洛特卡 - 沃尔泰拉竞争扩散系统行波稳定性的一种半解析方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A semi-analytical approach to the stability of traveling waves for Lotka-Volterra competition-diffusion system

　　

摘要
我们研究两种两物种Lotka-Volterra竞争-扩散系统中精确行进波的稳定性。一种波具有由前锋和脉冲组成的波面轮廓，另一种波具有由两个前锋组成的波面轮廓。由于这些波的精确形式，行进波周围的线性化特征值问题可以被转化为具有两个有限正则奇点的常微分方程一阶系统。满足单侧边界条件的ODE基本解以无穷级数的形式导出。我们证明，级数Evans函数（即基本级数解的行列式）在其自然定义域上是解析的，除了在孤立的例外点之外。相应地，位于右半复平面且例外点中心小圆盘之外的点谱的数量可以通过计数级数Evans函数将适当围道的像映射的绕数来数值确定。利用摄动方法，位于例外点中心小圆盘内的点谱数量也可以用类似的方式数值确定。因此，关于特定的指数加权空间，两种精确行进波的稳定性得到了数值结论。

引言
本研究考虑两种物种的Lotka-Volterra竞争-扩散系统的精确行进波的稳定性，
{????=???????+???(??,??),????=??????????+???(??,??), 对 ??≥0, ??∈?，
其中???(??,??):=???(1?????????)，???(??,??):=?????(1?????????)，
其中 r, s, d, ? > 0。函数 u(t, x) 和 v(t, x) 代表两个物种的密度。显然，方程(1.1)的无扩散系统最多有四个平衡点（当 rs ≠ 1 时）：
??1:=(0,0), ??2:=(1,0), ??3:=(0,1), ??4:=(??*,??*)=(1???1??????,1???1??????)，
其局部稳定性如下：
??1是不稳定的；??2当且仅当??>1时是稳定的；??3当且仅当??>1时是稳定的；??4当且仅当??,??<1时是稳定的。
显然，u*, v* > 0 当且仅当 r, s < 1 或 r, s > 1，且在这两种情况下 u*, v* ∈ (0, 1)。

(1.1)的行进波解可以表示为 Ψ(z) ? (u(z), v(z))，其中 ??=???????????，p, ??∈? 为常数，波速为 c ? θ/p。显然，Ψ(z) 满足轮廓方程：
??2??2????+????????+???(???(??),???(??))=0,
?????2??2????+????????+???(???(??),???(??))=0.
如 Hung [1] 所定义的，若 Ψ(z) 满足
Ψ?(?∞)=???? 且 Ψ?(+∞)=????，
则 Ψ(z) 被称为 (ei, ej)-波。
关于行进波解的存在性已有大量工作，参见例如[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]。其中，单调(e1, e4)-波由 Tang 和 Fife [8] 发现。然而，其稳定性似乎从未被研究过。后来，Hung [1] 推导出了具有精确形式的单调(e1, e4)-波以及具有精确形式的(e1, e2)-波，后者的轮廓由u的前锋和v的脉冲组成。我们在下面列出这两种波。注意 Hung [1] 中的记号 λ, a1, a2 在我们的模型中分别用 ?, r 和 s 代替。

命题1.1 对于适当参数值，系统(1.1)允许以下精确形式的行进波 Ψ?(??)=(???(??),???(??))：
1. (e1, e2)-波（e1不稳定，e2稳定）：(1.4)满足 20, k1=14, k2=(3?s)2, d=(s?2)(5?12r+4rs)/(s(1?6r+2rs)), ?=(5?12r+4rs)/(3s), θ=?(5?12r+4rs)12, p=(1?6r+2rs)^(1/2)/(2√6)，其解为
???(??)=??1?(1+tanh???)?2 且 ???(??)=??2?(1?tanh2???)。
2. (e1, e4)-波（e1不稳定，e4稳定）：(1.4)满足 0???(??)=??*?(1+tanh???)?2/4 且 ???(??)=??*?(1+tanh???)/2。

