在具有陀螺旋转稳定性的倒置谐振势中，二维物质波干涉仪的空间叠加现象

《APS Open ScienceNEW》：Spatial superposition for a two-dimensional matter-wave interferometer in an inverted harmonic potential with gyroscopic rotational stability

　　本研究提出了一个数学模型，用于描述纳米钻石在倒置谐振势中的空间和旋转运动，以产生宏观量子空间叠加态。该模型基于斯特恩-格拉赫干涉仪（Stern-Gerlach interferometer）方案，该方案利用线性和二次磁场生成谐振势（线性磁场）和非线性势（非线性/二次磁场）。通过将二维动力学纳入模型，我们提供了对线性和谐振势中纳米粒子运动的更真实和准确的描述，并探讨了二维平面内运动之间的相互作用。重要的是，我们推导出了旋转自由度（即摆动、进动和旋转）的运动方程。结果表明，在线性阶段向磁场剖面中加入偏置项会影响经典运动方程，但不会影响波包的宽度。此外，由于初始施加的角速度主要受纳米颗粒缺陷轴的影响，摆动模式在每个阶段始终形成谐振势，这使得在垂直于该轴的陷阱频率存在的情况下更加稳定，从而能够产生宏观量子叠加态。

I. 引言
宏观量子空间叠加态的实验实现已成为探索量子物理与经典物理边界的重要基石。生成这种空间叠加态对于测试更大尺度上量子力学的有效性以及研究诸如波函数坍缩和引力退相干等基本现象至关重要[1–8]。诸如光机械系统等领域的实验进展使得量子效应可以从电子和原子扩展到宏观分子[9–17]。这些精确度导向的实验，结合对环境退相干的精确控制[18,19]，为实现越来越大质量物体的量子态奠定了基础[20–29]。创建宏观量子叠加态的一个紧迫基本应用是通过观察自旋纠缠来测试引力的量子本质[30,31]（另见参考文献[32]）。这个协议被称为QGEM（量子引力诱导的物质纠缠）[33–35]。受QGEM协议的启发，人们还可以实验性地探测由于引力导致的光弯曲效应的量子对应现象，从而通过虚拟无质量引力子的交换来观察物质与光子之间的纠缠[36]。人们还可以测试最简单的大质量引力子模型[37]和量子等效原理[38]。
为了测试QGEM协议，我们需要达到一定的质量和空间叠加度[参见参考文献[31,39,40]。实现这些实验的一个挑战是创建大的空间叠加态。本文将致力于通过使用倒置谐振势（IHP）作为斯特恩-格拉赫干涉仪（SGI）中的“膨胀”阶段来研究大空间叠加态的创建，这一想法源于我们之前的论文[27]。最初的动机来自论文[41–43]，它提出了创建大空间叠加态的初步想法。IHP的优势在于由于快子不稳定性能够实现大的空间叠加态[参见参考文献[27,44]。此外，为了实现SGI，我们还需要在芯片上利用抗磁性方法使中性纳米颗粒悬浮[参见参考文献[37,39]，这是根据之前使用固定磁铁悬浮纳米颗粒的实验实现的[45]。

在创建宏观物体的空间叠加态时，会出现旋转自由度与运动自由度相结合的复杂问题。例如，在外部磁场存在的情况下，以氮空位（NV）为中心的纳米钻石会经历扭矩、NV自旋摆动以及众所周知的爱因斯坦-德哈斯效应[参见参考文献[46–48]。因此，可实现的叠加大小也受到干涉仪两个臂（即物质波干涉仪的左右臂）中特定自旋配置的影响。众所周知，旋转现象在纳米晶体中起着关键作用；参见相关参考文献[46,49–55]和关于纳米颗粒旋转特性的综述[56]。