微尺度固体中热波与弹性波的竞争：广义Guyer–Krumhansl热弹性模型

《International Journal of Engineering Science》：Competition between thermal and elastic waves in microscale solids: A generalized Guyer–Krumhansl thermoelastic formulation

　　

# 摘要

在微纳尺度上，热弹性耦合受到非傅里叶热传输的强烈影响，其中热流弛豫和空间非局部性可以改变热波传播及其相关的力学响应。在本工作中，通过将GK热流定律引入线性热弹性理论，建立了一种热力学一致的广义Guyer–Krumhansl（GK）热弹性力学模型，适用于微尺度固体。从能量平衡和热力学第二定律出发，系统地推导了耦合本构关系和控制方程，其中将热流视为独立的非平衡变量。所得模型通过热弛豫时间描述热流弛豫，通过特征长度描述非局部热流传输。该模型被应用于受短热脉冲作用的一维热弹性边值问题。我们分析了温度、热流、应变和应力场的瞬态演化过程，以阐明有限速度热波与热致纵向弹性波之间的相互作用。结果表明，局部热激励通过受限热膨胀产生弹性波，而弹性波运动相关的应变率场通过热弹性耦合反馈到温度响应中。这种双向相互作用产生了双峰温度响应，其形成和演化由热波与热致弹性波的相对传播特性以及热弹性耦合强度共同决定。参数研究进一步表明，热流弛豫时间主要控制热波传播，而GK特征长度控制空间非局部性程度，拓宽局部热响应并抑制主峰和次峰。热膨胀系数进一步调节弹性波诱发热调制的强度，从而决定次峰的显著程度。因此，显著的双峰响应被识别为一种条件性耦合热弹性现象，需要合适的非傅里叶传输特性和足够强的热弹性耦合。所建立的力学模型为解释微尺度固体中热波与弹性波之间的竞争提供了物理基础。

# 引言

半导体和微机电器件的持续微型化将结构尺度缩小至与声子平均自由程相当的范围内（Abo-Zahhad等，2022；Ahmadi等，2020；Hofmann等，2019；Wang和Xu，2001）。与此同时，超快激光加工、脉冲热载荷和高频运行产生的特征热时间尺度可接近声子弛豫时间。在这些尺度范围内，局部加热和不同组元材料间的热膨胀不匹配可产生显著的热应力和瞬态应力波（Feng等，2016；Kim等，2022；Shao等，2017；Tang等，2024）。这些热力学响应在微电子和MEMS结构中尤为相关，包括三维集成技术，其中受限散热和材料不匹配可能引发界面分层、裂纹萌生与扩展、应力迁移、铜挤压和可靠性退化（Almasri，2003；Huang等，2012；Jiang等，2015；Lu等，2011；Wolf等，2011；Yeh和Lu，2016）。此类瞬态热力响应挑战了基于傅里叶热传导和本地平衡假设的经典热弹性描述，后者假定瞬时热响应并忽略了热流弛豫和非局部热传输。因此，需要非傅里叶热弹性模型来捕捉微尺度下有限速度热波及其与弹性波的耦合。

经典傅里叶热弹性描述假定热流对温度梯度的响应是瞬时的，导致抛物型热方程并隐含热波无限传播速度（Biot，1956）。这一特征使其无法描述超快加热、局部热冲击和高频器件运行下的瞬态热传输和热弹性响应。因此，已提出多种非傅里叶模型以克服傅里叶定律的瞬时响应局限性。例如，双相滞后（DPL）模型（Ghazanfarian和Abbassi，2009；Yang和Chen，2020）和三相滞后（TPL）模型（Akbarzadeh等，2014；Sharma等，2021）在热流、温度梯度和热位移梯度之间引入时间延迟，从而实现对超越傅里叶扩散的热传输的波动描述。然而，这些相位滞后模型主要属于唯象模型，并未明确解析非局部声子传输的微观结构起源。相比之下，GK方程可由线性化声子玻尔兹曼方程推导，包含时间热流弛豫项和高阶热流梯度项。前者描述了热流的有限响应时间，后者代表与非局部声子热流传输相关的空间非局部性（Kovács，2018；Ramos等，2023；Ván等，2017；Zhukovsky，2016）。其在石墨中第二声和同位素纯化石墨中声子泊肃叶流等声子流体动力学现象的近期观测进一步强化了GK方程的物理相关性（Huang等，2023；Huberman等，2019）。这些现象表明，在适当的长度和时间尺度下，热传输可偏离纯粹的扩散行为并表现出波动或流体动力学特征。因此，GK方程为描述傅里叶机制之外的微尺度热传输提供了物理动机框架。

