含等离子体谐振腔的散射奇异性

《APS Open ScienceNEW》：Scattering singularities of a resonant cavity containing plasma

　　

等离子体对微波腔体中散射奇异点演化的影响在很大程度上尚未被探索，尽管它对控制无反射等离子体激励至关重要。在本研究中，我们考察了加载等离子体微波腔体中散射奇异点的演化。为了分析这种复杂的相互作用，我们建立了一个描述包含等离子体管的实验腔体的数值模型。该模型能够追踪各种等离子体配置下奇异点的演化，并解释其背后的物理机制。我们的结果表明，在两种特定条件下，这些奇异点的虚频率会发生显著变化：一种是与最佳电子密度相关的高碰撞频率，另一种是与最佳碰撞频率相关的高电子密度。此外，在无碰撞区域，我们表明，由于等离子体管内横向等离子体共振的激发，实频率的变化量增加。

I. 引言

控制波散射是物理学中的基本问题，对微波或光学器件的设计具有重要意义。在此背景下，大量努力已致力于开发能够实现定制散射特性的结构。一方面，过去几十年中超材料的出现使得实现具有异常散射行为的日益复杂的器件成为可能。这些材料的人造本质，加上对多功能和可重构技术日益增长的需求，激发了人们对电磁可重构超材料的强烈兴趣[1]。等离子体在这方面尤其具有吸引力，因为其有效复介电常数可以通过外部控制电子密度和压力进行实时调节[2–8]。另一方面，近期在波散射相干控制方面的进展导致了无反射散射模式理论[9]的出现，该理论能够在特定频率下实现输入通道中的零反射。这些无反射状态发生在实频率轴之外时称为反射零点（S-零点），发生在实频率轴上或被调节至实频率轴上时称为无反射散射模式（RSM）。更新的工作则致力于将这一概念扩展至同时控制输出通道而不产生后向散射（在实频率下）[10]。除了这些无反射状态之外，人们还报道了各种更为奇特的现象，包括连续谱中的束缚态和例外点[11]。所有这些现象都可追溯到散射奇异点的性质，具体而言即相应散射矩阵的极点和零点。

对这些奇异点的控制为预测新型物理现象以及设计电磁散射响应（无论是否使用超材料）提供了一个强大的框架。因此，近期工作集中在利用嵌入多端口谐振腔中的可重构元件来控制此类散射奇异点。该元件由由共振超原子组成的可调谐超表面构成[12–19]，尽管更近期的工作利用了机械可编程的全金属元件[20]或可调谐的旋转椭球形散射体组[10]。通过改变腔体的边界条件，可调谐元件实现了对复散射环境的精确控制，使其可用于特定任务。这些能力已经被证明可以用于例如信号路由[13]、信号滤波和路由[20]以及模拟微分[19]。在所有这些情况下，通过扫描大量随机元件配置参数空间，散射矩阵或子矩阵的零点被调谐至实轴，从而在谐波激励下抑制后向散射。

实轴上零点的调谐也尤为重要，长期以来已被用于等离子体源领域[21–24]。事实上，传统的微波谐振等离子体源依赖于“临界耦合”的概念，这是RSM的单端口情况。腔体最初经过专门设计，以便在期望的实频率下获得该RSM，从而使反射功率为零。在该频率下传输到腔体的大功率微波信号会引起腔内气体的击穿，从而产生等离子体。等离子体的出现改变了波的行为，与RSM相关的频率偏离实轴，变为一个S-零点。因此，一个能够改变腔体边界条件的可调谐元件被调节，以使该S-零点重新调谐回实轴，变为一个RSM。就像腔体中可调谐元件的先前示例一样，反射系数的零点被调谐至实轴，从而在谐波激励下抑制等离子体产生的后向散射。