此外，旋转效应已被证明可以改变叠加的空间范围和观察到的自旋对比度[47]，这种情况通常被称为“胡姆pty-Dumpty问题”[57–59]。这个问题要求当物质波干涉仪的两条路径重新结合时，不仅它们的经典位置、动量以及刚体的所有旋转自由度（包括与NV自旋相关的三个欧拉角）要一致，而且它们的量子波包也要显著重叠。为了在物质波干涉仪中观察到显著的自旋对比度，我们需要纳米钻石沿NV轴的外部旋转提供的陀螺稳定性，如参考文献[60,61]中所见。这些论文通过引入NV纳米钻石的初始旋转来解决胡姆pty-Dumpty问题和爱因斯坦-德哈斯问题。

我们通过增加更现实的物理效应并放宽以往研究中的几个理想化假设来扩展SGI框架，从而更好地将简化的理论模型与实验相关条件联系起来。主要贡献如下：
(1) 我们推广了参考文献[27]中的配置，该配置将运动限制在某个方向上，通过在平面中包含完整的二维动力学来实现这一点。这使我们能够捕捉由磁场波动和IHP不稳定性等现实效应引起的耦合平移和旋转运动，从而实现二维物质波干涉仪。为了稳定沿某个轴的振荡，我们采用了参考文献[37]提出的抗磁陷阱芯片设计。
(2) 我们在SGI方案中加入了较低的外部偏置磁场（分别为HP和IHP阶段），用于具有三重态自旋状态的纳米钻石[62]，明确考虑了其在自旋量子化、Larmor进动抑制[63]、塞曼分裂[64]以及增强量子感测灵敏度[65]中的作用。与参考文献[27]中使用的理想化高场值[ ]不同，我们采用了参考文献[44]中提到的实验可行条件。然而，在第1阶段中存在的磁场偏置在轨迹中引入了不对称性，导致两个SGI臂显著偏离其初始位置，并最终在第2阶段退出倒置谐振势范围。为了解决这个问题，我们通过将其中点移动一段距离来修改非线性磁场，确保SGI路径保持接近其初始位置。
(3) 我们将分析扩展到快速旋转的纳米钻石情况。在早期工作[60,61]的基础上，我们研究了在平移和旋转动力学结合下的自旋对比度，提供了对HP-IHP方案的更完整和实验相关的描述。在这里，我们还将探讨陷阱的应用如何影响纳米钻石的旋转动力学。本文的结构如下。第二节介绍了使用谐振子和倒置谐振子来描述纳米钻石在二维空间（沿某个轴和另一个轴）中的运动的哈密顿量。第三节讨论了本研究中使用的磁场剖面及其规格，这些磁场要么生成谐振势（线性磁场），要么生成倒置谐振势（非线性/二次磁场）。此外，磁场的变化分为五个阶段，并假设这些变化是平滑的，这是由于我们设想的实验中使用的超导电流导线的快速平滑切换所证明的（参见参考文献[37,66]）。
在第四节中，我们根据每个阶段施加的磁场制定了二维运动方程。第六节将欧拉角动力学纳入NV纳米钻石的哈密顿量，并推导出摆动、进动和旋转的运动方程。第八节构建了代表空间和旋转运动的波包。最后，最后一节提供了研究的结论。

II. 哈密顿量
在深入探讨SGI叠加方案[13,14,67]中HP和IHP的应用之前，我们简要总结了本文的新结果。
(1) 使用形式主义[27]构建了空间轨迹，利用线性和二次磁场分别推导出谐振子和倒置谐振子的运动方程。在这里，我们尝试给出所有阶段中偏置磁场的实际值，如参考文献[44]所建议的。在之前的论文[27]中，偏置磁场过大，无法在芯片版本的纳米钻石悬浮方案中容纳。如果我们坚持使叠加更大，磁场的偏置会导致轨迹进一步偏离其初始点，可能将其移出IHP曲线范围。为了解决这个问题，我们通过将初始位置从原点位置移动一段距离来修改第2和第4阶段的非线性磁场方程。
(2) 每个阶段的NV自旋转换如下：在第1阶段，SGI的左右臂分别处于自旋态和。在第2-4阶段，使用脉冲微波将自旋态转换为。最后，在重新组合阶段，SGI的两个臂中的自旋态从转换为。这些步骤与参考文献[27,44]中的类似。
