带有Robin边界条件的椭圆最优控制问题hp-有限元方法误差估计

《Computers & Mathematics with Applications》：Error estimates of hp-finite element method for elliptic optimal control problems with Robin boundary

　　

摘要

本文提出了具有Robin边界条件和边界观测的椭圆控制问题的hp有限元方法的事先和事后误差分析。通过Clement型方法以及辅助系统的构造，我们推导了椭圆最优控制问题的事先误差估计。基于众所周知的Scott-Zhang型准插值和耦合的状态-控制近似，我们导出了基于残差的事后误差估计，从而为hp有限元方法建立了事后误差估计器。数值算例展示了该误差估计对具有Robin边界的椭圆最优控制问题的准确性。

引言

近年来，最优控制问题由于其广泛的实际应用，在众多学科领域引起了极大关注。例如，Grass等人[1]提出了一种将数据驱动预测与最优控制理论相结合的方法，以在沿海捕获限制下高效管理和调度渔业资源。Zheng等人[2]构建了最优控制模型，将浸没式电弧炉系统与可再生能源（特别是光伏和风能）以及现代智能能源终端进行整合，实现了经济效益和可持续管理的双重效益。Amornraksa等人[3]通过引入多个操纵变量和生物质，提出了一种新颖的控制策略，实现了废水浓度的观测和控制。

有限元方法已被广泛用于求解和分析最优控制问题的误差估计。该领域的研究从区域控制研究[4]、[5]、[6]发展到了边界控制的研究[7]、[8]、[9]。然而，据我们所知，关于Robin边界约束下边界状态期望的误差估计研究仍然稀少。本文旨在填补这一空白，丰富现有文献。

在最优控制问题中，不同边界条件下的误差分析表现出不同的特征。Dirichlet边界条件是最常见的类型，已被众多学者广泛研究[10]、[11]、[12]。文献[13]提出了一种用于椭圆问题的内罚混合间断Galerkin（IP-HDG）方法，证明了误差在W1,∞和L∞范数下的最优和近最优逼近性质，并将理论结果应用于逐点状态约束的最优控制问题。对于Neumann边界条件，Liu等人[8]利用虚拟单元离散方案、一阶和二阶最优性条件以及辅助问题，推导了H1和L2范数下的事先误差估计。类似的工作包括Wang等人[7]，通过提高u和拉格朗日乘子λ的正则性获得了L2误差估计。Mordukhovich[14]分析了具有控制逐点约束的双曲最优控制问题，通过研究非线性多维波项建立了新的必要最优性条件。Liu[15]处理了具有Robin边界条件混合情形的抛物PDE最优控制问题，提出了一种二阶有限差分格式，并严格证明了其稳定性和收敛性。与此同时，Ciaramella等人[16]专注于将优化的Schwarz波形松弛方法应用于周期抛物最优控制问题，采用半离散时间格式，并分析了时间离散化趋于零时的渐近行为。

在最优控制问题的有限元分析中，可以通过三种主要策略来提高解的精度：减小单元尺寸（h-版本）、增加多项式阶次（p-版本）或结合两者（hp-版本）。通过细化单元尺寸的h-版本有限元方法是传统方法，通常与自适应网格细化策略相结合。例如，Guo[17]为足够精细的初始网格提供了L2误差分析，并证明了非单调椭圆问题自适应有限元方法的收敛性；Winterscheidt[18]改进了连续p阶插值逼近函数以产生"半正交"逼近函数，在生成拉普拉斯方程的刚度和质量矩阵时显著降低了条件数。hp-版本方法在网格划分方面提供了更大的灵活性：解函数在光滑区域倾向于调整单元尺寸h，在非光滑区域调整单元阶次p。这一特性赋予了该方法通过事后误差估计器提高自适应有限元精度的天然优势。Gong等人[19]研究了hp有限元方法的事后误差估计，并开发了各种基于残差的加权事后误差估计器。Chen和Lin[20]引入了新的Clement型和Scott-Zhang型插值算子，并研究了基于这些新准插值算子的事后误差估计。Wachsmuth[21]利用hp-有限元离散化，通过分析解的正则性证明了其在适当选择的加权Sobolev空间中的归属性，并建立了指数收敛率。