然而，在可变形微尺度固体中，非傅里叶热传输不能被视为仅由热传导控制温度场的单一问题。有限速度的热扰动可通过受限热膨胀产生热应变、应力和弹性波，而相关的应变率场可通过热弹性耦合反馈到温度演化中。这种双向耦合驱动了对描述有限速度热波、热致弹性波及其相互作用的热弹性框架的需求。在经典傅里叶热弹性之外，广义热弹性理论通过几条主要路线发展，以考虑有限速度热波、记忆效应和微尺度非局部性。早期代表性模型包括Lord–Shulman理论（Lord和Shulman，1967）、Green–Naghdi II型和III型理论（Green和Naghdi，1992；Green和Naghdi，1993），以及相位滞后模型如双相滞后和三相滞后模型（Roy Choudhuri，2007；Tzou，1995）。近期的发展还进一步纳入了Moore–Gibson–Thompson型热传导（Quintanilla，2019）、分数阶或记忆依赖导数（Sherief等，2010；Yu等，2014）、双温度效应（Youssef，2006），以及非局部/应变梯度弹性以捕捉微结构介质中更丰富的热力波行为（Eringen，1983；Mindlin，1964）。这些理论极大地丰富了热波、应力波和耦合热弹性波相互作用的建模方法。

双波和双峰响应已被报道为动态热弹性耦合的突出特征。在连续介质非傅里叶热弹性分析中，短热脉冲或激光诱导加热已被证明可诱发耦合热弹性响应，其中热波分裂为多个峰并伴随热弹性效应传播（Arai等，2021）。纳米尺度热传输的分子动力学模拟进一步将双峰温度响应归因于热波与弹性波之间的强耦合（Akbarzadeh等，2017）。这些观测表明，双峰响应并非虚假的数值伪影，而是强烈热弹性耦合的物理可观测波动力学指纹。这一现象在解释超快热表征实验、激光激发热弹性信号以及微尺度固体材料的无损检测方面具有巨大潜力（Cahill，2004；Scruby和Drain，1990；Thomsen等，1986）。然而，基于GK热弹性耦合理论框架，这些双峰轮廓的潜在形成机制和参数控制的演化过程仍缺乏系统的描述。特别地，与非局部热传输相关的特征长度如何调节有限速度热波与热致纵向弹性波之间的竞争，从而控制双峰温度响应的产生和演化，尚未得到系统阐明。

在本工作中，我们建立了微尺度固体的热力学一致广义Guyer–Krumhansl热弹性力学模型。本文采用的空间非局部性概念应区别于Eringen连续介质理论中引入的积分非局部性（Eringen，1974；Eringen，2002；Eringen和Edelen，1972）。在Eringen型力学模型中，材料点的本构量被表达为体内或预定相互作用区域内相应局部量的加权空间平均，其中加权由两点衰减核描述。相比之下，本文力学模型在扩展不可逆热力学框架内建立，空间非局部性通过Guyer–Krumhansl本构关系中出现的更高阶热流梯度引入，而力学响应保持局部性。采用这一假设旨在聚焦广义热传输对热弹性波相互作用的影响，同时保持耦合问题的物理透明性和数学可处理性。通过将热流视为独立的非平衡变量，从能量平衡和熵不等式推导耦合热传输和弹性动力学方程，从而以热力学许可的方式引入热流弛豫、GK型非局部传输和热弹性耦合。基于所得本构关系和控制方程，我们分析了微尺度固体在热脉冲载荷下瞬态热弹性响应。双峰温度结构被证明产生于有限速度热波与热致纵向弹性波之间的时空竞争。我们进一步阐明了热流弛豫时间和GK特征长度如何调节双峰响应的时空演化。因此，本文力学模型主要旨在为解释热波与弹性波之间热弹性耦合产生的瞬态耦合响应提供物理基础框架，而非作为通用工程设计工具。