(3) 为了适应麦克斯韦方程，我们在SGI轨迹中包含了两个维度（例如），并在某个方向上引入了陷阱频率，同时保持另一个方向上的相对平坦势，遵循参考文献[37]。因此，我们将能够分析两个方向上的轨迹。
(4) 旋转动力学也被纳入这个方案，作为我们在这项研究中的主要目的，借鉴了参考文献[47,60,61]中的想法，通过在NV轴上施加初始角旋转来稳定摆动角、进动角和旋转角。NV纳米钻石的哈密顿量的磁性部分如下[21,24]：
(1) 表达式表示由于平移运动产生的动能，其中是平动动量的算符。接下来的项表示抗磁材料的磁能，在这种情况下是钻石，其质量磁化率为。第三项描述了NV电子的自旋磁矩与外部磁场之间的相互作用，即塞曼效应。在这种情况下，是NV自旋的磁矩。接下来，表示NV自旋的零场分裂，其中是该情况下的。
最后，我们得到了在某个方向和另一个方向上的谐振陷阱的哈密顿量，或者我们可以将其表示为，其中。注意，在这个方案中，我们排除了来自重力的势能（这会影响某个轴）。这是因为强抗磁场可以捕获并抵消地球引力沿某个轴引起的运动，如参考文献[37]中所建议的。

III. 磁场剖面
本方案中使用的磁场有两种类型：第1、3和5阶段使用线性磁场，第2和4阶段使用非线性磁场；参见图1中这些阶段的示意图。为了说明目的，我们在这些图中省略了某个方向。空间叠加的主要特点是它沿某个方向创建。然而，我们将引入另一个维度，以便进行更真实的建模。对于线性部分，我们使用了磁场[24]（2）其中表示沿某个方向的偏置磁场，表示梯度磁场，单位分别为T和T/m。我们希望将NV自旋对齐在这个方向上，以最大化这个方向上的力。
图1. (a) SGI协议方案的示意图（受参考文献[27,69]的启发），分为五个阶段（不是按实际比例），对应于两条路径的时间转换：和。每个阶段代表两种类型的哈密顿量。第一种是谐振子（），由线性磁场剖面产生，控制分离（第1阶段）、返回（第3阶段），在此达到最大叠加，以及重新组合（第5阶段）的自旋向上（蓝线）和自旋向下（红线）状态。第二种是倒置谐振子（），由非线性磁场剖面产生，作为增强和减速模式（第4阶段）。应当注意的是，在这种情况下，各阶段施加了磁场偏置，导致两个SGI臂的轨迹不对称，这与参考文献[27]中报道的对称轨迹不同。然而，我们可以通过将磁场剖面的平衡位置移动到（ ）来保持第2-4阶段的轨迹对称；这也可以防止两个SGI臂发生大的位移，使它们的运动限制在倒置谐振区域内。图(b)和图(c)分别显示了谐振oscillator和倒置谐振oscillator的势能。模拟使用了NV-diamond质量（ ），线性磁场偏置（ ）和非线性磁场偏置（ ），在表I中列出的梯度场规格下进行。在这里，我们为每个阶段设置了用于磁场剖面的参数，包括磁场偏置（ ）、线性磁场梯度（ ）、非线性磁场梯度（ ）以及每个阶段的过渡时间，其中 分别代表第1、2、3和4阶段（有关时间过渡值的进一步解释，请参见附录B）。悬浮和叠加效应大致在距离芯片（ ）的位置产生（参见参考文献[37]）。参数 阶段 （T） （T/m） ） （s） 1 0.001 1000 – 2 0.1 – 3 0 1000 – 4 0.1 – 5 0.001 1000 – 对于非线性磁场[27]， （3）其中 代表以单位 表示的非线性磁场的梯度。在每个阶段开启和关闭两个磁场的机制可以表述如下： （4）其中 和 代表每个阶段的时间演变，其中哈密顿量中的磁场从线性变为非线性，反之亦然。接下来，我们将确定 和 方向的运动方程及其解，这将通过分析方法解决。