本文研究了具有Robin边界条件和边界观测的椭圆最优控制问题，采用hp-有限元方法进行分析。我们推导了事先和事后误差估计，从而应对了Robin边界约束在控制问题中提出的研究不足的挑战。所提出的基于残差的估计器统一了可靠性和高效性，便于在实际实施中进行自适应细化。这些结果扩展了hp-FEM在边界驱动优化中的适用性，为复杂的PDE约束场景提供了理论见解。

本文后续章节的结构如下：第2节给出了问题描述和预备结果。第3节通过利用离散系统和连续最优性条件推导事先误差估计。第4节构造并分析了事后误差估计器，并给出了其可靠性和高效性的证明。第5节进行数值实验以验证估计器的有效性。值得注意的是，数值测试是在均匀hp-细化下进行的，不使用自适应网格策略，以清晰地展示理论收敛率。第6节为结论。

各节摘要

**hp有限元逼近和预备结果**

本文使用hp-版本有限元方法研究如下椭圆最优控制问题：

$$\min_{u \in U_{ad}} J(y, u) = \frac{\lambda_\Omega}{2}\|y - y_\Omega\|_{L^2(\Omega)}^2 + \frac{\lambda_\Gamma}{2}\|y - y_\Gamma\|_{L^2(\Gamma)}^2 + \frac{\lambda}{2}\|u\|_{L^2(\Omega)}^2,$$

受椭圆偏微分方程约束：

$$-\Delta y = \beta u \quad \text{in } \Omega,$$
$$\frac{\partial y}{\partial n} + \alpha y = 0 \quad \text{on } \Gamma,$$

以及控制约束：

$$U_{ad} = \{u \in L^2(\Omega) : u_a \leq u \text{ a.e. in } \Omega\}.$$

其中，Γ表示区域Ω的边界，n为外法向单位向量。参数λ_Ω和λ_Γ为非负常数，λ严格为正。此外，β ∈ L^∞(Ω)，α ∈ L^∞(Γ)。

**事先误差估计**

本节推导所提方法的事先误差估计。推导依赖于Clement型插值算子、辅助系统的构造以及若干辅助理论引理。误差界的推导采用了基于参考域的标准插值算子、hp-有限元方法的技术以及状态和控制变量的映射性质。

我们定义投影算子π_hp如下：?v ∈ Y,

**事后误差估计**

本节致力于推导事后误差的上界。为此，我们采用了在hp-FEM中常用的Scott-Zhang型准插值，并调用[23]中建立的连续性条件来获得所需的逼近性质。

三角剖分??的边界边集?(??)满足??(??) ? ?(??)，即：

$$\mathcal{E}_0(\mathcal{T}) := \{b \in \mathcal{E}(\mathcal{T}) : b \subset \partial\Omega\}.$$

对q ∈ (1, ∞)，定义：

$$W^{1,q}_{\mathcal{E}_0(\mathcal{T}), \mathbf{p}} := \{u \in W^{1,q}(\Omega) : u|_b \circ F_b \in \mathcal{P}_{p_b}, \forall b, b' \in \mathcal{E}_0(\mathcal{T}), V \in \Lambda(b) \cap \Lambda(b'), \lim_{x \to V, x \in b} u(x) = \lim_{x \to V, x \in b'} u(x)\}$$

其中??_{p_b}为多项式空间。

**数值算法与实验**

本节介绍了迭代算法及其实现框架，随后给出三个数值算例以展示所提方法的有效性。

**结论**

本文研究了具有Robin边界条件的椭圆最优控制问题的hp-FEM的事先和事后误差分析。采用Clement型插值算子和辅助系统，在连续最优性条件下推导了H1和L2范数下控制、状态和伴随状态变量的误差界。对于事后分析，利用Scott-Zhang型准插值和耦合近似推导了基于残差的误差估计器。

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**作者信息**

林兴元 | 林秀秀 | 陈学松

广东工业大学数学与统计学院，中国广州，510520