复杂石墨烯片层上波传播新有限元方法的开发与分析

《Computers & Mathematics with Applications》：Development and analysis of a new finite element method for wave propagation along complex graphene sheets

　　

摘要
沿石墨烯界面传播的表面等离激元极化激子（SPPs）为研究石墨烯及其周围介电环境的纳米光学和电动力学行为提供了有价值的见解。然而，由于强介电对比、几何复杂性以及需要正确描述SPP激发与传播的界面条件的要求，对其进行精确数值模拟仍然充满挑战。在本工作中，我们建立了一个简化但物理一致的石墨烯界面模型，并设计了一种针对SPP动力学的有限元方法。我们证明了连续模型的稳定性，并引入了一种高效的数值离散方案，能够准确解析表面波行为。大量计算实验——包括几何复杂和异质石墨烯构型——表明，所提出的方法能够高保真地可靠地捕捉SPP现象。

引言
2004年，曼彻斯特大学的Andre Geim和Konstantin Novoselov成功分离了单层石墨烯[1]。他们的实验揭示了石墨烯非凡的电子迁移率、机械强度和量子行为，引发了物理学、化学、材料科学和工程领域研究热潮的爆发。鉴于他们的突破性成就，Geim和Novoselov被授予2010年诺贝尔物理学奖。

自2004年以来，石墨烯一直被认为是21世纪最具影响力的材料之一。石墨烯独特的卓越电导率、机械强度、柔韧性和大表面积的结合，使其在现代技术领域具有广泛的重大影响应用。它被用于增强高性能电子器件，如超快晶体管、透明导电膜和柔性显示屏，其二维结构能够实现更快的电荷传输和更薄的器件。在能源系统中，石墨烯通过提高导电性和存储容量，改善了锂离子电池、超级电容器和燃料电池。其机械坚固性和不透性使其在复合材料、保护涂层以及用于脱盐和气体分离的先进膜中具有重要价值。石墨烯还在传感领域发挥着重要作用，实现了高灵敏度的化学、生物和环境探测器。这些多样的应用展示了石墨烯在电子、能源、材料工程和环保技术领域的变革潜力（参见[2]、[3]、[4]）。

石墨烯的计算机建模至关重要，因为它允许研究者精确地理解和预测石墨烯卓越的电子、机械和光学特性，而仅靠实验无法达到这一精度。石墨烯的行为受量子尺度现象支配——如狄拉克费米子、表面等离激元以及强电子-声子相互作用——这些需要先进的数值模拟才能进行真实的分析。建模能够设计基于石墨烯的器件，优化材料性能，并在昂贵的制造之前探索新的构型，如缺陷、多层和官能化表面。它还提供了对与基底、界面和电磁场相互作用的见解，这对于纳米电子学、光子学和能源技术的应用至关重要。总体而言，计算机建模是一项基础工具，能够加速石墨烯研究，指导实验努力，并支持实用的、高影响力石墨烯技术的发展。

在过去几十年中，计算电磁学产生了一系列有效的数值技术，包括有限差分时域（FDTD）方案（例如参见[5]、[6]、[7]）以及在研究文章[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]和专著[17]、[18]、[19]中开发的有限元方法（FEM）。基于这些基础，许多高效稳定的算法已被设计用于模拟基于石墨烯器件中的电磁现象。现有的石墨烯数值处理方法大致分为两大类。第一种方法将石墨烯建模为具有小但有限厚度的薄膜[20]。第二种方法将石墨烯视为零厚度界面[21]。由于薄膜近似易于实现，它在文献和商业仿真软件中被广泛使用[22]、[23]。然而，用极小的物理厚度表示石墨烯迫使网格在其附近高度细化。在显式时域求解器中，这种细化对时间步长施加了严格限制，并大幅增加内存和计算成本。

