针对焦距未知且具备两自由度旋转的相机的透视三点问题的最小解

《IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence》：A Minimal Solution to the Perspective-3-Point Problem for the Camera With Unknown Focal Length and Two Degrees-of-Freedom Rotation

　　

摘要：

本文提出了基于透视三点问题的绝对相机位姿最小解法，针对具有两个旋转自由度和未知焦距的相机（P3P+f）。首先，根据控制点到相应图像点的成像方程，将最小问题转化为求解四个未知数的四个非线性代数方程组。然后，使用经典结式消元法，将问题转化为求解单变量六次多项式方程。同时，我们提出了一种可以直接获得六次多项式方程的算法。我们证明了当三个控制点处于一般位置时，我们的P3P+f问题的解数上界为6。我们还展示了解的上界为2、4和无穷大的条件。最后，我们给出了一些例子来验证我们的结果，并通过在合成和真实数据上的测试评估了我们的P3P+f求解器的准确性、鲁棒性和效率。

I. 引言

摄影测量学和计算机视觉中的一个基本问题是在给定 n个控制点的情况下，确定已标定相机在物体坐标系中的位置和位姿，其中控制点在物体坐标系中具有已知的三维坐标，其对应的可见图像点在图像坐标系中具有已知的二维坐标，即确定相机的外部参数或外方位元素[1]。这也被称为"透视-n点"问题（PnP）[2]。由于相机外方位元素有六个参数（三个用于位置，三个用于位姿），而一对三维到二维点的对应关系对外部参数施加两个约束，因此为求解位置确定问题，三维到二维点的对应关系数 n需要不少于3。具体来说，n=3，即P3P问题，可以提供确定已标定相机在物体坐标系中位置和位姿的最小解（从最小构型求解计算机视觉问题，例如最小数量的点对应）。由于P3P问题需要最小的控制点子集，P3P求解器可用于各种应用的鲁棒估计算法（如随机采样一致性（RANSAC）），包括三维重建、运动恢复结构（SfM）、增强现实（AR）、自动驾驶、机器人导航以及同时定位与建图（SLAM）。此外，P3P问题也会产生多解现象，因此在计算机视觉、摄影测量学和應用数学领域引起了广泛关注。