行进波的稳定性是一个重要问题，因为它与能否观察到传播现象有关。由于两物种系统(1.1)可以转化为单调系统，其中(e2, e3)-波和(e2, e4)-波是单调波锋，volpert等人[9]中单调系统的标准理论可以应用于获得(e2, e3)-波和(e2, e4)-波的稳定性（参见kan-on和fang [10]早期关于(e2, e3)-波稳定性的结果）。然而，这种方法不能直接应用于(e1, e2)-波和(e1, e4)-波。(e1, e2)-波具有脉冲分量，因此不是逐分量单调的。对于(e1, e4)-波，在将系统转化为单调系统后，属于线性化算子核的波轮廓的导数具有两个符号相反的组份。因此，volpert等人[9]第4章定理5.1中所需的符号条件不满足，其稳定性理论不能直接应用。这些观察促使我们使用evans函数框架来研究两种波型的稳定性，该框架不需要这样的符号条件。

系统(1.4)在 ψ(z) 周围的线性化方程为：
???[??]?(??):=????2????+????????+???(??)???，
其中??:=(??1:=??2, 0; 0, ??2:=?????2)，???(??):=(1?2?????????, ??????; ????????, ??(1??????)?2?????)，
其中 ???(??)=(??1?(??),??2?(??)) 表示相对于 ψ(z) 的微扰。l的谱、点谱和本质谱分别用 σ(l)、σpt(l)、σe(l) 表示。算子l通常被认为作用在c0上，c0定义为：
??0:={??:?→?2 | ?? 一致连续，且 ???(??)→0 当 |??|→∞}，
配备上确界范数 ∥??∥=sup??∈? |???(??)|。然而，单稳定波锋的本质谱总是包含具有正实部的元素，参见例如[9]、[11]。为了排除这种情况，通常将φ限制在指数加权空间cω上，定义为：
????:={??∈??0 | ???(??)????(??)∈??0}，
配备范数 ∥??∥??=∥????∥，针对特定的权函数ω(z)。由于(e1, e2)-波或(e1, e4)-波的精确形式在b(z)中出现的结构，我们选择一个特殊的权函数ω(z)，它不同于通常的???(??)=1+??^(δz)（对某个δ∈?，参见(2.7)）。

σe(l)的分布可以通过henry [12]给出的标准方法来识别。我们使用evans函数来识别算子l的点谱。evans函数在[13]、[14]、[15]、[16]中引入，其性质是其零点与点谱中的特征值一致。然而，应用evans函数需要找到关联特征值问题的在+∞或?∞处带边界条件的基本解（参见[11]、[17]）。受drazin等人[18]中对schr?dinger算子研究的启发，我们引入新变量??=tanh???，将特征值问题转化为在??=±1处分别具有两个有限正则奇点的一阶系统。用ξ表示时，基本解?±(ξ, λ)可以分别表示为ξ?1的幂次级数。我们称它们为基本级数解。

我们证明，基本级数解在λ的自然定义域（即evans函数的自然定义域）上是解析的，除了在例外点之外——在这些点上某些基本级数解的指数之差为整数。相应地，级数evans函数（即基本级数解的行列式）在其自然定义域上是解析的，除了在孤立的例外点之外。因此，σpt(l)中位于右半平面且在例外点中心的小圆盘之外的特征值的数量可以通过计数级数evans函数将适当围道的像映射的绕数来数值确定。利用摄动方法，σpt(l)中位于例外点中心的小圆盘内的特征值数量也可以用类似的方式数值确定（参见5.1节）。因此，对于本文研究的精确行进波，这种方法的主要优势在于不依赖于逐分量单调性，并且当与摄动方法结合时也能处理孤立的例外点。

与本质谱的分析相结合，这些计算给出了两种精确行进波关于特定指数加权空间的稳定性结果。对于我们选择的参数值 r, s, δ，相应的(e1, e2)-波和(e1, e4)-波在cω中是渐近稳定的（参见5.2和5.3小节）。

还有其他结合分析和数值方法来研究行进波稳定性的工作，使用evans函数；参见例如[19]、[20]、[21]。特别是，li等人[21]研究了keller-segel模型中精确脉冲-前锋解的稳定性。这些研究与本工作之间的主要区别在于基本解的表示。通过利用行进波的精确形式，我们推导出基本解为收敛级数，并从中构建级数evans函数。这种级数表示使我们能够研究对λ的解析依赖性并识别某些指数之差为整数的例外点。这些例外点可以通过摄动方法来处理。然而，我们的方法需要预先知道行进波的精确形式，因此仅限于本文所考虑的精确行进波的特殊类。

