稳态准流体力学半导体模型的层级：多参数极限

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A Hierarchy of Steady Quasi-Hydrodynamic Semiconductor Models: Multi-Parameter Limits

　　

摘要
本文完全关注于由电子和空穴组成的半导体准流体力学方程的模型层级。模型中出现的小参数是动量弛豫时间τm、能量弛豫时间τe和普朗克常数ε。在一维稳态设定下，我们严格证明了完整量子流体力学模型中的多参数极限。更精确地说，当τm→0时，我们获得了强收敛速率O(τm)；当τe→0时，我们推导出强收敛速率O(τe^{1/2})；当ε→0时，我们得到强收敛速率O(ε)；并且我们发现弛豫时间极限（τm, τe→0）和半经典极限（ε→0）是可交换的。特别地，在证明过程中，未对这三个参数施加任何约束。我们采用的证明策略包括参数加权能量方法和紧致性论证。数值模拟被用来验证模型层级的理论收敛速率，展示了在所有三种极限情形下预测的速率O(τm)、O(τe^{1/2})和O(ε)。

引言
准流体力学模型经常被用来描述半导体器件中载流子（电子和空穴）的输运。这些模型超出了最简单的漂移-扩散模型，纳入了额外的非平衡效应（例如载流子加热、速度饱和、弹道输运等），从而提供了更准确、更详细的载流子动力学描述，特别是在高场应用的背景下。更多细节请参阅专著[1]。

考虑由电子和空穴组成的双极半导体器件，通常在各种准流体力学模型中会存在一些小参数。例如，弛豫时间和普朗克常数。因此，令小参数趋于零，我们便获得一个准流体力学半导体模型的层级。

在本文中，我们将自己限定在一维模型中，并从其中最为复杂的一个开始，即无量纲化完整量子流体力学（FQHD）模型：
?n_i/?t + ?j_i/?x = 0,
τ_m2?j_i/?t + ?/?x(τ_m2 j_i2/n_i + n_iθ_i) - ε2n_i?/?x[(√n_i)_xx/√n_i] = (-1)^(i-1)n_i??/?x - j_i,
n_i?θ_i/?t + j_i?θ_i/?x + (2/3)n_iθ_i?/?x(j_i/n_i) - (2/3)?2θ_i/?x2 - (ε2/3)?/?x[n_i?2/?x2(j_i/n_i)] = (2/3 - τ_m2/(3τ_e))j_i2/n_i - n_i(θ_i - θ_L)/τ_e,
?2?/?x2 = n_1 - n_2 - D(x), t > 0, x ∈ Ω := (0,1),

其中i=1,2分别表示电子和空穴。这里，未知变量n_i(t,x)、j_i(t,x)、θ_i(t,x)和?(t,x)分别代表载流子密度、电流密度、载流子温度和自洽静电势。预设常数θ_L > 0代表晶格温度。给定函数D(x)称为掺杂分布，表征半导体中杂质的浓度。系统中小参数为动量弛豫时间τ_m > 0、能量弛豫时间τ_e > 0和普朗克常数ε > 0。在半导体物理中，τ_m远小于τ_e。

值得对(1.1)中的两类高阶项进行详细说明：
-ε2n_i?/?x[(√n_i)_xx/√n_i] 和 -(ε2/3)?/?x[n_i?2/?x2(j_i/n_i)]
分别称为玻姆势项和色散速度项。这些项描述纳米尺度半导体器件（例如谐振隧穿二极管）中的量子效应，参见[2]、[3]、[4]。从数学角度看，(1.2)中的量子修正项与Feng-Knobel[5]仔细研究的具有高阶非线性的Burgers-Korteweg-de Vries型方程中的色散项非常相似，关键在于它们共同具备描述复杂波现象和输运过程的能力，特别是涉及非线性、色散和耗散效应的过程。

在必须同时考虑非平衡载流子动力学和快速瞬态效应的高场、高频场景下，使用含时准流体力学模型变得不可或缺。然而，在仅有非平衡效应主导的高场、低频情况下，稳态准流体力学模型仍然适用。下文我们仅确认稳态模型层级，并将含时确认留作本文的后续工作。

稳态FQHD模型为：
?j?_i/?x = 0,
?/?x(τ_m2j?_i2/n?_i + n?_iθ?_i) - ε2n?_i?/?x[(√n?_i)_xx/√n?_i] = (-1)^(i-1)n?_i???/?x - j?_i,
j?_i?θ?_i/?x + (2/3)n?_iθ?_i?/?x(j?_i/n?_i) - (2/3)?2θ?_i/?x2 - (ε2/3)?/?x[n?_i?2/?x2(j?_i/n?_i)] = (2/3 - τ_m2/(3τ_e))j?_i2/n?_i - n?_i(θ?_i - θ_L)/τ_e,
?2??/?x2 = n?_1 - n?_2 - D(x), x ∈ Ω,