本方案中使用的开关函数对于参数 ， ， ，和 可以在表I [68]中找到。图1展示了所有五个阶段；第1、3和5阶段由谐振oscillator控制（这些阶段由线性磁场剖面产生），而第2和4阶段由倒置谐振势控制（这些阶段由非线性磁场剖面产生）。我们用红色和蓝色的波包来表示左右轨迹。我们从高斯波包开始，单个波包的展开在第八节中已经讨论过。红色和蓝色的箭头描绘了它们的运动，在第5阶段两条轨迹相遇。我们将在第五节中详细展示轨迹的数值模拟。在制定运动方程之前，我们首先通过将线性磁场（2）代入方程（1）来推导位置 和 的哈密顿算符方程，即 （5）其中 表示在线性磁场情况下谐振势的频率， ，是 和 方向上的陷阱频率，由于我们主要希望沿 方向创建叠加效应[37,45,70]。接下来，对于非线性磁场[方程（3）]，我们可以通过将电子自旋映射到NV中心最近的核自旋来进行构建（参见参考文献[71]）。这种操作增强了自旋的相干性，也使我们能够创建一个简单的非线性磁场剖面。因此，我们可以在涉及非线性磁场的阶段关闭 项。正如我们将看到的，非线性磁场的开启旨在第3阶段增强空间叠加效果，并在第4阶段减速。此外，我们得到了非线性磁场的简化哈密顿方程，如下所示（参见附录A）： （6）其中 。现在，我们可以使用海森堡图像形式主义[72]来计算期望值。为了简化经典轨迹的计算，我们假设自旋方向仅沿着 轴。这显然是一种理想化的方法，因为拉莫尔进动可能导致自旋朝向另一个轴倾斜。为了避免这种情况，我们将偏置磁场 对齐在 方向上。此外，在这个方案中， 与陷阱频率（参见参考文献[37]）相比， ，因此 。现在，我们可以得到磁场线性部分（即第1、3和5阶段）的加速度方程，如下所示： （7） （8）其中 。对于磁场的非线性部分（即第2和4阶段），我们有运动方程 （9） （10）这些运动方程的解的推导，对于线性和非线性磁场，可以在附录B中找到。我们将遵循参考文献[44]，其中包含每个阶段更真实的磁场参数，尽管代价是在完整循环时间 内叠加尺寸显著减小（ ），这比参考文献[27]的方案长3倍，后者的叠加尺寸为 。磁场偏置的存在导致两条轨迹失去对称性，并将它们推移到倒置势边界之外，进入四次方程区域[见图1(c)]。为了解决这个问题，在第1阶段，两条轨迹被释放直到时间 ，此时它们达到最大分离距离，瞬时速度变为零。在那一刻，两条轨迹的位置位于平衡点 围绕。然后使用这个平衡点在第2-4阶段调整磁场剖面，使SGI的两个臂对称。这种改进与参考文献[44]有很大的不同；不是在第1阶段停止，而是在第1阶段结束时以最大速度进行过渡，以在第3阶段改善叠加尺寸。此外，我们将非线性阶段（第2和4阶段）的磁场梯度值设置为 以增加叠加尺寸（这样的磁场梯度值是可行的；参见参考文献[37]）。图2展示了基于图1(a)中所示势能的SGI五个阶段的空间演变。干涉仪的左右臂的轨迹分别用蓝色和红色虚线曲线表示。我们可以看到，在第1和5阶段轨迹是不对称的，在第2-4阶段它们保持对称路径。第1阶段由于 的贡献而分离左右轨迹；我们在图1(a)的第 阶段已经可以看到这一点。在第2阶段，叠加尺寸得到了增强。当左右轨迹的速度变为0 m/s时，我们切换到第2阶段，并激活位置为 的非线性磁场。图2(b)和图2(c)显示了叠加尺寸，在我们的案例中为 ，以及速度差。请注意，我们能够在 内闭合轨迹，这意味着 ，并且在 。这些图是针对适度的磁场偏置 展示的，这与我们用于悬浮纳米钻石的超导电流芯片设计是兼容的（参见参考文献[37]）。