本文其余部分组织如下。第2节专门用于分析线性化算子的本质谱。在第3节中，我们引入变量替换，将特征值问题(2.5)转化为具有两个有限正则奇点的一阶系统。然后我们推导满足单侧边界条件的基本级数解并构建级数evans函数。在第4节中，我们获得点谱模的上界，并解释如何使用摄动方法来计数例外点附近的特征值。在第5节中，我们进行数值绕数计算并获得精确(e1, e2)-波和(e1, e4)-波在特定指数加权空间中的稳定性结果。

l的本质谱
记cω中l的延拓为 ?????。定义作用在c0上的算子 lω：
?????[??]?(??):=???(??)???????[???1??]?(??), ??∈??0.
按照与volpert等人[9]类似的论证，可以证明作用在cω上的?????的谱与作用在c0上的算子lω的谱一致。在空间c0中研究lω的谱将比在空间cω中研究?????更为方便。设h(z)为ω(z)的增长率，定义为：
??(??):=??′?(??)/???(??)。
lω的显式形式给出：
?????[??

基本级数解
记ω为 ??σe?(????) 中包含 ?λ=+∞ 的开连通分支，称为自然定义域（参见kapitula和promislow [11]）。a±(λ)的morse指标定义为不稳定空间????±?(??)的维数，对于λ∈ω它们是常数。我们确定λ在对应自然定义域中的morse指标 dim ????±?(??)。

命题3.1 对于命题1.1中的(e1, e2)-波或(e1, e4)-波，在对应的自然定义域ω中，morse指标 dim ????±?(??)=2。

证明
我们看到，对于……

一些估计
在使用级数evans函数来计数点谱之前，需要预先知道点谱的界以及指数??±???(??)之间差分的上界。

数值方法
设 ???(·) 表示复平面中封闭围道围绕0的绕数。由命题4.1，ε被选取为略大于fredholm边界的最大实部，使得命题4.1定义的矩形区域 ??? 包含在自然定义域ω中。如果 ????ω，则 ??(??) 显然在 ??? 上解析。取封闭回路 ???? 为矩形 ??? 的边界（逆时针遍历），则 ??(??) 在 ?λ≥?ε 轴右侧的零点数目等于……

未引用的参考文献
[24]、[25]、[26]、[27]、[28]

credit作者贡献声明
tzi-sheng yang：撰写—审阅与编辑，撰写—原始草稿，软件，方法学，形式分析。chueh-hsin chang：撰写—审阅与编辑，撰写—原始草稿，方法学，形式分析。cheng-hsiung hsu：撰写—审阅与编辑，撰写—原始草稿。