近期文献中还提出了依赖于非谐波激励的等离子体源的开发，并命名为“时空等离子体导引源”[25]。其思路是通过改变传输到一个大型多模腔体的信号的时域波形来动态控制等离子体[25]。例如，人们已实验性地利用时间反演[26,27]或配置场的线性组合[28]在腔体中点燃等离子体。这些等离子体的瞬态性质使其对腔体电磁行为的影响分析变得相当复杂。鉴于这些奇异点（即极点和零点）在动态系统中具有特定含义，这使得在此背景下研究极点和零点的演化变得困难。因此，使用这种等离子体源尚未实现零反射。然而，近期已通过使用S-零点状态（即虚拟完美吸收VPA）在多模不足的腔体中点燃等离子体，迈出了向这一方向前进的一步[29]。复频率激励（指数增长的微波信号）已被证明可以在等离子体管的电子密度保持较低的情况下点燃等离子体而无反射。当电子密度增加到显著影响腔体电磁行为的程度时，S-零点会在复域中移动并出现反射。在整个高密度等离子体点燃过程中保持零反射需要知道等离子体对谐振腔散射奇异点的影响。

这一问题尚未得到直接解决，本文旨在填补这一空白。我们专注于包含等离子体的腔体的散射奇异点的演化。特别地，该腔体是使用VPA进行无反射等离子体点燃实验时所用的腔体[29]。一根等离子体管被插入该腔体内，并由直流电源外部驱动。腔内波与等离子体之间的相互作用产生丰富的复杂现象。例如，在某些条件下可以激发局域表面等离子体共振，这在近期的基于等离子体的微波吸收器中已得到展示[30]。我们建立了一个描述该实验装置的数值模型，以把握丰富的物理现象。该模型被用于追踪不同等离子体配置下腔体散射奇异点的演化。

本文其余部分组织如下。在第II节中，我们呈现数值模型，并通过与实验装置的比较对其进行验证。在第III节中，我们使用该模型考察腔体谐振模式的极点和零点随等离子体碰撞频率和电子密度演化的情况。最后，在第IV节中得出结论。

II. 数值建模

此处谐振器是一个铝制（AU4G 2017A）长方体腔体，尺寸为 ，由Fragge等人设计和制造[31]，如图1所示。它是一个多功能腔体，一个端口由一根铜质同轴探针（N型连接器插座，母座，50 Ω，面板安装）组成，其在腔体内的长度为 ，部分被聚四氟乙烯（PTFE）包围，并连接到一个矢量网络分析仪（VNA）。一根玻璃管（内径和外径分别为4.25和5.5 mm）通过图1所示的两个金属圆柱插入腔体。这些金属圆柱作为截止波导，以防止泄漏并确保电磁场被限制在谐振器内。

图1. 实验装置图：一个金属腔体，其中插入了一根含有氩等离子体的玻璃管。

等离子体由连接在玻璃管内阴极和阳极上的直流发生器（Technix SR2.5kV-300W）点燃。它在一个由Néon Aquitaine制造的、充有14 Torr氩气的密封玻璃管中产生均匀放电。它在电压 和电流 下维持。在发生器和阴极之间放置了一个 电阻以防止电弧放电。

该单端口腔体的反射系数（或S参数）在无等离子体和有等离子体情况下从1.8到 进行测量。无等离子体情况下该参数如图2所示。

图2. 无等离子体时腔体反射系数幅值随频率变化的测量值。

该频段使我们能够观察到腔体的前几个谐振模式。本研究中特别关注在 处谐振的横电场 模式，因为如图3(b)所示，点燃等离子体的玻璃管位于电场幅值的最大值处，使该模式对等离子体敏感[32]。此外，与高阶模式不同，它对几何不精确性不太敏感，这使其成为仅研究等离子体影响的最佳模式。此外，该模式与邻近谐振模式有足够的分离度，使其散射奇异点的演化能够被追踪而不与其他模式的频率重叠。

图3. 使用Ansys HFSS进行的腔体（含玻璃管）数值模型[图3(a)]。在Ansys HFSS上获得的 处腔体 模式的电场主分量 分布，侧视图，中心剖面[图3(b)]。

为了研究其演化，需要获得不同等离子体配置下的S参数。为了获得此类结果，使用电磁软件Ansys HFSS对该实验装置进行建模，如图3(a)所示（详细的腔体几何参数见补充材料[33]）。在构建该模型时，我们逐步进行，将数值反射系数与实验值进行比较。

A. 腔体模型

通过以亚毫米精度复制其尺寸来建模腔体及其馈电端口。除了尺寸之外，考虑材料的电磁特性也很重要。腔体的铝制内壁在Ansys HFSS中通过有限电导率边界（记为 ）来表征，而玻璃管则由相对介电常数 和介质损耗角正切 定义。