如果我们将纳米钻石从芯片悬浮在 的距离，我们也能够生成 和 ，与表I中显示的图形相似。图2(a)-2(c)中的垂直线显示了不同阶段之间的过渡，即第1、2、3、4和5阶段，以及NV的自旋转换，将NV自旋映射到核自旋，反之亦然。这是一种众所周知的程序，用于增强电子自旋的相干性[71]，并如参考文献[26,28]中首次展示的那样增强叠加尺寸。图2。基于表I中的磁场参数，五阶段SGI在 轴上的数值结果；紫色垂直线代表两条路径的时间过渡： 和 ，每个阶段的时间持续分别为0.044 725 9、0.244 726、0.2567、0.4567和0.501 426秒。(a) 蓝色和红色线分别代表左侧和右侧的SGI臂。如我们所见，谐振oscillator阶段（ ）中的磁场偏置导致两个臂的轨迹不对称。（相比之下，如果 ，两个臂的轨迹变得对称，如参考文献[27]所示。）这些不对称的轨迹与参考文献[24]中的相似。）尽管如此， 的存在并不影响叠加的大小。图(b)表示两个SGI臂的叠加尺寸（紫色线），最大分离值为 。(c) 绿色线代表两条轨迹之间的速度差。与参考文献[27]相比，结果显著减小，后者的叠加尺寸约为 。这是因为，在这项研究中，非线性磁场的偏置值（在第3和4阶段）被降低到一个更现实的值 ，导致SGI的两个臂闭合所需的时间是参考文献[27]中的两倍，大约为0.5秒。图3(a)-3(c)显示了纳米钻石沿 方向的运动，这与参考文献[37]中的悬浮芯片设计兼容，且没有陷阱 。图3(a)中的垂直线显示了不同阶段之间的过渡，以及电子自旋到核自旋的映射，反之亦然，如图2(a)-2(c)中所展示的。我们注意到，紧密的陷阱可以最小化 方向的振荡，并显著限制 方向上的叠加尺寸[比较图3(b)和3(c)]。蓝色曲线和红色虚线显示了轨迹的左右臂。我们的当前模拟是基于磁场和电流的二维SGI的首个例子，与参考文献[37,74]中的电流承载芯片设计兼容。图3。(a) 五阶段SGI在 方向上的数值结果，其中使用的NV纳米钻石的质量为 ，磁场参数根据表I；紫色垂直线代表两条路径的时间过渡： 和 ，每个阶段的时间持续分别为0.044 725 9、0.244 726、0.2567、0.4567和0.501 426秒。(a) 蓝色和红色线分别代表左侧和右侧的SGI臂。我们可以看到，谐振oscillator阶段（ ）中磁场偏置的存在导致两个臂的轨迹不对称。（相比之下，如果 ，两个臂的轨迹变得对称，如参考文献[27]所示。）这些不对称的轨迹与参考文献[24]中的相似。）然而， 的存在并不影响叠加的大小。图(b)代表两个SGI臂的叠加尺寸（紫色线），最大分离值为 。(c) 绿色线代表两条轨迹之间的速度差。与参考文献[27]相比，结果显著减小，后者的叠加尺寸约为 。这是因为在本研究中，非线性磁场的偏置值（在第3和4阶段）被降低到一个更现实的值 ，导致SGI两个臂闭合的时间是参考文献[27]中的两倍，大约为0.5秒。图3(a)-3(c)显示了纳米钻石沿 方向的运动，这与参考文献[37]中的悬浮芯片设计兼容，且没有陷阱 。图3(a)中的垂直线显示了不同阶段之间的过渡，以及电子自旋到核自旋的映射，反之亦然，如图2(a)-2(c)所示。我们注意到，紧密的陷阱可以最小化 方向的振荡，并显著限制 方向上的叠加尺寸[比较图3(b)和3(c)]。蓝色曲线和红色虚线显示了轨迹的左右臂。我们的当前模拟是基于磁场和电流的二维SGI的首个例子，与参考文献[37,74]中的电流承载芯片设计兼容。图3。(a) 五阶段SGI在 方向上的数值结果，其中使用的NV纳米钻石的质量为 ，磁场参数根据表I。