利益冲突声明
作者声明，他们不存在任何已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

tzi-sheng yang | chueh-hsin chang | cheng-hsiung hsu
东海大学应用数学系，台中市，台湾，407224 ?=d/(3s), d=s(r(2+3s)?5)/(s(3r?1)?2), θ=(5?r(2+3s))/(12(rs?1)), p=(r?1/(2·4(rs?1)))^(1/2)，其解为 ???(??)=??*?(1+tanh???)?2/4 且 ???(??)=??*?(1+tanh???)/2。 行进波的稳定性是一个重要问题，因为它与能否观察到传播现象有关。由于两物种系统(1.1)可以转化为单调系统，其中(e2, e3)-波和(e2, e4)-波是单调波锋，volpert等人[9]中单调系统的标准理论可以应用于获得(e2, e3)-波和(e2, e4)-波的稳定性（参见kan-on和fang [10]早期关于(e2, e3)-波稳定性的结果）。然而，这种方法不能直接应用于(e1, e2)-波和(e1, e4)-波。(e1, e2)-波具有脉冲分量，因此不是逐分量单调的。对于(e1, e4)-波，在将系统转化为单调系统后，属于线性化算子核的波轮廓的导数具有两个符号相反的组份。因此，volpert等人[9]第4章定理5.1中所需的符号条件不满足，其稳定性理论不能直接应用。这些观察促使我们使用evans函数框架来研究两种波型的稳定性，该框架不需要这样的符号条件。 系统(1.4)在 ψ(z) 周围的线性化方程为： ???[??]?(??):=????2????+????????+???(??)???， 其中??:=(??1:=??2, 0; 0, ??2:=?????2)，???(??):=(1?2?????????, ??????; ????????, ??(1??????)?2?????)， 其中 ???(??)=(??1?(??),??2?(??)) 表示相对于 ψ(z) 的微扰。l的谱、点谱和本质谱分别用 σ(l)、σpt(l)、σe(l) 表示。算子l通常被认为作用在c0上，c0定义为： ??0:={??:?→?2 | ?? 一致连续，且 ???(??)→0 当 |??|→∞}， 配备上确界范数 ∥??∥=sup??∈? |???(??)|。然而，单稳定波锋的本质谱总是包含具有正实部的元素，参见例如[9]、[11]。为了排除这种情况，通常将φ限制在指数加权空间cω上，定义为： ????:={??∈??0 | ???(??)????(??)∈??0}， 配备范数 ∥??∥??=∥????∥，针对特定的权函数ω(z)。由于(e1, e2)-波或(e1, e4)-波的精确形式在b(z)中出现的结构，我们选择一个特殊的权函数ω(z)，它不同于通常的???(??)=1+??^(δz)（对某个δ∈?，参见(2.7)）。 σe(l)的分布可以通过henry [12]给出的标准方法来识别。我们使用evans函数来识别算子l的点谱。evans函数在[13]、[14]、[15]、[16]中引入，其性质是其零点与点谱中的特征值一致。然而，应用evans函数需要找到关联特征值问题的在+∞或?∞处带边界条件的基本解（参见[11]、[17]）。受drazin等人[18]中对schr?dinger算子研究的启发，我们引入新变量??=tanh???，将特征值问题转化为在??=±1处分别具有两个有限正则奇点的一阶系统。用ξ表示时，基本解?±(ξ, λ)可以分别表示为ξ?1的幂次级数。我们称它们为基本级数解。 我们证明，基本级数解在λ的自然定义域（即evans函数的自然定义域）上是解析的，除了在例外点之外——在这些点上某些基本级数解的指数之差为整数。相应地，级数evans函数（即基本级数解的行列式）在其自然定义域上是解析的，除了在孤立的例外点之外。因此，σpt(l)中位于右半平面且在例外点中心的小圆盘之外的特征值的数量可以通过计数级数evans函数将适当围道的像映射的绕数来数值确定。利用摄动方法，σpt(l)中位于例外点中心的小圆盘内的特征值数量也可以用类似的方式数值确定（参见5.1节）。因此，对于本文研究的精确行进波，这种方法的主要优势在于不依赖于逐分量单调性，并且当与摄动方法结合时也能处理孤立的例外点。 与本质谱的分析相结合，这些计算给出了两种精确行进波关于特定指数加权空间的稳定性结果。对于我们选择的参数值 r, s, δ，相应的(e1, e2)-波和(e1, e4)-波在cω中是渐近稳定的（参见5.2和5.3小节）。 还有其他结合分析和数值方法来研究行进波稳定性的工作，使用evans函数；参见例如[19]、[20]、[21]。特别是，li等人[21]研究了keller-segel模型中精确脉冲-前锋解的稳定性。这些研究与本工作之间的主要区别在于基本解的表示。通过利用行进波的精确形式，我们推导出基本解为收敛级数，并从中构建级数evans函数。这种级数表示使我们能够研究对λ的解析依赖性并识别某些指数之差为整数的例外点。这些例外点可以通过摄动方法来处理。然而，我们的方法需要预先知道行进波的精确形式，因此仅限于本文所考虑的精确行进波的特殊类。 本文其余部分组织如下。第2节专门用于分析线性化算子的本质谱。在第3节中，我们引入变量替换，将特征值问题(2.5)转化为具有两个有限正则奇点的一阶系统。然后我们推导满足单侧边界条件的基本级数解并构建级数evans函数。在第4节中，我们获得点谱模的上界，并解释如何使用摄动方法来计数例外点附近的特征值。在第5节中，我们进行数值绕数计算并获得精确(e1, e2)-波和(e1, e4)-波在特定指数加权空间中的稳定性结果。 l的本质谱 记cω中l的延拓为 ?????。定义作用在c0上的算子 lω： ?????[??]?(??):=???(??)???????[???1??]?(??), ??∈??0. 按照与volpert等人[9]类似的论证，可以证明作用在cω上的?????的谱与作用在c0上的算子lω的谱一致。在空间c0中研究lω的谱将比在空间cω中研究?????更为方便。设h(z)为ω(z)的增长率，定义为： ??(??):=??′?(??)/???(??)。 lω的显式形式给出： ?????[?? 基本级数解 记ω为 ??σe?(????) 中包含 ?λ=+∞ 的开连通分支，称为自然定义域（参见kapitula和promislow [11]）。a±(λ)的morse指标定义为不稳定空间????±?(??)的维数，对于λ∈ω它们是常数。我们确定λ在对应自然定义域中的morse指标 dim ????±?(??)。 命题3.1 对于命题1.1中的(e1, e2)-波或(e1, e4)-波，在对应的自然定义域ω中，morse指标 dim ????±?(??)=2。 证明 我们看到，对于…… 一些估计 在使用级数evans函数来计数点谱之前，需要预先知道点谱的界以及指数??±???(??)之间差分的上界。 数值方法 设 ???(·) 表示复平面中封闭围道围绕0的绕数。由命题4.1，ε被选取为略大于fredholm边界的最大实部，使得命题4.1定义的矩形区域 ??? 包含在自然定义域ω中。如果 ????ω，则 ??(??) 显然在 ??? 上解析。取封闭回路 ???? 为矩形 ??? 的边界（逆时针遍历），则 ??(??) 在 ?λ≥?ε 轴右侧的零点数目等于…… 未引用的参考文献 [24]、[25]、[26]、[27]、[28] credit作者贡献声明 tzi-sheng yang：撰写—审阅与编辑，撰写—原始草稿，软件，方法学，形式分析。chueh-hsin chang：撰写—审阅与编辑，撰写—原始草稿，方法学，形式分析。cheng-hsiung hsu：撰写—审阅与编辑，撰写—原始草稿。 利益冲突声明 作者声明，他们不存在任何已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。 tzi-sheng yang | chueh-hsin chang | cheng-hsiung hsu>???(??)=??*?(1+tanh???)?2/4 且 ???(??)=??*?(1+tanh???)/2。