我们首先改变该壁的电导率，以调查其对谐振频率和反射系数幅值的影响。该分析表明，电导率主要影响反射系数的幅值。基于实验和数值反射系数之间的相似性，我们发现电导率必须为 ，考虑到腔体内部的磨损，这是合理的[34,35]。

对于玻璃管，需要两个参数：玻璃的相对介电常数 和介质损耗角正切 。因此，分别研究这两个参数对反射系数的影响至关重要。玻璃的相对介电常数只修改谐振频率，而介质损耗角正切影响其幅值。这与微扰理论一致[36]，即介质复介电常数的实部影响谐振频率，而虚部（由介质损耗角正切表示）影响品质因子，从而影响反射系数的幅值。我们发现玻璃的相对介电常数为5.6（接近商业仿真软件中常用的5.5），而介质损耗角正切为0.006（在制造商网站上的 和 之间）。

通过这项基于实验和数值获得的S参数比较的研究，我们使用表I中列出的参数准确再现了无等离子体时实验腔体 模式的电磁行为，如图4(a)所示。

图4. 反射系数的幅值和相位，针对 模式，实验腔体（实线）和数值腔体（虚线）在无等离子体[图4(a)]和有等离子体[图4(b)]情况下的比较，参数如表I所述。

表I. 最终模型参数。

| 参数 | 值 |
|------|------|
| | S/m |
| | 5.6 |
| | 0.006 |
| | 14 Torr |
| | |
| | |

B.

# 等离子体模型

直流等离子体可被视为沿腔体内圆柱管轴向的一个稳态、均匀的正等离子体柱[37–39]。为简化起见，我们也考虑等离子体的径向均匀性。这一假设的合理性在于玻璃管的内径相对于目标频段的波长而言较小，即。

利用Drude模型可得到等离子体的电磁特性，该模型给出等离子体的复相对介电常数随等离子体参数（即等离子体电子密度和碰撞频率）以及波角频率的变化关系[40]：

（1）

其中等离子体角频率定义为，式中是元电荷，是电子质量，是真空介电常数。碰撞频率可近似地表示为以托（Torr）为单位的气体压力的函数。对于氩气，Raizer等人[37]给出：

（2）

最终，等离子体的数值模型取决于等离子体电子密度、气体压力和波角频率。数值模型中的压力取为与密封玻璃管中的压力相等。

存在多种诊断方法（光学、电学、电磁学等）用于确定直流等离子体的电子密度。遗憾的是，这些方法不易在我们的实验条件下实现（高压、小管径以及复杂的鞘层结构[3,41]）。最简单的途径是通过含等离子体腔体的实验反射系数与数值反射系数之间的拟合来确定电子密度[42]。该参数研究给出的电子密度值为，与文献中类似构型所获得的密度值相近[43]。

## C. 实验验证

实验测量的以及通过该参数研究获得的数值结果所对应的曲线分别示于图4(a)（无等离子体）和图4(b)（有等离子体）。尽管存在细微偏差，数值模型仍捕获了系统的整体行为。观测到的振幅、相位和共振频率的变化可解释为由腔体内等离子体的存在导致VNA所感受到的阻抗变化所引起的。

现在我们拥有了一个完整的数值模型，可提供各种等离子体构型的反射系数[44]。这使我们能够数值地研究等离子体对腔体电磁行为的影响，特别是通过研究其散射奇异性。

# III. 奇异性研究

腔体的电磁行为包含在其散射矩阵中，而散射矩阵完全由极点和零点的位置来描述[11]。在时域耦合模理论框架下，散射奇异性（极点和零点）的复角频率可表示为共振角频率以及外部衰减率和内部衰减率的函数[45,46]，按照时间约定：

（3）

（4）

这些散射奇异性的复角频率通过数值反射系数确定，利用文献[47]中介绍的方法，对不同等离子体构型分别进行分析。相应的由数值结果和实验结果（均包括有等离子体和无等离子体两种情况）获得的极点和零点表示在图5中。

**图5.** 在共振模态下，无等离子体（蓝色标记）和有等离子体（红色标记）时测得和模拟的散射奇异性。

无等离子体时，内部衰减率低于外部衰减率，表明系统处于过耦合状态（即的虚部为正）。等离子体引入腔体后导致内部衰减率增加，随后超过外部衰减率，从而将系统从过耦合状态切换为欠耦合状态（的虚部变为负）。在此情况下，等离子体的存在仅导致复极点和零频率沿实轴发生轻微偏移。

