深算子有限元方法：一种用于变载荷下弹性的离散变分神经算子

《Computers & Structures》：The deep operator finite element method: A discrete variational neural operator for elasticity under variable loading

　　

摘要

学习参数化偏微分方程的解算子对于实时模拟和工程分析至关重要。然而，现有的物理信息神经算子常常由于数值求积误差、采样变异性以及与连续定义的物理损失相关的优化困难而导致训练不稳定。为解决这一问题，我们提出了深度算子有限元方法（DOFEM），一种用于变载荷下弹性问题的离散变分神经算子。DOFEM将深度有限元方法扩展到算子学习领域，通过结合DeepONet与直接由组装的有限元刚度矩阵和等效节点载荷向量构造的物理损失来实现。对于线性弹性，该损失相对于预测的节点位移向量恰好是二次的，且其在节点输出空间中的驻值条件与离散有限元平衡方程一致。基于刚度矩阵的损失引入了确定性的代数曲率结构，这可以优化优化稳健性。数值实验表明，DOFEM比基于能量的PI-DeepONet基线更稳定、更精确。特别是，在一个三维问题中，基线变得数值不稳定且无法收敛，而DOFEM依然保持稳健。训练完成后，DOFEM可作为高效的、可微分的替代模型，用于未见载荷下的快速预测，有效地弥合了离散变分力学与神经算子学习之间的鸿沟。

引言

偏微分方程（PDEs）构成了计算力学的数学基础，是结构变形、热传递、流体流动以及其他许多物理现象建模的核心。对于复杂系统，解析解极少可得，高保真预测通常通过有限差分法（FDM）[1]和有限元法（FEM）[2]等数值方法获得。其中，有限元法已成为固体和结构力学中的主流工具，这得益于其在处理复杂几何形状、非均质材料和混合边界条件方面的灵活性。然而，其计算成本在多查询场景中可能变得难以承受，例如设计优化、不确定性量化、逆分析和数字孪生等场景，在这些场景中，控制问题必须在变化的参数或运行条件下被重复求解。因此，迫切需要先进的计算模型能够在实时提供高保真预测[3]。

近年来，科学机器学习已成为应对这一挑战的有力范式[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]。深度神经网络（DNNs）在计算机视觉[10]、[11]、[12]和自然语言处理[13]等领域的显著成功启发了其在科学计算中的应用。该领域的一个重要框架是物理信息神经网络（PINN）[14]，它将控制物理定律直接嵌入到损失函数中。通过对网络输出施加第一性原理约束，PINNs在将物理知识融入数据驱动建模方面显示出相当大的潜力[15]、[16]、[17]。广义地说，现有的物理信息神经网络方法可分为两类：强形式方法[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]和变分法或基于能量的方法[26]、[27]、[28]、[29]、[30]。

强形式方法通过对PDE残差的逐点最小化来强制执行控制方程。代表性例子包括深度Galerkin方法（DGM）[23]、hp变分PINNs[24]和守恒型PINNs[25]。尽管这些方法在概念上具有通用性，但它们通常依赖于对网络输出进行反复的自动微分来计算空间导数。在弹性及相关力学问题中，这往往使优化问题变得病态，尤其是在高维设置或涉及高阶导数时[31]、[32]。因此，训练可能变得不稳定或缓慢，甚至可能无法收敛。

为缓解这些困难，变分方法被引入了物理信息学习中。该类别中的代表性方法包括深度Ritz方法（DRM）[26]、深度能量法（DEM）[27]、[28]、[29]和守恒能量神经网络（CENN）[30]，它们都通过能量泛函而非强形式残差来定义损失。在计算固体力学中，这一策略尤其具有吸引力，因为许多平衡问题自然地源于最小势能原理。与强形式PINNs相比，这些方法通常能提高稳健性并减少训练过程中所需的微分阶数。

尽管具有这些优势，大多数现有的基于能量的PINN仍在连续能量泛函的层面上构建物理损失。因此，损失必须通过数值近似，通常通过对区域进行求积或蒙特卡洛采样[33]。由此产生的优化问题会受到采样方差、积分误差以及多个损失分量之间相互作用的影响。因此，尽管连续变分方法通常比强形式残差最小化更稳定，但它们并不能在实际力学问题中完全消除训练缺陷，特别是在三维弹性问题中。

为进一步提高稳健性，近期研究已将离散力学结构纳入基于神经网络的求解器中。在深度能量法及相关方法的文献中，已引入了基于形函数的梯度计算和受有限元启发的离散化策略，以减少对反复自动微分的依赖，并提高力学问题的数值稳定性[34]、[35]。这些研究表明，结合离散数值结构的物理信息学习方法可以比纯连续配点法公式显著更加稳健。