行进波的稳定性是一个重要问题，因为它与能否观察到传播现象有关。由于两物种系统(1.1)可以转化为单调系统，其中(e2, e3)-波和(e2, e4)-波是单调波锋，volpert等人[9]中单调系统的标准理论可以应用于获得(e2, e3)-波和(e2, e4)-波的稳定性（参见kan-on和fang [10]早期关于(e2, e3)-波稳定性的结果）。然而，这种方法不能直接应用于(e1, e2)-波和(e1, e4)-波。(e1, e2)-波具有脉冲分量，因此不是逐分量单调的。对于(e1, e4)-波，在将系统转化为单调系统后，属于线性化算子核的波轮廓的导数具有两个符号相反的组份。因此，volpert等人[9]第4章定理5.1中所需的符号条件不满足，其稳定性理论不能直接应用。这些观察促使我们使用evans函数框架来研究两种波型的稳定性，该框架不需要这样的符号条件。

系统(1.4)在 ψ(z) 周围的线性化方程为：
???[??]?(??):=????2????+????????+???(??)???，
其中??:=(??1:=??2, 0; 0, ??2:=?????2)，???(??):=(1?2?????????, ??????; ????????, ??(1??????)?2?????)，
其中 ???(??)=(??1?(??),??2?(??)) 表示相对于 ψ(z) 的微扰。l的谱、点谱和本质谱分别用 σ(l)、σpt(l)、σe(l) 表示。算子l通常被认为作用在c0上，c0定义为：
??0:={??:?→?2 | ?? 一致连续，且 ???(??)→0 当 |??|→∞}，
配备上确界范数 ∥??∥=sup??∈? |???(??)|。然而，单稳定波锋的本质谱总是包含具有正实部的元素，参见例如[9]、[11]。为了排除这种情况，通常将φ限制在指数加权空间cω上，定义为：
????:={??∈??0 | ???(??)????(??)∈??0}，
配备范数 ∥??∥??=∥????∥，针对特定的权函数ω(z)。由于(e1, e2)-波或(e1, e4)-波的精确形式在b(z)中出现的结构，我们选择一个特殊的权函数ω(z)，它不同于通常的???(??)=1+??^(δz)（对某个δ∈?，参见(2.7)）。

σe(l)的分布可以通过henry [12]给出的标准方法来识别。我们使用evans函数来识别算子l的点谱。evans函数在[13]、[14]、[15]、[16]中引入，其性质是其零点与点谱中的特征值一致。然而，应用evans函数需要找到关联特征值问题的在+∞或?∞处带边界条件的基本解（参见[11]、[17]）。受drazin等人[18]中对schr?dinger算子研究的启发，我们引入新变量??=tanh???，将特征值问题转化为在??=±1处分别具有两个有限正则奇点的一阶系统。用ξ表示时，基本解?±(ξ, λ)可以分别表示为ξ?1的幂次级数。我们称它们为基本级数解。