先前观测到的参数的微小偏差与复平面中奇异性位置的相应偏移一致对应。总体而言，数值模型以足够的精度捕获了基本物理规律，能够评估散射奇异性对等离子体参数的敏感性。

为描述等离子体如何影响散射奇异性，研究了两个等离子体参数（和）。

## A. 碰撞频率的影响

我们考虑三种不同的等离子体碰撞制度，由等离子体碰撞频率与波角频率之比来定义：弱碰撞制度（）、平衡碰撞制度（）和强碰撞制度（）。

为研究这些不同制度对散射奇异性的影响，我们固定等离子体电子密度，通过调节气体压力来改变比值[48]。研究两种构型：第一种命名为"低电子密度"，电子密度为；第二种接近实验条件，命名为"高电子密度"，电子密度为。两种情况所选择的电子密度值相近，但导致了不同的电磁行为[49]。

### 1. 低电子密度

此情况下极点和零点的演化示于图6(a)。当比值非常低时，极点和零点相对于无等离子体情况沿实轴正方向偏移[50]。虚频保持不变，因为等离子体并未向系统引入额外损耗（内部和外部衰减率不变）。

**图6.** 模拟的散射奇异性（极点和零点）在复频率平面中随的变化：[面板(a)]和[面板(b)]，以及随（Torr）的变化：[面板(c)]和（Torr）[面板(d)]。

随着气体压力增加，管内中性原子密度增大，等离子体逐渐进入碰撞制度。只要碰撞频率仍低于波的角频率（），电子就会振荡并吸收能量，直到与中性原子发生碰撞。部分能量随后转移给气体，增加内部衰减率。这导致极点和零点的虚频绝对值增加。

电子向气体转移能量的效率在波角频率等于碰撞频率（）时达到最大。这一平衡条件对应于电子从波的电场中吸收的能量与其通过碰撞有效地将能量转移给气体之间的最佳折中。

当碰撞频率超过波角频率（）时，电子在与中性原子碰撞前有较少的时间获得能量。能量转移变得不那么高效，导致等离子体中的能量耗散减少，从而导致内部衰减率下降。结果，极点和零点的虚频绝对值减小。

随着压力进一步增加，电子不再有时间以足够大的振幅振荡而被电磁波感知。在此高压制度下，含等离子体腔体的极点和零点趋于收敛至无等离子体腔体的极点和零点。

### 2. 高电子密度

极点和零点的演化对于示于图6(b)。在此情况下，当比值非常低时，极点和零点相对于无等离子体情况沿实轴负方向偏移[50]。随着压力增加，实频增加直至接近无等离子体时的实频。此外，实频的变化幅度比之前的情况更大。

极点和零点的虚频演化行为与第一种情况类似。然而，由于高电子密度提高了能量向气体转移的效率，这一行为被放大了。损耗增加，导致内部衰减率增加，从而极点和零点的虚频绝对值出现更显著的增加。

## B. 电子密度的影响

等离子体表现出两种不同的行为，取决于等离子体角频率（取决于电子密度）与波角频率的相对大小。两种行为之间的转变发生在等离子体角频率与波角频率相等时。满足此条件时的电子密度称为临界电子密度，表示为：

（5）

临界电子密度在腔体（无等离子体时）的共振频率处计算，即（在本研究中，波的频率保持接近此值[51]）。研究两种构型：第一种命名为"无碰撞情况"（），第二种命名为"有碰撞情况"（），更接近实验条件，即压力。

### 1. 无碰撞情况

此情况下极点和零点的演化示于图6(c)。乍一看，其演化似乎比之前研究的情况更为复杂。频率偏移从正转为负。这种复杂多样的行为在类似的构型中也已被观测到[52,53]。在此无碰撞制度中，等离子体的存在并未增加腔体内部损耗[54]。然而，观测到极点和零点虚部的微小变化。这可能是由于腔体中电场分布重新组织导致外部衰减率发生变化所致。