石墨烯物理和基于石墨烯器件研究的快速增长促进了并行推进的数学分析[24]、[25]、[26]以及波与石墨烯相互作用精确建模技术的发展（参见例如[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]）。在本工作中，我们的重点是数值模拟石墨烯界面支持的表面等离激元极化激子（SPPs），因为这些表面波为探测石墨烯及其周围介电环境的纳米光学行为提供了敏感探针[34]。石墨烯等离激元处于技术上重要的太赫兹至中红外波段：太赫兹辐射在无损检测、安检和军事传感应用中发挥着核心作用，太赫兹波可以穿透包装，实现化学或生物检测，并协助通信或隐藏武器识别。由于石墨烯中的SPP难以实验激发和测量，可靠的计算工具对于基于石墨烯组件的设计和分析至关重要。鉴于复杂器件几何形状可能限制FDTD类方法的实用性，我们最近引入并分析了若干针对石墨烯建模的有限元时域（FETD）方案[35]、[36]、[37]、[38]、[39]。[35]、[36]中的方法将石墨烯近似为具有小但有限厚度的薄层，而[38]、[39]开发了一种完全零厚度的公式，能够准确捕捉石墨烯SPP。作为背景，我们指出[28]、[29]采用频域FEM公式，而[30]中的积分-微分时域描述针对二维SPP传播。此外，Nicholls及其同事[40]提出了高阶扰动表面方法，用于计算由色散Drude型表面电流模型支配的完全平坦石墨烯片上的等离激元场。

在本文中，我们通过将石墨烯片视为零厚度，提出了一种新的FETD方法。新方法基于重新表述的石墨烯控制方程系统，以电场和表面电流作为未知量。与我们先前的工作[38]相比，新系统不包含显式的感应电流。由于我们采用了简单的吸收边界条件而非复杂的完美匹配层模型，与先前的工作[39]相比，计算时间有了巨大改进。此外，与[39]相比，我们获得了新石墨烯模型公式的干净稳定性。

本文其余部分组织如下。在第2节中，我们首先提出并重新表述用于模拟石墨烯片上表面等离激元极化激子的时域控制方程。然后我们证明该新模型解的存在唯一性，以及该模型的稳定性。在第3节中，我们为石墨烯模型提出了一种蛙跳类型的有限元方案，并建立了该方案的数值稳定性和误差估计。在第4节中，我们展示大量数值结果，以证明我们的方法在模拟各种复杂石墨烯片上SPP现象方面的有效性。我们在第5节总结本文。

模型截断
控制方程与适定性研究
在我们先前的工作[35]、[36]中，石墨烯被建模为具有有效介电常数和小但有限厚度的均质薄层。忽略对电导率的带间贡献，得到用于描述表面等离激元传播的TEz系统[35, (2.7)–(2.12)]：
?0 ?t E = ?×H，在Ω中，
μ0 ?t H = ??×E ? Ks，在Ω中，
τ0 ?t J + J = σ0 E，在Γ上，
其中E = (Ex, Ey)′ 和 H = Hz 分别表示电场和磁场，Ks 是预设磁源，J ? Jd 表示感应带内...

蛙跳有限元方案及其分析
为设计有限元方法，我们用具有最大网格尺寸 h 的形状规则三角形网格 ??h 对物理域 Ω 进行划分，其中 Γ 作为内部边界。不失一般性，我们在三角形单元上采用第二类旋度协调有限元空间 Vh[18]、[43]：对于任意 r ≥ 1，
Vh = {vh ∈ H(curl; Ω) : vh|K ∈ (pr)2, ?K ∈ ??h}，
其中 pr 表示次数小于或等于 r 的多项式空间。
为处理PEC边界条件(2.4)，我们引入子空间...
V0h = {vh ∈ Vh : ...}

数值结果
本节展示由我们提出的方案获得的数值结果，所有模拟均在NGSolve[46]中进行。第一个算例旨在测试我们方案的收敛性。其余算例用于证明我们重新表述的石墨烯模型仍能成功产生表面等离激元极化激子。

结论
在本文中，我们首先通过消除磁场重新表述了石墨烯建模方程。新模型由以电场表述的矢量波动方程与表面电流控制方程耦合组成。然后我们证明了模型解的存在唯一性，并开发了一种有限元方法来求解该耦合系统。证明了所提出方法的数值稳定性和误差估计。展示了大量数值实验以证明...

利益冲突声明
作者没有需要声明的与本文内容相关的利益冲突。

李吉春 | 朱丽
美国内华达大学拉斯维加斯分校数学科学学院，内华达州，邮编89154-4020