沿这一方向，深度有限元方法（DFEM）[36]在离散有限元系统的层面上重新构建了物理信息学习。DFEM不使用神经网络直接逼近连续解场，而是使用网络表示节点自由度，节点之间的场通过标准有限元形函数重构。这种有限元一致的表示使得总势能可以直接用组装的有限元系统来表示。因此，物理信息损失不再是连续变分泛函的采样近似，而是离散有限元势能本身，其驻值条件与有限元平衡方程一致。这样，DFEM建立了一个离散变分学习框架，继承了有限元离散化的代数结构，从而提供了更有结构的训练目标。然而，尽管具有这些优势，DFEM仍然本质上是一个单实例求解器：它设计用于一次解决一个边界值问题，在载荷条件变化时通常需要重新训练或重复优化。

这一限制在多查询力学应用中至关重要，在这些应用中，目标不仅仅是精确解决一个PDE实例，而是学习底层的解算子，即将一族输入函数映射到相应响应场。这种需求推动了神经算子的发展[37]、[38]、[39]、[40]，包括傅里叶神经算子（FNO）[37]、图神经算子（GNO）[39]、深度算子网络（DeepONet）[40]以及相关算子学习方法。FNO在规则网格上的算子学习非常高效，因为它通过傅里叶域卷积捕捉全局相互作用。然而，其标准公式在处理不规则几何形状、复杂边界条件或在物理坐标中灵活逐点求值的问题上不太方便。GNO可以通过基于图的消息传递来处理不规则离散化和复杂几何形状，但它需要显式的图构建，并且对于稠密的三维力学问题可能会产生高昂的计算和内存成本。在这些神经算子框架中，DeepONet提供了一个灵活的架构来学习函数空间之间的映射，并已成功应用于参数化PDEs[41]、[42]。在弹性方面，DeepONet提供了一个学习从变化载荷条件到位移场映射的自然框架，同时其主干网络允许基于坐标的求值。

物理信息DeepONet（PI-DeepONet）[43]通过将与算子学习相关的物理约束嵌入其中来进一步减少了对标记数据的依赖。然而，当在标准强形式或连续能量公式中实施时，这些方法往往会重新引入PINNs中遇到的同样困难，包括梯度不稳定性、配点敏感性和复杂三维力学问题的收敛性差。因此，近期研究开始将有限元离散化和有限元残差纳入物理信息神经和算子学习框架中，旨在提高数值稳健性并更好地利用成熟的离散化技术。在网格信息算子学习[44]的语境下，隐式有限算子学习（iFOL）[45]引入了一种物理信息编码器-解码器框架，其中参数化解场由隐式神经场表示，损失由有限元加权残差构造。通过在PDE编码和解码过程中反传离散残差，iFOL展示了有限元诱导的残差在学习参数化PDEs的解算子方面的潜力，包括具有复杂几何形状和不连续解特征的情况。类似地，有限元算子网络（FEONet）[46]将深度学习与有限元近似相结合，以解决参数化PDEs，无需配对的输入-输出训练数据，并提供了基于有限元近似理论的收敛性分析。最近，有限元引导的物理信息算子学习已扩展到非线性和耦合多物理场问题[47]，包括热-力系统和化学-力系统、非均质微结构、不规则几何形状和变化的边界条件。这些发展表明，一个日益增长的共识是，将离散有限元残差嵌入到算子学习损失中可以缓解强形式物理信息学习的一些局限性，并提高与复杂几何形状、非线性本构行为以及实际工程离散化的兼容性。

在DFEM建立的离散变分学习框架基础上，本工作开发了深度算子有限元方法（DOFEM），用于变载荷下的算子学习。核心思想是将DeepONet的函数空间学习能力与支撑DFEM的有限元诱导的离散变分结构相结合。DOFEM与现有的网格信息或有限元引导算子学习方法不同。在许多这类方法中，网格或有限元离散化用于构建控制方程的离散或加权残差，然后作为物理信息损失。相比之下，DOFEM采用有限元网格和弹性变分原理来构建一个离散能量泛函作为训练损失。因此，所提出的损失是基于能量的而非基于残差的。