由于Ω=(0,1)是有界区间，我们必须引入物理边界条件（B.C.），即
(n?_i, θ?_i, ??)(0) = (n_{i,l}, θ_L, 0), (n?_i, θ?_i, ??)(1) = (n_{i,r}, θ_L, ?_r), (欧姆接触边界条件)
(√n?_i)_xx(0) = (√n?_i)_xx(1) = 0, (量子vanishing边界条件)
其中边界数据n_{i,l}、n_{i,r}和ρ_r为正常数。

通常，能量弛豫时间与动量弛豫时间相比要长得多，即τ_e ? τ_m。因此，在系统(1.3)中令τ_m→0，我们形式上得到稳态量子能量输运（QET）模型：
?j?_i/?x = 0,
j?_i = (-1)^(i-1)n?_i???/?x - ?/?x(n?_iθ?_i) + ε2n?_i?/?x[(√n?_i)_xx/√n?_i],
j?_i?θ?_i/?x + (2/3)n?_iθ?_i?/?x(j?_i/n?_i) - (2/3)?2θ?_i/?x2 - (ε2/3)?/?x[n?_i?2/?x2(j?_i/n?_i)] = (2/3)j?_i2/n?_i - n?_i(θ?_i - θ_L)/τ_e,
?2??/?x2 = n?_1 - n?_2 - D(x), x ∈ Ω,
具有相同的边界条件(1.4)。进一步，在方程(1.5)中形式上令τ_e→0，我们得到稳态量子漂移-扩散（QDD）模型：
?j?_i/?x = 0,
j?_i = (-1)^(i-1)n?_i???/?x - θ_L?n?_i/?x + ε2n?_i?/?x[(√n?_i)_xx/√n?_i],
?2??/?x2 = n?_1 - n?_2 - D(x), x ∈ Ω,
具有相同的边界条件(1.4)，但θ?_i(x)≡θ_L在整个闭区间Ω?上成立。

另一方面，固定τ_m、τ_e并令ε→0在稳态FQHD模型(1.3)中，我们形式上得到稳态完整流体力学（FHD）模型：
?j?_i/?x = 0,
?/?x(τ_m2j?_i2/n?_i + n?_iθ?_i) = (-1)^(i-1)n?_i???/?x - j?_i,
j?_i?θ?_i/?x + (2/3)n?_iθ?_i?/?x(j?_i/n?_i) - (2/3)?2θ?_i/?x2 = (2/3 - τ_m2/(3τ_e))j?_i2/n?_i - n?_i(θ?_i - θ_L)/τ_e,
?2??/?x2 = n?_1 - n?_2 - D(x), x ∈ Ω,
仅具有欧姆接触边界条件(1.4a)。类似于(FQHD)→(QET)→(QDD)，也可以在稳态FHD模型(1.7)中令τ_m、τ_e→0取极限，形式上得到稳态能量输运（ET）模型和漂移-扩散（DD）模型，即(FHD)→(ET)→(DD)。对于仅考虑多子载流子（电子或空穴）的简化单极模型，极限(FHD)→(ET)→(DD)的严格证明已在[6]中给出。类似于当ε→0时的(FQHD)→(FHD)，我们可以形式上取极限(QET)→(ET)和(QDD)→(DD)。在单极情形下，极限(QDD)→(DD)已在[7]中得到证明。

事实上，这两类极限（即弛豫时间极限τ_m、τ_e→0和半经典极限ε→0）是可交换的。参见图1对上述模型和极限的总结。在半导体物理中，上述从最复杂（FQHD）到最简单（DD）的模型统称为准流体力学半导体模型。

从实际角度来看，纳米尺度半导体器件（例如谐振隧穿二极管、量子阱激光器）的建模需要选择适当的复杂程度。准流体力学模型层级（见图1）提供了一个有原则的回答：它确定了简化计算成本较低的模型（如DD模型）能够作为量子模型（如QDD模型）可靠近似的参数范围，以及近似误差变得显著的范围。三个小参数——动量弛豫时间τ_m、能量弛豫时间τ_e和普朗克常数ε——支配着这一层级。量化当这些参数消失时的收敛速率（见定理1、定理2、定理3）产生的误差界直接影响多尺度求解器的设计和实际应用中模型的选择。从理论角度来看，本文的主要成果是首次在双极FQHD模型中同时且严格地建立了全部三个多参数极限，且不施加任何关联参数的约束。这填补了文献中的空白，并证明了弛豫时间极限和半经典极限是可交换的，从而将模型层级验证为一个数学上自洽的框架。

