任意双曲多边形的正双曲重心坐标及其应用

《Computers & Graphics》：Positive hyperbolic barycentric coordinates for arbitrary hyperbolic polygons and applications

　　

•为非凸双曲多边形构建了正重心坐标。
•所提出的方法保证了正性和光滑性。
•展示了在图像变形和双曲混合中的应用。

引言
重心坐标提供了一种独特的方法，将点在同一固定多边形内的位置表示为该多边形顶点的仿射组合。它们在计算机图形学和几何处理中起着关键作用，应用于有限元分析 [1]、颜色插值 [2]、网格参数化 [3]、形状变形 [4]、网格变形 [5] 以及许多其他应用 [6]。然而，对于顶点数超过三个的平面多边形，重心坐标并不是唯一的。这导致了多种广义重心坐标族的发展。每种类型根据所需属性和应用提供了不同的优势，详见 [7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]。

同样，表面重心坐标提供了一种相对于测地多边形定位表面上点的独特方法。Rustamov [14] 使用黎曼质心和指数映射研究了表面上的重心坐标。在双曲平面上，广义重心坐标的研究最近由 Bensad 和 Ikemakhen [15] 完成，表明其在网络分析、双曲深度神经网络（HDNNs）和双曲游戏设计中具有广阔的应用前景。

尽管有了这些发展，现有的双曲重心坐标构建方法通常不能保证非凸多边形的正性。这一局限性在图像变形和形状变形等应用中尤为相关，因为负坐标可能导致不良的失真和伪影。因此，为任意双曲多边形（包括非凸多边形）构建正重心坐标仍然是一个重要的挑战。在本工作中，我们通过开发一种计算方法来解决这一挑战，该方法适用于凸和非凸多边形，用于计算正双曲重心坐标。

章节片段
相关工作
平面重心坐标因其在计算几何、计算机图形学和有限元方法中的应用而引起了广泛关注。许多重心坐标构建方法已被开发出来，例如 Wachspress 坐标 [7]、离散调和坐标 [8]、平均值坐标 [9]、度量坐标 [10]、正平均值坐标 [16]、Gordon-Wixom [11]、Poisson [12] 和其他坐标 [6]、[13]、[17]、[18]。最近，Deng 等

贡献
本文提出了一种计算相对于双曲多边形的正重心坐标的方法。这些坐标提供了两个关键优势：保证正性和能够表示非凸多边形的内部点。我们仅依赖于熟悉的双曲三角学和欧几里得单位圆（第 5 节）。

为了展示这些双曲坐标的优势，我们探索了双曲平面和双曲几何上的图像扭曲和变形的具体示例。

双曲几何与双曲重心坐标
本节概述了双曲平面和庞加莱圆盘上的双曲几何，以及双曲重心坐标的构建。

正双曲重心坐标
设 P=[v?,…,v?] 为 H 上的一个双曲多边形，且 v 为 P 内部的一个点（见图 1(b)）。我们的正双曲重心坐标构建基于以下命题：

命题 5.1
设 v?? ? 1/sinh(θ?) v? - coth(θ?) v，i=1,…n，其中 θ? ? d_H(v?, v)。我们有：
1. ?v??, v?_L = 0，这意味着 v?? 位于相对于洛伦兹乘积与 v 正交的正交向量空间中。由于 v 是类时的，洛伦兹乘积在该向量空间上的限制是正定的。
2. ?v??, v???_L = 1。
3. 若 v=Ω

实现
在本节中，我们给出了算法 1 用于计算正双曲重心坐标（PHC）。

应用
本节评估了正双曲重心坐标在图像变形和双曲混合中的有效性。这是通过在双曲平面 H 和庞加莱圆盘 D 上通过示例实现的，并与双曲平均值坐标进行比较。

结论
本工作介绍了一种计算方法，用于计算相对于非凸多边形在双曲平面及其模型庞加莱圆盘上的正双曲重心坐标。这些坐标在图像变形和双曲混合中具有优势，与标准双曲重心坐标相比获得了更好的结果。一个自然的进展是探索计算其他齐次黎曼表面上的正重心坐标。另一个未来

CRediT 作者贡献声明
Alaa Eddine Bensad：撰写 – 审阅与编辑，撰写 – 原稿，可视化，验证，方法论，概念化，形式化分析，调查。
Aziz Ikemakhen：验证，监督，方法论，可视化，撰写 – 原稿。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系，这些可能影响本文报告的工作。

Alaa Eddine Bensad|Aziz Ikemakhen