我们证明，基本级数解在λ的自然定义域（即evans函数的自然定义域）上是解析的，除了在例外点之外——在这些点上某些基本级数解的指数之差为整数。相应地，级数evans函数（即基本级数解的行列式）在其自然定义域上是解析的，除了在孤立的例外点之外。因此，σpt(l)中位于右半平面且在例外点中心的小圆盘之外的特征值的数量可以通过计数级数evans函数将适当围道的像映射的绕数来数值确定。利用摄动方法，σpt(l)中位于例外点中心的小圆盘内的特征值数量也可以用类似的方式数值确定（参见5.1节）。因此，对于本文研究的精确行进波，这种方法的主要优势在于不依赖于逐分量单调性，并且当与摄动方法结合时也能处理孤立的例外点。

与本质谱的分析相结合，这些计算给出了两种精确行进波关于特定指数加权空间的稳定性结果。对于我们选择的参数值 r, s, δ，相应的(e1, e2)-波和(e1, e4)-波在cω中是渐近稳定的（参见5.2和5.3小节）。

还有其他结合分析和数值方法来研究行进波稳定性的工作，使用evans函数；参见例如[19]、[20]、[21]。特别是，li等人[21]研究了keller-segel模型中精确脉冲-前锋解的稳定性。这些研究与本工作之间的主要区别在于基本解的表示。通过利用行进波的精确形式，我们推导出基本解为收敛级数，并从中构建级数evans函数。这种级数表示使我们能够研究对λ的解析依赖性并识别某些指数之差为整数的例外点。这些例外点可以通过摄动方法来处理。然而，我们的方法需要预先知道行进波的精确形式，因此仅限于本文所考虑的精确行进波的特殊类。

本文其余部分组织如下。第2节专门用于分析线性化算子的本质谱。在第3节中，我们引入变量替换，将特征值问题(2.5)转化为具有两个有限正则奇点的一阶系统。然后我们推导满足单侧边界条件的基本级数解并构建级数evans函数。在第4节中，我们获得点谱模的上界，并解释如何使用摄动方法来计数例外点附近的特征值。在第5节中，我们进行数值绕数计算并获得精确(e1, e2)-波和(e1, e4)-波在特定指数加权空间中的稳定性结果。

l的本质谱
记cω中l的延拓为 ?????。定义作用在c0上的算子 lω：
?????[??]?(??):=???(??)???????[???1??]?(??), ??∈??0.
按照与volpert等人[9]类似的论证，可以证明作用在cω上的?????的谱与作用在c0上的算子lω的谱一致。在空间c0中研究lω的谱将比在空间cω中研究?????更为方便。设h(z)为ω(z)的增长率，定义为：
??(??):=??′?(??)/???(??)。
lω的显式形式给出：
?????[??

基本级数解
记ω为 ??σe?(????) 中包含 ?λ=+∞ 的开连通分支，称为自然定义域（参见kapitula和promislow [11]）。a±(λ)的morse指标定义为不稳定空间????±?(??)的维数，对于λ∈ω它们是常数。我们确定λ在对应自然定义域中的morse指标 dim ????±?(??)。

命题3.1 对于命题1.1中的(e1, e2)-波或(e1, e4)-波，在对应的自然定义域ω中，morse指标 dim ????±?(??)=2。

证明
我们看到，对于……

一些估计
在使用级数evans函数来计数点谱之前，需要预先知道点谱的界以及指数??±???(??)之间差分的上界。

数值方法
设 ???(·) 表示复平面中封闭围道围绕0的绕数。由命题4.1，ε被选取为略大于fredholm边界的最大实部，使得命题4.1定义的矩形区域 ??? 包含在自然定义域ω中。如果 ????ω，则 ??(??) 显然在 ??? 上解析。取封闭回路 ???? 为矩形 ??? 的边界（逆时针遍历），则 ??(??) 在 ?λ≥?ε 轴右侧的零点数目等于……

未引用的参考文献
[24]、[25]、[26]、[27]、[28]

credit作者贡献声明
tzi-sheng yang：撰写—审阅与编辑，撰写—原始草稿，软件，方法学，形式分析。chueh-hsin chang：撰写—审阅与编辑，撰写—原始草稿，方法学，形式分析。cheng-hsiung hsu：撰写—审阅与编辑，撰写—原始草稿。

利益冲突声明
作者声明，他们不存在任何已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

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东海大学应用数学系，台中市，台湾，407224>