准流体力学模型可以作为更精细的量子力学模型（如Schr?dinger-Poisson方程）的宏观近似而导出。这涉及到使用Madelung变换或矩方法等技术从量子描述过渡到宏观描述。关于Schr?dinger-Poisson方程的系统相关研究已在[8]、[9]、[10]、[11]中开展。沿着气体动力学的思路，人们可以为准流体力学半导体模型引入亚音速、超音速和跨音速解的概念；也可以将FQHD（或FHD）模型简化，用给定的压力-密度函数p(n_i) := (1/γ)n_i^γ, γ≥1替换能量方程，相应的简化系统称为量子流体力学（QHD）模型（或流体力学（HD）模型），我们参见[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]。

在过去三十年中，准流体力学半导体模型领域已被广泛研究，许多研究者做出了重要贡献。早在1990年，Degond-Markowich[18]首次提出了准流体力学半导体模型的亚音速解概念，并证明了一维单极HD模型稳态的存在性和唯一性。随后，Li等人[19]探索了围绕[18]中获得稳态的小初始数据解的大时间行为。自那以来，各种方法被开发出来以深入挖掘单极HD模型的数学结构，例如光滑解的能量方法[20]、[21]、[22]，以及弱解的补偿紧致性方法[23]、[24]。扩展到双极HD模型也获得了显著关注，并在[25]、[26]、[27]、[28]、[29]中获得了许多引人入胜的结果。与HD模型的研究相比，FHD模型的研究为数不多，但仍有一些重要成果[30]、[31]、[32]、[33]。

关于QHD模型，Huang等人[15]和Li等人[16]、[34]深入研究了光滑解的适定性理论，而Antonelli等人[35]、[36]、[37]、[38]发展了有限能量弱解的适定性理论。有趣的是，Di Michele等人[39]、[40]建立并研究了混合QHD模型，允许半导体器件的多尺度混合。

然而，上述研究主要关注纯粹的亚音速解（即在空间域内或其边界上，解不包含任何音速或超音速状态），使得亚音速-音速解或跨音速解较少被探索。最近，Li等人[12]、[13]重新审视了一维单极稳态HD模型具有音速边界的情形，建立了解的分类（例如内部亚音速/内部超音速/跨音速解的存在性）和不存在性理论。受[12]、[13]中研究成果的启发，Hu等人[41]和Feng等人[42]进一步考虑了满足音速边界条件的这些物理稳态的结构稳定性。

基于上述HD、FHD和QHD模型的适定性理论，小参数极限的验证变得越来越重要，吸引了更多关注。事实上，小参数极限研究可以帮助我们更好地理解这些模型的准确性和适用性。Jüngel-Peng[43]、Hajjej-Peng[44]、Hsiao-Zhang[24]、[29]和Nishibata-Suzuki[6]提供了HD和FHD模型中弛豫时间极限的透彻分析。重要的是，Feng等人[45]进一步探索了具有音速边界的HD模型中的这一极限。QHD模型中的弛豫时间极限也已被Jüngel等人[46]和Zhang等人[16]严格完成。最后但同样重要的是，Huang等人[15]和Nishibata-Suzuki[17]分别在QHD模型中实现了整个空间域和有界空间域上的半经典极限。

尽管研究广泛，但对于FQHD模型的理解仍存在显著空白，而FQHD模型是全面层级分析的起点。此外，现有小参数极限研究的主要局限在于要么只考虑单参数极限，要么两个参数之间总是存在某种技术性组合约束。为弥补这些空白，本文致力于在具有物理边界条件(1.4)的双极稳态FQHD模型(1.3)中进行不受任何限制的多参数极限研究（即动量弛豫时间极限τ_m→0、能量弛豫时间极限τ_e→0和半经典极限ε→0）。

本文其余部分结构如下。在下一节中，我们首先回顾一些有用的概念和预备结果，然后陈述我们的主要定理。在第3节中，我们验证FQHD模型中的弛豫时间极限τ_m、τ_e→0，并证明定理1和定理2。在第4节中，我们检查FQHD模型中的半经典极限ε→0，并给出定理3的证明。在第5节中，我们通过数值实验验证收敛定理。在第6节中，我们总结主要结果并讨论未来工作。

