一种用于求解具有周期边界条件的福克-普朗克方程的混合傅里叶-勒让德有理谱配点法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A mixed Fourier-Legendre rational spectral collocation method for solving the Fokker-Planck equation with periodic boundaries

　　

摘要

本文提出了一种高效的混合Fourier-Legendre有理配点法，用于求解具有周期边界条件的Fokker-Planck方程。我们沿速度方向构造了一种新的非标准正交投影，从而建立了混合Fourier-Legendre有理逼近框架，并为所发展的谱配点法的严格误差估计奠定了坚实的理论基础。在此基础上，我们制定了半离散谱配点格式，其中空间离散化采用Fourier节点，速度离散化采用Legendre有理节点，时间离散化采用经典的Crank-Nicolson策略。我们严格证明了所提出的半离散格式的收敛性质。数值模拟验证了所提方法在空间变量和速度变量上均可达到高阶谱精度。此外，我们通过在时间维度引入Legendre-Gauss-Lobatto节点，构造了全离散格式。与传统的时间步进方法相比，所发展的全离散格式具有突出的计算优势，大大降低了总体计算成本。

引言

Fokker-Planck方程最初是为解决布朗运动问题而提出的。相比之下，Langevin方程在描述非平衡系统中起着关键作用。尽管直接求解Langevin方程往往具有挑战性，但有可能将其重新表述为Fokker-Planck方程，描述概率密度函数的动力学演化（[1], [2], [3]）。这种变换简化了分析过程，使得可以确定粒子在指定区域内的位置概率密度（[4], [5]）。如今，Fokker-Planck方程被广泛应用于众多科学学科，包括电路理论[6]、理论生物学[7]、固态物理、化学物理[8]和量子光学[9]。因此，它在现代科学研究中占据着基石地位。

在科学与工程应用中，处理非光滑几何区域中的问题[10], [11]，特别是在无界域中，由于其非光滑性和无限扩展特性，面临重大挑战。公式(1.1)中的具体问题涉及沿v方向的无界空间域，这使得开发高效的数值方法来处理域的无界特性并进行理论分析变得复杂。为了克服这些挑战，通常采用人工边界条件结合数值技术。这些边界条件已被证明在促进有限元法和有限差分法求解定义在无穷域上的问题方面是有效的（[12], [13], [14], [15]）。

本工作研究具有周期边界条件的Fokker-Planck方程的混合问题，对应于文献[16]中的方程(11.33)。我们将空间域定义为Λ={??∣0
?{ { { { { { { {?{ { { { { { { {?????/????=????????/????+??0???/?????(?????)????(??)?????/????+??0??????2??/????2,(??,??)∈Ω,??∈(0,??]，???(??+2???,??,??)=???(??,??,??),??∈Λ?,??∈?,??∈(0,??]，lim|??|→∞????(??,??,??)=0,??∈Λ,??∈(0,??]，???(??,??,0)=??0?(??,??),(??,??)∈Ω?，

其中Λ?=[0,2???]，Ω?=Λ?×?。定义??=?????/??，β0>0为粒子弛豫时间。这里，符号k、??和m分别代表正实数常数，即玻尔兹曼常数、绝对温度和粒子质量。函数???(??)=??′?(??)???表征总外力，周期场引起的周期外力记为f′(x)，F表示恒常外力。

通过截断计算域来处理无界域上的问题会导致逼近误差。在无界域上使用正交多项式展开的谱方法提供了一种有效的解决方案。例如，Guo、Shen和Xu[17]引入了一种广义Hermite谱方法，而Guo等[18]为无穷域上的问题发展了一种带域分解的复合谱方法。此外，Chai和Wang[19]提出了一种混合广义Hermite-Fourier谱方法来解决无界域带来的挑战。

有理谱方法已作为处理无界域问题的有力替代方案而出现。Boyd[20], [21]的先驱性工作确立了有理函数作为谱基在半无穷区间和整条实数轴上的使用。在此基础上，Guo和Shen[22]将采用常数权函数χ(x)≡1的Legendre有理谱方法应用于求解半直线上的Korteweg-de Vries方程。Wang和Guo[23]进一步扩展了这些方法的应用范围，构造了一组覆盖整个实数轴的新型Legendre有理正交函数来求解Dirac方程。在更近期的发展中，Tian和Jiao[24]利用修正的Legendre有理函数为Burgers方程创建了谱方法。

