《Engineering Analysis with Boundary Elements》：A high precision Galerkin meshless method with moving Kriging interpolation and kd-tree for anisotropic thermal transfer problems
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摘要为了解决纳米材料工程、软体机器人、柔性电子、航空航天和交通运输系统等领域中常见的各向异性热传递问题，提出了一种结合移动克里金插值（MKI）和kd树的高精度伽辽金无网格方法。该方法通过伽辽金弱形式进行离散化。利用移动克里金插值（MKI）建立了具有克罗内克δ性质的高阶连续形函
摘要
为了解决纳米材料工程、软体机器人、柔性电子、航空航天和交通运输系统等领域中常见的各向异性热传递问题，提出了一种结合移动克里金插值（MKI）和kd树的高精度伽辽金无网格方法。该方法通过伽辽金弱形式进行离散化。利用移动克里金插值（MKI）建立了具有克罗内克δ性质的高阶连续形函数。背景四边形单元和三角形单元分别采用高斯积分和Hammer积分进行积分计算。提出了采用自适应影响半径搜索的kd树节点搜索方法，以提高计算效率和稳定性，从而大幅降低节点搜索的计算复杂度。七个数值算例，包括具有空间变化导热系数的板和圆盘、各向异性板、具有混合边界条件的各向异性空心椭圆以及各向异性三叶形等，表明所提方法与其他数值方法相比具有更高的计算精度和稳定性。结果表明，所提方法的平均绝对误差和均方根误差都非常小。
引言
各向异性热传递对于纳米材料工程[1]、软体机器人[2]、柔性电子[3]、航空航天和交通运输系统[4]非常重要。热导率张量在不同方向上差异很大。这些领域的技术进步需要有效的数值解决方案。无网格方法已作为有限元方法和边界元方法的替代或补充方法出现，可用于求解具有各种几何形状、移动界面和非均匀介质的偏微分方程[5]。
不同的无网格方法已成功应用于热传递模拟，如径向基函数配点法[5]、虚拟边界元自由伽辽金法[6]和物理信息神经网络[7]。无网格伽辽金法（EFG）[8]和无网格局部Petrov-Galerkin法（MLPG）[9]通过移动最小二乘法（MLS）近似构造其形函数。由于基于MLS的形函数不一定满足克罗内克δ性质[10]，这些方法中准确施加狄利克雷边界条件存在困难。因此，Atluri和Zhu通过惩罚方法在MLPG中施加了狄利克雷边界条件[11]。径向基函数（RBF）配点法（如Kansa方法）具有插值性和直接性[12]。径向点插值方法（RPIM）通过结合径向基和多项式基恢复了δ性质，从而更容易施加狄利克雷边界条件[13,14]。相比之下，本文采用的移动克里金插值（MKI）满足克罗内克δ性质，能够实现准确的狄利克雷边界条件施加[15]。因此，MKI统一了准确的狄利克雷边界条件施加，作为本研究中所涉及的各向异性、变导热系数问题的高阶连续形函数。
局部热流方向与温度梯度之间的差异使数值离散化变得困难。从理论上讲，找到一个平衡局部逼近精度、整体收敛性和几何灵活性的解决方案非常重要。MKI是一种基于地球统计学的空间预测方法，已应用于计算力学领域。它提供了最优线性无偏估计量，并同时估计预测不确定性[16,17]，且可自适应协方差函数[18,19]。半变差函数（如指数型、高斯型或球型）也可以通过考虑物理问题的方向来改进模型[20]。
k维树（kd-tree）是一种用于组织k维空间中点的数据结构，广泛用于最近邻搜索、范围搜索和空间划分[21]。它将二叉搜索树的概念扩展到多维数据，可以高效地进行索引和检索。kd-tree的基本原理是将k维空间划分为更小的区域。在每个节点处，数据点根据一个维度进行划分，通常以循环方式选择该维度，确保分割一侧的点小于分割值，而另一侧的点大于分割值。这种划分形成了一种结构，其中每个内部节点代表一个将数据空间分为两个半空间的超平面[22]。
快速的邻居搜索本身并不能确定每个克里金邻域应该有多大。大多数现有的MKI求解器采用固定的支撑域大小。由于该大小对整个区域一次性指定，它不会随局部节点间距而变化。基于移动最小二乘法的自适应支撑域方法通常构建于不满足克罗内克δ性质的形函数之上[11,23]。因此，需要一个既能自适应局部间距又保持搜索低成本的邻域方法，本文通过将kd树与自适应影响半径搜索相结合来实现这一目标。
本文建立了基于MKI和kd树的高精度伽辽金无网格方法，用于各向异性介质中的热传递问题，通过构建高阶连续形函数并使用伽辽金弱形式对问题进行离散化。除计算效率外，还可应用高效的基于kd树的节点搜索策略和自适应影响半径搜索。与解析解、有限元方法和成熟的无网格方法相比，所提方法在涉及空间变化导热系数和内部热源的正向和各向异性热传递问题中展现了卓越的计算性能和分析稳定性。
本文其余部分组织如下。第2节展示热传递问题的控制方程。第3节详细推导了用于各向异性热传递问题的MKI和kd树无网格方法的公式。第4节通过计算七个数值算例验证了方法的正确性和稳定性。第5节得出了一些结论。
章节摘要
热传递问题的控制方程
考虑一个由分段光滑边界Γ包围的有界开区域Ω。在该区域内，具有空间变化导热系数的介质中的热传递由以下广义Poisson方程控制。
对于各向同性情况，热传递问题的控制方程为其中，?2为Laplace算子；k(X)为空间变化的导热系数；u(X)为温度；f(X)为内部热源。
对于各向
移动克里金插值
MKI[15,26]因其在无网格方法中能够提供精确通过节点值并满足克罗内克δ性质的形函数，同时在场点X处具有高阶连续性而受到青睐。温度uh(X)通过MKI利用点X局部支撑域内n个节点的节点值获得。其中，Φ(X) = pT(X)A + rT(X)R?1(I ? PA)，R为协方差矩阵；P为节点处的多项式基矩阵，A = (
数值算例
为测试方法的效率和精度，测试了几个基准数值算例，并与其他数值方法和精确解进行比较。使用kd树构建空间索引以实现快速邻居搜索。灵活的半径根据局部节点密度调整影响域范围：在稀疏区域增大，在密集区域减小。为比较所提方法的精度，采用以下误差指标
平均绝对误差（MAE）
结论
本研究提出了一种结合移动克里金插值和kd树的高精度伽辽金无网格方法，用于各向异性热传递问题。得出以下结论：
MKI构造的形函数满足克罗neckerδ性质，能够实现准确的边界条件施加，提高数值模型的可靠性。结合kd树搜索和自适应影响半径，显著提高了节点搜索的效率
CRediT作者贡献声明
吴锡荣：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，软件，资源，方法论，调查研究，形式化分析，数据整理。王孝斌：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，监督，软件，方法论，形式化分析。杨东升：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，监督，软件，资源，项目管理，方法论，
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