基于谱 Barron 正则性的高维双调和方程维度无关浅层网络逼近

《Mathematics and Mechanics of Solids》：Dimension-free shallow network approximation via spectral barron regularity for the high-dimensional biharmonic equation

　　

抽象会员资格是函数属于Barron空间的机制，这使得单隐层神经网络能够以与维度无关的蒙特卡罗速率n?1∕2对其进行逼近，从而摆脱了网格法和有限元法所遭受的维度灾难（其代价随ε?d∕s增长）。现有的针对偏微分方程的Barron正则性结果仅限于二阶椭圆算子。本文研究了在立方体[0,1]d上具有简支边界条件的四阶双调和算子Δ2，在该算子下，正弦基中该算子为对角傅里叶乘子。我们证明，如果载荷f属于谱Barron空间Fs，则解u属于Fs+4，且满足尖锐界‖u‖Fs+4≤π?4(1+d?1∕2)4‖f‖Fs。引人注目的是，该常数不仅在d的多项式上有界，而且关于d一致有界并单调递减，收敛于π?4。因此，浅余弦网络以n=O(ε?2)个神经元即可将解在H2能量范数下逼近至精度ε，且常数与d无关。对维度d∈{5,10,20,40}下经典Barron目标的数值研究验证了预测的n?1∕2速率及其在d上的平坦性。该结果是薄结构力学中（Kirchhoff板）以及相场模型（Cahn–Hilliard）中四阶算子的模型问题。