有理Legendre谱或配点方法相比其他谱技术具有若干优势。与Hermite和Laguerre谱方法相比，它们需要更弱的权函数，可能无需对问题进行重新表述。因此，有理Legendre谱配点法可用于求解非线性积分方程、抛物方程以及具有吸收边界条件的Fokker-Planck方程等方程[25], [26], [27], [28]。此外，它们比Jacobi谱方法更适合求解外部问题[29], [30]。谱配点方法在处理非线性项、变系数项和复杂边界条件方面特别有效，可达到与传统谱方法相当的指数收敛率[31]。

本文采用混合Fourier-Legendre有理谱配点法，该方法在周期空间方向整合Fourier逼近，在速度域的整条实数轴上使用修正的Legendre有理逼近。为了弥合时间方向上有限差分格式的时间精度与空间/速度方向上谱方法高阶精度之间的差距，我们发展了全离散谱格式。这种方法不仅提高了计算效率，还确保了数值解保留了连续系统的关键物理性质，如空间周期性和解在大速度时的衰减行为。此外，它简化了整体数值实现。

所提方法的主要贡献，或者说是实现有理Legendre多项式的初步构思，总结如下：

• **适用于周期问题**：采用Fourier谱方法来处理空间周期边界条件。它产生高精度的数值解，特别适用于描述关于空间变量的周期物理现象。

• **非均匀节点分布**：如文献[30]所证明的，与Hermite-Gauss点对比揭示了不同的分布特性。Hermite-Gauss点相对均匀分布，而映射的Legendre-Gauss点倾向于聚集在原点附近并更广泛地展开。这使得后一种分布特别有利，因为它跨越了大得多的有效区间。该方法更擅长解决解在无穷远处衰减缓慢的问题。

• **简化分析**：鉴于修正的Chebyshev多项式是关于非平凡权函数正交的[32]，我们偏好修正的有理Legendre多项式。这些多项式是关于常数权函数χ(x)≡1正交的，这大大简化了对应的误差分析。

• **指数/代数收敛**：具体而言，整条实数轴上的修正有理Legendre逼近对具有Gaussian（??^?????2）或指数型（??^???|??|）衰减的解达到指数收敛，而对具有代数衰减（|??|^???）的解则产生代数收敛。

• **效率和精度**：构造了全时空谱配点格式。与时间方向采用有限差分法的半离散格式相比，所提格式在计算效率和数值精度方面均实现了更优的逼近性能。

本文其余部分组织如下。第2节介绍Fourier插值逼近及其相关的微分矩阵，并详细阐述了整条实数轴上的修正Legendre有理插值，包括其微分矩阵和关键性质。第3节呈现了为求解周期场中方程(1.1)所构造的混合Fourier-Legendre有理配点法。提供了两个算例来验证所提混合谱配点格式的有效性和高精度。具体而言，建立了整条实数轴上的非标准Legendre有理逼近。在此基础上，发展了混合Fourier-Legendre有理逼近结果，并对混合Fourier-Legendre有理谱配点格式进行了误差分析。第4节将该框架扩展为全离散谱格式。本节进行了数值实验来验证方法的精度和效率，展示了与理论预测的一致性。最后，第5节提供结论性评述。

## 混合Fourier-Legendre有理插值

我们构造与Gauss求积节点相关的混合Fourier-Legendre有理插值多项式。

## 混合谱配点法

在本节中，我们为方程(1.1)发展混合Fourier-Legendre有理配点格式，并提供相应数值实验的结果。

## 三维谱配点法

虽然上一节在空间/速度变量上使用谱配点，在时间方向上使用有限差分，但由此产生的精度差异要求过多的时间节点，从而增加了计算成本。为提高效率，我们提出在时间方向上也采用谱配点格式。本节首先概述使用Legendre-Gauss-Lobatto（LGL）节点的相关Lagrange插值理论。

## 结论

在处理变系数问题时，谱配点方法比Galerkin方法更具优势。本文提出了一种混合Fourier-Legendre有理谱配点方法，用于求解具有周期边界条件的Fokker-Planck方程。该方法将Fourier配点格式（处理空间周期边界条件）与修正Legendre有理配点格式（处理无界速度域）相结合。通过使用……

## 未引用参考文献

## 缺失引用

图15

## CRediT作者贡献声明

张健：撰写–原始草稿，数据整理。
王天军：撰写–审阅与编辑，资助获取。

## 利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

张健 | 王天军
河南科技大学数学与统计学院，洛阳，471003，中国