Chen等人[57]展示了RBF应用于涉及分数阶导数方程的早期应用之一。此后，Piret和Hanert[13]使用全局RBF配置方法求解了空间分数阶扩散方程，Pang等人[21]将RBF应用于逼近空间分数阶对流-弥散方程。其他使用RBF配置的研究包括[56]、[58]。

与经典情况类似，与RBF配置方法相关的病态问题在分数阶设置中仍是一个重大挑战。为解决这一问题，Piret等人[13]将RBF-QR方法扩展到一维空间分数阶扩散方程，并表明所获得的解是稳定的且具有谱精度。他们利用了高斯函数关于Chebyshev多项式的级数展开。此后，Antunes和Ferreira[59]为分数阶Sturm-Liouville问题提出了增广RBF-QR方法。最近，Kumar和Piret[60]在时间和空间上分别使用Chebyshev多项式和RBF-QR基项来逼近时空分数阶PDE的解。然而，在他们的公式中，RBF-QR基是通过高斯RBF使用超几何函数的级数展开推导出来的，而非采用完整的RBF-QR方法。

关于分数阶G-S模型的研究有限：2024年，Sakariya和Kumar[61]为时间分数阶G-S模型开发了一种RBF配置方法。据我们所知，RBF方法尚未应用于空间分数阶G-S模型，这是本研究的核心焦点。在本文中，我们介绍了一种基于求积的RBF-QR公式（gRBF-QR），用Chebyshev-Gauss求积表示取代超几何展开，提供了与RBF-QR相似的数值稳定性，同时也允许使用更广泛的径向函数。

在本工作中，我们考虑以下二维空间分数阶Gray-Scott模型：?u/?t=???_u·(??2)^{α/2}·u?uv2+F(1?u)，(x,t)∈Ω×(0,T]；?v/?t=???_v·(??2)^{α/2}·v+uv2?(F+κ)v，(x,t)∈Ω×(0,T]。初始条件为u(x,0)=u_0(x)，v(x,0)=v_0(x)，x∈Ω?。边界条件为u(x,t)=v(x,t)=0，(x,t)∈?Ω×[0,T]。其中Ω=(a,b)×(c,d)，??_u≥0和??_v≥0是扩散系数，(??2)^{α/2}是α阶的分数阶Laplacian。我们采用Riesz型定义来定义分数阶Laplacian，将在下一节中讨论。

我们工作的主要贡献是：

• 提出了一种广义RBF-QR方法（gRBF-QR），适用于更广泛的径向函数类，而Fornberg等人[54]在笛卡尔坐标中提出的RBF-QR仅限于高斯径向函数。

• 将Kansa的直接RBF配置方法扩展到二维空间分数阶Gray-Scott模型，并提供了稳定性分析。

• 将结合gRBF-QR的配置方法扩展到二维空间分数阶Gray-Scott模型。在这里，我们获得了扩展形状参数c值范围和细化节点下的解，而直接RBF配置方法在此情况下会失败。

本文其余部分组织如下：第2节提供了本工作中使用的一些预备定义和结果。在第3节中，我们提出了所提议的gRBF-QR方法，并使用直接RBF和gRBF-QR配置方法对空间分数阶G-S模型进行了统一离散化。在同一节中，证明了时间离散化空间分数阶Gray-Scott模型的稳定性。通过数值算例，我们在第4节中展示了所提议方案的优势和缺点。最后，在第5节中讨论了一些结论性评论和可能的未来方向。

第2节 预备知识

以下，我们提供与RBF和Chebyshev逼近以及分数阶导数相关的预备定义和结果。

RBF-QR方法

当ε→0时，可以使用Fornberg等人[53]、[54]开发的RBF-QR方法获得稳定解。RBF-QR方法基于用良态基替换极其病态的RBF基的思想，而该基张成相同的逼近空间。所得系数矩阵被分解为乘积QR，其中Q是酉矩阵，R是上三角矩阵。在此框架中，每个RBF基被转换如下：φ(|x?x_j|)=∑_{k=0}^{∞} c_k(x_j)·T?_k(x)=∑_{k=0}^{∞} c_k

第4节 数值算例

在本节中，我们使用不同的算例来说明所提议的gRBF-QR Chebyshev求积公式对式(1)-(4)所给的空间分数阶Gray-Scott模型的应用。在精度和收敛性方面，将所提方法的性能与不对称RBF配置方法以及文献中关于Gray-Scott方程的其他近期方法进行了比较。所有计算均在MATLAB（版本R2021b）中完成，在配备Intel Core i7-11700处理器的计算机上进行。

我们简要回顾

第5节 结论

本工作对空间分数阶反应-扩散系统的数值解做出了两个主要贡献。

首先，将Kansa的RBF配点法（直接RBF法）扩展到二维空间分数阶Gray–Scott方程，由于分数阶扩散算子的非局部特性以及非线性Gray–Scott模型复杂的图案形成动力学特征，该方程在计算上具有显著的挑战性。其次，提出了一种广义RBF-QR方法（gRBF-QR）。CRediT作者贡献声明：Revathy J.M.：撰写初稿、可视化、方法论、形式化分析、数据整理、概念设计。Prashanthi K.S.：验证、方法论、形式化分析、概念设计。Chandhini G.：撰写–审阅与编辑、验证、监督、项目管理、方法论、调查研究。利益冲突声明：作者声明不存在已知的可能影响本文所报告工作的财务利益关系或个人关系。致谢：第一作者感谢印度科学与工业研究委员会（CSIR）通过CSIR-JRF/SRF奖学金（档案编号：09/886(0001)/2019-EMR-I）提供的财政支持。Revathy J.M.|Prashanthi K.S.|Chandhini G.