分节摘要
预备知识与主要结果
在本节中，我们首先固定符号和假设，然后提供一些将在全文中使用的预备结果，最后陈述我们的主要结果。

符号。记(H^k(Ω), ‖·‖_k)为标准Sobolev空间及其范数，其中k≥0为非负整数，并设(H^0(Ω), ‖·‖_0)=(L2(Ω), ‖·‖)为标准Lebesgue空间；C^k(Ω?)表示k次连续可微函数空间，范数为|f|_k := ∑_{i=0}^k sup_{x∈Ω?}|?_x^i f(x)|；正的泛泛常数

弛豫时间极限
在本节中，我们首先展示定理1，然后证明定理2。所采用的方法是参数加权能量估计。

定理1的证明 对任意固定的0 < τ_e ≤ 1和0 ≤ ε ≤ 1，我们从FQHD模型到QET模型检验动量弛豫时间极限τ_m→0。为便于符号表示，设FQHD解为(n?_1, j?_1, θ?_1, n?_2, j?_2, θ?_2, ??)_{τ_m}(x)，QET解为(n?_1, j?_1, θ?_1, n?_2, j?_2, θ?_2, ??)_0(x)。它们的存在性和唯一性已在命题2.1中得到保证。

半经典极限
在本节中，我们通过参数加权能量方法结合紧致性论证来证明定理3。

定理3的证明 对任意固定的0 ≤ τ_m < τ_e ≤ 1，我们从FQHD模型到FHD模型检验半经典极限ε→0。

我们记$(\tilde{n}_1, \tilde{j}_1, \tilde{\theta}_1, \tilde{n}_2, \tilde{j}_2, \tilde{\theta}_2, \tilde{\phi})_\varepsilon(x)$为FQHD解，记$(\tilde{n}_1, \tilde{j}_1, \tilde{\theta}_1, \tilde{n}_2, \tilde{j}_2, \tilde{\theta}_2, \tilde{\phi})_0(x)$为FHD解。我们在下方直接引入这两个解之间的差值，$\tilde{\mathcal{N}}_{\varepsilon i} := \tilde{n}_{\varepsilon i} - \tilde{n}_{0i}$，$\tilde{\mathcal{J}}_{\varepsilon i} := \tilde{j}_{\varepsilon i} - \tilde{j}_{0i}$，$\tilde{\Theta}_{\varepsilon i} := \tilde{\theta}_{\varepsilon i} - \tilde{\theta}_{0i}$，$\tilde{\Phi}_{\varepsilon} :=$

### 数值实验

本节中，我们提供数值证据以支持定理1、定理2和定理3中建立的理论收敛结果。

在整个数值模拟过程中，空间域取为$\overline{\Omega}=[0,1]$，同时我们选择边界数据和掺杂分布为$n_{1l}=1.0$，$n_{1r}=1.3$，$n_{2l}=0.8$，$n_{2r}=1.0$，$\theta_L=1.0$，$\phi_r=0.3$，以及$D(x)=0.2+0.1x+0.02\sin(\pi x)$，$x\in\overline{\Omega}$。由于$d_l=n_{1l}-n_{2l}=0.2$，$d_r=n_{1r}-n_{2r}=0.3$，上述数据满足$D(0)=d_l$且$D(1)=d_r$。此外，边界与掺杂扰动$\delta=$

### 结论

本文严格建立了稳态双极性全量子流体动力学（FQHD）模型的三个主要收敛定理：(i) $\tau_m \to 0$ 得到QET模型，收敛速率为$O(\tau_m)$；(ii) $\tau_e \to 0$ 得到QDD模型，收敛速率为$O(\tau_e^{1/2})$；(iii) $\varepsilon \to 0$ 得到FHD模型，收敛速率为$O(\varepsilon)$。

如注记2.2所明确指出的，层级结构（图1）中的所有箭头要么已被显式证明（三个主要定理），要么可以通过形式代入（$\varepsilon=0$，或$\tau_m=0$，或$\tau_e=0$）从一致估计(2.3)严格推导得出。

未引用浮动图2

### CRediT作者贡献声明

Haifeng Hu：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，方法论，调查研究，形式分析，概念化。

Xiaoying Zhang：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，方法论，调查研究，形式分析，概念化。

Yingjie Zhu：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，方法论，调查研究，形式分析，概念化。

### 利益冲突声明

作者声明以下财务利益/个人关系，可能被视为潜在利益冲突：Haifeng Hu报告获得了中国国家自然科学基金的财务支持。Xiaoying Zhang报告获得了吉林省科学技术厅的财务支持。Yingjie Zhu报告获得了中国国家自然科学基金的财务支持。如果有其他作者，他们声明其不存在利益冲突。

**Haifeng Hu | Xiaoying Zhang | Yingjie Zhu**

长春大学数学与统计学院，中国长春 130022