灰色垂直线代表两条路径的时间过渡： 和 ，每个阶段的时间持续分别为0.044 725 9、0.244 726、0.2567、0.4567和0.501 426秒。黑色虚线和实线分别代表没有和有参考文献[37]中给出的陷阱频率（ ）的情况。在图(b)和(c)中，显示了纳米钻石的空间二维运动图，分别代表沿 轴施加陷阱频率之前和之后的条件。从实验角度来看，叠加尺寸和干涉仪时间的闭合对于测试实验室中引力的量子本质的自旋纠缠是令人鼓舞的（参见参考文献[40]）；我们仍然需要确保在 内退相干率得到良好的控制。我们将在结论部分重新讨论这一点。VI. 纳米钻石的旋转动力学我们之前已经展示了，给纳米钻石的NV轴施加初始旋转可以帮助稳定其方向并减少其他方向的振荡（参见参考文献[60,61]），并更一致地保持量子叠加。纳米钻石的哈密顿量的旋转部分可以写为[60,61,75] （11）可以看出，额外的 项代表纳米钻石的旋转，其中 是角动量， 是纳米钻石的转动惯量。这个方案涉及三个欧拉角，即 ，分别代表进动、摆动和旋转模式，它们在坐标 上旋转。出于我们的目的，我们假设纳米钻石是一个球体（见附录C），在那里我们已经展示了欧拉角和坐标系。这里，我们假设NV纳米钻石的自旋方向 ，与 平行，与参考文献[60]中的配置相同， ，其中纳米钻石围绕 轴以初始角度 旋转。我们还假设NV自旋在纳米钻石中的位置偏离中心，距离中心为 ，其中 是 和 之间的固定角度，因此 ；我们为半径为 的纳米钻石设置 nm和 。为了使旋转在陀螺仪意义上稳定，我们施加了初始旋转。在旋转存在的情况下，我们可以重写运动方程[方程（7）和（8）]（详见附录C中的推导），如下所示：（12）（13）。请注意，非线性部分的运动方程仍然与方程（9）和（10）相同，因为在涉及非线性部分的各个阶段，即第2阶段和第4阶段，都会发生自旋转变。可以看出，附加项代表了纳米钻石的旋转[见方程（11）]，其中是角动量，是纳米钻石的惯性矩（对于球形纳米钻石，我们有）。用动量形式表示的哈密顿量可以写为（参见参考文献[47,60,61]）：（14）。使用相同的两个磁场配置来处理线性和非线性情况，旋转的经典摆动模式由[60,61]给出：（15），其中和。离中心位置的NV磁共振（NV）中的磁场定义为，摆动频率为，其中初始频率由给出，是摆动角的平衡位置。对于进动和旋转模式，我们有运动方程[61]：（16）（17）。在这里，方程（16）和（17）可以通过指定初始条件来求解。在我们的案例中，我们取，并将初始角速度设置为。从方程（15）可以看出，即使使用二次（非线性）磁场，摆动模式也总是具有谐振子形式。VII. 旋转纳米钻石的数值结果参考文献[47]表明，在SGI设置中，由于外部扭矩的作用，纳米钻石沿着NV轴的旋转（称为摆动模式）是不可避免的，无论NV中心是靠近质心还是远离质心。纳米钻石的摆动会导致自旋种群测量的对比度降低；因此，需要重复实验多次以克服这一挑战。为了应对这一挑战，参考文献[60,61]提出我们可以沿着NV轴施加一个初始旋转，这将提供一种陀螺仪稳定性，正如我们在本文中所论证的。在所有阶段1-5中，陀螺仪稳定性都有助于稳定。这可以在我们的数值模拟中看到，见图4。为了说明目的，我们取，并且我们可以看到在阶段1之后变小，并且在所有阶段都保持不变，除非我们将核自旋映射到电子自旋，此时会再次变化。的演化与哈密顿量中的项密切相关。当这个项不存在并且电子自旋映射到核自旋时，的演化会停止。在一环干涉仪的末端，对于轨迹的左右两部分，它倾向于变得比初始值更小。我们还注意到，在方向上的捕获势对的演化影响很小。