只要，电子在电场影响下自由振荡，导致极点和零点的实频增加。

对于，随着电子密度增加，波与等离子体之间的相互作用逐渐受限。当，与极点和零点相关的复频率趋于趋向于在腔体内放入金属圆柱所得到的结果。

当，波-等离子体相互作用变得特别复杂，产生Sec. III C中描述的特殊现象。

### 2. 有碰撞情况

此情况下极点和零点的演化示于图6(d)。对于有损等离子体，由于玻璃管内存在大量中性原子，电子不能再在等离子体中自由振荡。与无碰撞情况相比，极点和零点的实频变化减小。

相反，极点和零点的虚频变化比第一种情况更大。虚频遵循Sec. III A中描述的相同趋势，取决于碰撞频率。然而，此次我们处理的是电子密度而非中性密度。

只要，随着电子密度增加，中性原子与电子之间的碰撞概率增加：能量向气体的转移变得更加高效。

与之前情况类似，当，随着电子密度增加，波与等离子体之间的相互作用逐渐受限，使能量向气体转移变得不那么高效。

## C. 综述

图7汇总了前文各节中分析的散射奇异性的演化。其中有两种情况是固定电子密度而碰撞频率变化，另有两种情况是固定碰撞频率而电子密度变化。比较这四种构型使我们能够评估等离子体参数对复平面中散射奇异性变化的影响。

**图7.** 散射奇异性在复频率平面中随等离子体参数变化的演化综述。

虚频的最大变化出现在碰撞频率较高且与特定电子密度相关联，或者电子密度较高且与特定碰撞频率相结合的情况下。这种分散是由于电子向气体转移能量的效率不同所致。

另一方面，实频最显著的变化是在无碰撞等离子体中电子密度变化时获得的。这种行为表明当比值接近3时，等离子体管趋近于表面等离激元共振条件[55]，如图8(a)所示[56]。在图6(c)中当所观测到的散射奇异性的复杂行为源于等离激元共振与腔体共振之间的相互作用。

因此，等离子体密度的微小变化都会改变这种相互作用，从而改变系统整体的散射响应[57]。当碰撞频率增加时，该共振会减弱，如图8(b)所示。这导致散射奇点在实轴上的变化减小。

图8：腔体共振模式的电场分量的模拟振幅，侧视图，中心截面，其中[面板(a)]和[面板(b)]，其中。

最后，在所有情况下，零点在理论上都可以调谐到实轴上，即到达一个RSM（辐射散射态），这凸显了等离子体作为微波系统中实现完美吸收（CPA）的可重构元件的潜力。

IV. 结论

本文研究了等离子体对共振腔散射特性的影响。为此，测量了装有密封等离子体管的腔体的反射系数，分别取等离子体"关闭"和"开启"两种状态。建立了一个数值电磁模型，通过将数值反射系数与实验反射系数进行拟合，验证了该模型对模式的适用性。

随后利用该数值模型研究了等离子体参数对腔体散射奇点的影响。研究了四种构型：两种是电子密度固定而碰撞频率变化的情况，两种是碰撞频率固定而电子密度变化的情况。结果表明，高碰撞频率结合特定的电子密度，或高电子密度结合特定的碰撞频率，都会导致散射奇点的虚频发生大幅变化。在无碰撞等离子体的情况下，由于等离子体管中横表面等离子体共振的出现，实频的变化量增大。散射奇点在复平面中的这些变化表明，等离子体管是实现腔体内可调元件的有前景的候选方案，这与近期研究将等离子体管用于可重构和可编程超表面的工作相一致[3]。

本工作是为理解等离子体如何影响微波腔体散射奇点迈出的第一步。这些奇点在复平面中的轨迹受竞争损耗机制之间平衡变化的支配，包括腔壁损耗、端口泄漏、玻璃管损耗和等离子体吸收。未来的研究将利用该数值模型量化各损耗的贡献，并更深入地揭示其背后的物理机制。还将研究其他共振模式以及等离子体管相对于电场偏振的不同朝向，从而更全面地了解等离子体的影响。

了解等离子体对腔体内外部衰减率的影响对于通过虚吸收激发等离子体同样至关重要。这可以通过适当设计注入的时间波形，实现利用虚完美吸收（VPA）对高密度等离子体进行无反射激发。这为开发完全无反射的时域等离子体导向源铺平了道路，通过注入精心设计的波形，可以实现大腔体中等离子体的时空控制。