基于标量辅助变量方法的二维sine-Gordon方程能量稳定伽辽金有限元方法的超收敛误差分析

《Computers & Mathematics with Applications》：Superconvergence error analysis of an energy-stable Galerkin finite element method for the two-dimensional sine-Gordon equation based on scalar auxiliary variable approach

　　

# 摘要

本文建立了二维sine-Gordon方程的线性化标量辅助变量（SAV）Galerkin全离散格式，并研究了其超收敛误差分析。首先证明了数值格式的能量稳定性。然后，基于矩形网格上双线性元的特殊性质以及精确解的插值与Ritz投影在H1范数间的超逼近估计，严格推导了H1范数中的超逼近误差估计。进一步地，通过插值后处理技术获得了H1范数下的整体超收敛结果。最后，给出了一些数值结果以验证能量稳定性和超收敛性质。

# 引言

本文关注具有Neumann边界条件的二维sine-Gordon（sG）方程：

$$u_{tt} - \Delta u + \sin u = 0, \quad (\mathbf{x}, t) \in \Omega \times (0, T],$$
$$u(\mathbf{x}, 0) = u_0(\mathbf{x}), \quad u_t(\mathbf{x}, 0) = u_1(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in \Omega,$$
$$\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} = \nabla u \cdot \mathbf{n} = 0, \quad (\mathbf{x}, t) \in \partial\Omega \times (0, T],$$

其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 是具有边界 $\partial\Omega$ 的矩形域，$u = u(\mathbf{x}, t)$，$\mathbf{x} = (x, y)$，$\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}$ 表示在 $\partial\Omega$ 上的法向导数，$T > 0$ 为有限数。

科学与工程领域中各种物理现象的模拟可以通过偏微分方程来描述。Sine-Gordon方程是最著名的非线性双曲型偏微分方程之一，是非线性科学中的重要动力学模型，同时在诸多物理应用中发挥着核心作用，如相对论场论、Josephson结中通量的传播[1]、晶体中的位错、铁磁波的传输[2]、非线性光学[3]等。此外，sine-Gordon方程是一个具有多种孤子型解的重要非线性偏微分方程，而孤子现象是各种物理问题中的常见现象。系统(1.1)–(1.3)关于 $t$ 保持能量函数为常数，即

$$E(t) = \frac{1}{2} \int_\Omega (u_t)^2 + |\nabla u|^2 + 2G(u) \, d\mathbf{x} = \text{const},$$

其中函数 $G(u)$ 定义为（参见[4]）

$$G(u) = 1 - \cos(u).$$

由于(1.1)–(1.3)是能量保守系统，设计数值格式以保持给定连续系统的保守结构在离散类似物中具有重要意义，这具有长时间模拟能力的优势，并且能够捕捉更多物理过程的细节[5], [6]。关于sine-Gordon方程有许多有效的数值方法，包括有限差分法[7], [8], [9], [10], [11], [12]、有限元方法[13], [14], [15], [16], [17], [18], [19]以及其他方法[20], [21], [22], [23], [24]。特别是，在[11]中详细研究了广义sine-Gordon方程的两类有限差分法的收敛性和稳定性。在[12]中提出了一种无条件能量稳定的二阶隐式有限差分方法来求解非线性sine-Gordon方程。在[13]中提出并研究了一种基于简单四节点双线性有限元与广义Newmark积分方案相结合的有限元算法，用于求解二维空间中的sine-Gordon方程。在[17]和[18]中分别讨论了具有Dirichlet边界条件的sine-Gordon方程的非协调有限元近似。然而，这些数值格式并不满足能量守恒。

标量辅助变量（SAV）方法最近在[25], [26]中被提出，用于处理梯度流中的非线性项。SAV方法受到IEQ方法[27], [28]的启发，继承了其基本优点并克服了其诸多不足。SAV方法由于其固有的保持能量耗散律的优势，能够导致高效且鲁棒的能量稳定格式。SAV类方法引起了广泛关注，并已成功应用于求解各种复杂的非线性问题，如Navier-Stokes方程[29], [30]、磁流体力学方程[31], [32], [33]、Schr?dinger方程[34]等。在[35]中，基于SAV方法，为具有齐次Neumann边界条件的sine-Gordon方程建立了一种线性化隐式能量守恒格式。但尚无详细的误差分析。

据我们所知，目前尚无关于具有齐次Neumann边界条件的sine-Gordon方程SAV方法的超收敛误差估计。基于上述SAV方法以及矩形网格上双线性元的高精度误差估计，本文的主要目的是研究一种能量稳定的线性化Galerkin SAV格式的超收敛误差估计，用于求解问题(1.1)–(1.3)。

本文其余部分安排如下。在第2节中，介绍了一些预备知识和引理。在第3节中，详细研究了能量稳定全离散Galerkin格式的收敛性和超收敛误差估计。在最后一节中，进行了一些数值实验以验证所提方法的能量稳定性质以及在齐次Neumann边界条件下长时间性能的有效性。

# 预备知识和引理

全文中，设 $W^{m,p}(\Omega)$ 为标准Sobolev空间，具有范数 $\|\cdot\|_{m,p}$ 和半范数 $|\cdot|_{m,p}$（参见[36]）。$(\cdot, \cdot)$ 表示标准的 $L^2$ 内积。当 $p=2$ 时，用 $H^k(\Omega)$ 表示 $W^{k,2}(\Omega)$。当 $k=0$ 时，$H^0(\Omega) = L^2(\Omega)$，$H^k(\Omega)$ 和 $L^2(\Omega)$ 中的范数分别记为 $\|\cdot\|_k$ 和 $\|\cdot\|_0$。一般常数 $C > 0$（带或不带下标）与 $n$（时间步）、$h$（空间步长）、$\tau$（时间步长）无关，在不同位置可能取不同的值。

设 $\mathcal{T}_h$ 为...

# 数值实验

本节中进行一些数值实验，以验证所提SAV数值格式求解二维sine-Gordon方程的有效性。所有算例均取齐次Neumann边界条件。

**例3.1 精度测试**

在计算中取域 $\Omega = (0,1) \times (0,1)$，终时刻 $T = 1$。考虑如下sine-Gordon方程：

$$u_{tt} - \Delta u + \sin u = g(t, x, y), \quad (x, y) \in \Omega, \quad 0 < t \leq T.$$

设函数 $g$ 以及初始和边界条件选取为对应精确解的...

怀俊杨 | 许佳

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