该框架将DFEM从单实例问题求解扩展到变载荷下的算子学习，同时保留了由组装的有限元系统诱导的离散变分结构。由此产生的方法提供了弹性问题的离散变分神经算子公式。对于线性弹性，物理信息损失直接定义为离散有限元能量泛函的层面，其驻值条件与离散有限元平衡方程一致。这种离散变分结构导致比标准强形式或连续能量PI-DeepONet公式更规则的优化几何形状，并有助于解释实践中观察到的改进训练稳定性。本工作的主要贡献总结如下：

1）一个离散变分神经算子公式。我们直接由组装的有限元刚度矩阵和等效节点载荷向量构建物理信息神经算子损失，从而避免了训练过程中对连续变分泛函数的重复数值近似。

2）面向稳定性的训练解释。对于线性弹性，所提出的物理损失相对于节点位移输出是二次的，且相对于这些输出的驻值恢复了离散有限元平衡方程。此外，在平衡解附近，参数空间Hessian由局部占主导的高斯-牛顿型项决定，这为DOFEM相对于标准连续能量PI-DeepONet公式的改进优化行为提供了代数解释。

3）变载荷下的稳定算子学习。通过将离散变分结构嵌入到DeepONet中，DOFEM学习载荷到位移的算子，并在连续能量PI-DeepONet在优化期间表现出严重数值不稳定的问题中实现了稳健收敛，尤其是在三维情况下。

4）一个用于多查询弹性的有效离线-在线替代模型。一旦训练完成，DOFEM作为高效的可微分替代模型，用于快速结构响应预测。对于奇异或高度局部化的载荷，它还能产生更平滑的响应场，这可被解释为学习解空间中一种物理感知的正则化。

本文其余部分组织如下。第2节简要回顾人工神经网络和DeepONet。第3节介绍DFEM。第4节提出DOFEM公式并讨论其稳定性特性。第5节通过二维和三维数值例子验证框架。最后，第6节总结全文。

章节片段

人工神经网络

存在多种神经网络架构，包括多层感知器（MLPs）[48]、卷积神经网络（CNNs）[49]、循环神经网络（RNNs）[50]和transformers[51]。机器学习与科学计算的整合在很大程度上依赖于神经网络的强大函数逼近能力。因此，MLP仍然是科学机器学习应用中广泛使用的架构。因此，本工作重点关注

深度有限元方法

深度有限元方法（DFEM）[36]架起了深度学习与经典有限元分析之间的桥梁。与基于配点的PINNs不同，DFEM采用神经网络来逼近节点响应：??(??)=??(??;??)，其中??表示节点的坐标。

单元内的响应函数随后通过形状函数插值获得：ue(x) = Ne(x)ue(xe) = Ne(x)N(xe; θ)，其中 Ne(x) 和 xe 分别为第 e 个单元的形状函数矩阵和坐标向量。

该潜在深度学习算子有限元方法

如第3节所述，DFEM直接在组装后的有限元系统层面构建物理信息学习。其物理损失为离散总势能，其对节点位移变量的驻值恢复了有限元平衡方程。然而，DFEM仍然是单实例求解器：当载荷变化时，通常需要单独优化。这一局限性在许多查询应用中很重要，其中

变载荷S形板

本小节考虑了一个S形板基准问题，该问题改编自我们之前的DFEM研究。其几何形状、材料特性和基本边界条件遵循文献[36]中使用的设置，而本研究通过引入可变边界载荷、离散载荷基和先前未见载荷组合下的预测，将该问题重构为算子学习任务。如图4(a)所示，板的上边界被固定，而其

结论

本文提出了深度学习算子有限元方法（DOFEM），这是一种用于变载荷弹性问题的离散变分神经算子框架。DOFEM将DFEM的离散变分学习框架从单实例弹性分析扩展到变载荷下的算子学习。通过将DeepONet架构与直接由组装后的有限元刚度矩阵和等效节点载荷向量构建的物理信息损失相结合，所提出的

CRediT作者贡献声明

Wei Xiong：写作 – 审阅与编辑，写作 – 原稿，方法论，调查研究，数据整理。
Xiangyun Long：写作 – 审阅与编辑，写作 – 原稿，方法论，资金获取，概念构思。
Jinwu Li：写作 – 审阅与编辑。
Stéphane P.A. Bordas：写作 – 审阅与编辑，监督指导。
Chao Jiang：写作 – 审阅与编辑，资金获取。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本文报告的工作。

致谢

本工作得到国家自然科学基金重大研究计划（92570104）、国家自然科学基金（52235005, 52575270）以及湖南省科技创新计划（2024RC3097）的资助。

Wei Xiong | Xiangyun Long | Jinwu Li | Stéphane P.A. Bordas | Chao Jiang