# 章节摘要

## 热弹性耦合控制方程

考虑参考构型$\mathcal{B}_0$（即未变形状态）中的可变形固体连续体，其边界为$\partial\mathcal{B}_0$。设$\mathbf{X}$表示$\mathcal{B}_0$中物质点$\tilde{P}$的位置向量。在变形后，该物质点移动到当前构型$\mathcal{B}$（即变形后状态）中的$P$点，其边界为$\partial\mathcal{B}$，其当前位置$\mathbf{x}$通过变形映射$\mathbf{x}=\boldsymbol{\chi}(\mathbf{X})$与$\mathbf{X}$相关联，如图1所示。变形梯度张量$\mathbf{F}$定义为$\mathbf{F}=\mathrm{Grad}\,\boldsymbol{\chi}$，其分量形式为$F_{kK}=\partial\chi_k/\partial X_K$。

## 线性化热弹性力学模型

对于无穷小变形，参考构型和当前构型之间的差异，如物质坐标和空间坐标的区别以及相应梯度算子的区别，均可忽略。定义$\theta^*=(\theta-\theta_0)/\theta_0$，其中$\theta_0$为初始温度。假设$\theta^*\ll 1$和$\varepsilon\ll 1$，利用Taylor展开，我们有：

$$\Phi(\theta,\varepsilon_{ij},q_k)=\left.\Phi_0\right|_{\theta^*=0}+A\theta^*+C_{ij}\varepsilon_{ij}+D_{ij}\varepsilon_{ij}\theta^*+\frac{1}{2}\left.\Phi_{,\theta}\right|_{\theta^*=0}(\theta^*)^2+\frac{1}{2}E_{ijkl}\varepsilon_{ij}\varepsilon_{kl}+\frac{1}{2}c_1(\theta)q_k q_k$$

根据本构方程$s=-\partial\phi/\partial\theta$，我们得到热流表达式。

## 结果与讨论

为研究瞬态条件下的热弹性耦合，我们考虑了受短热脉冲作用的一维边值问题，如图3所示，其动机源于现有实验构型。在本分析中，材料假定为力学均匀材料并保持在局部线弹性范围内，不考虑界面效应、裂纹引起的局部化或损伤演化。纳入这些效应将需要……（原文未完）

# 结论

本研究建立了微尺度固体中解释热波与弹性波瞬态相互作用的热力学一致广义Guyer–Krumhansl热弹性力学模型。热流弛豫时间$\tau_q$和GK特征长度$l$分别将时间和空间非傅里叶效应引入耦合热弹性响应中。对受短热脉冲载荷作用的一维固体进行的数值分析得出以下主要结论……（原文未完）

# CRediT作者贡献声明

**Rong Jia（贾龙）**：撰写—初稿，可视化，验证，软件，方法学，研究调查，形式分析，概念构思。

**Kai Tan（谭凯）**：撰写—审阅与编辑，监督，项目管理，资金支持获取，概念构思。

**Qian Deng（邓乾）**：撰写—审阅与编辑，监督，项目管理，资金支持获取，概念构思。

# 利益冲突声明

作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：**Kai Tan（谭凯）**报告获得中国国家自然科学基金的资金支持。**Qian Deng（邓乾）**报告获得中国国家自然科学基金的资金支持。如有其他作者，他们声明没有已知的可能影响本文工作的竞争财务利益或个人关系。

# 致谢

本研究得到中国国家自然科学基金（批准号12350002）、中国国家自然科学基金（批准号12402196）和湖北省自然科学基金（批准号2025AFA003）的资助。所有作者讨论了结果并批准了最终稿。

**Rong Jia（贾龙）| Kai Tan（谭凯）| Qian Deng（邓乾）**