与没有在方向上捕获的情况相比，的振荡幅度更小。在这种情况下，方向上有一个频率为的捕获势。图4. 摆动模式的数值解[方程（15）]使用初始角度和初始角速度。假设纳米钻石的形状是一个完美的固体球体，质量为，半径为。NV自旋的位置偏离中心纳米钻石质心纳米米，与中心之间的角度固定为。磁场剖面参数可以在表I中找到。紫色垂直线代表两条路径的时间过渡：和，每个阶段的时间持续分别为0.044 725 9、0.244 726、0.2567、0.4567和0.501 426秒。纳米钻石的摆动模式如图所示，实线红色和蓝色线条分别代表SGI的左右臂。面板（a）表示没有在方向上的频率陷阱，面板（b）表示使用[37]中的规格设置频率陷阱。可以看出，由于纳米钻石的质量相对较高，摆动角相当稳定，如果包含陷阱频率，两个SGI臂会变得更加稳定。注意以下现象：在图5中从第4阶段过渡到第5阶段时，摆动模式的幅度变得比第1阶段高（在没有陷阱的情况下增加了0.08%，而在方向上有陷阱的情况下增加了0.03%）。这是由于在从第4阶段过渡到第5阶段期间，和方向上的平移运动的初始值不同（见图2），与初始条件相比。由于围绕轴的扭矩中摆动角和进动角之间的耦合贡献，第5阶段的摆动幅度甚至更高，这影响了NV纳米钻石上的扭矩，从而影响了摆动模式的解。然而，当激活陷阱时，幅度降低到0.05%。图5. 使用初始角度和初始角速度的方程（16）和（17）的数值解。假设纳米钻石的形状是一个完美的固体球体，质量为，半径为。NV自旋的位置偏离纳米钻石质心纳米米，与中心之间的角度固定为。磁场剖面参数可以在表I中找到。紫色垂直线代表两条路径的时间过渡：和，每个阶段的时间持续分别为0.044 725 9、0.244 726、0.2567、0.4567和0.501 426秒。纳米钻石的摆动模式如图所示，实线红色和蓝色线条分别代表SGI的左右臂。面板（a）表示没有在方向上的频率陷阱，面板（b）表示使用[37]中的规格设置频率陷阱。可以看出，由于纳米钻石的质量相对较高，摆动角相当稳定，如果包括陷阱频率，两个SGI臂会变得更加稳定。第4阶段到第5阶段的过渡中，摆动模式的幅度变得比第1阶段更高（在没有陷阱的情况下增加了0.08%，而在方向上有陷阱的情况下增加了0.03%）。这是由于在从第4阶段过渡到第5阶段期间，和方向上的平移运动的初始值不同（见图2），与初始条件和相比。第5阶段的摆动幅度甚至更高，因为扭矩中摆动角和进动角之间的耦合贡献影响了NV纳米钻石上的扭矩，从而影响了摆动模式的解。然而，当激活陷阱时，幅度降低到0.05%。图5. 使用初始角度和初始角速度的方程（16）和（17）的数值解。假设纳米钻石的形状是一个完美的固体球体，质量为，半径为。NV自旋的位置偏离纳米钻石质心纳米米，与中心之间的角度固定为。磁场剖面参数可以在表I中找到。紫色垂直线代表两条路径的时间过渡：和，每个阶段的时间持续分别为0.044 725 9、0.244 726、0.2567和0.501 426秒。进动角（）和旋转角（）的不匹配（在棕色实线中）和（在紫色实线中），在所有阶段中都是对称的（）对于两种情况；面板（a）表示没有在方向上的频率陷阱，面板（b）表示使用[37]中的规格设置频率陷阱。同样，图5显示了和的演化。在这个图中，我们展示了和。从方程（16）和（17）可以看出，它们的演化是相同的；即，右侧保持不变。因此，对于给定的，和的演化遵循的演化。由于，和的变化遵循类似的演化，从我们的分析中可以看出。在这里，我们可以看到在阶段1和5期间会演化。然而，在其他阶段，会停止演化。这是因为当电子自旋映射到核自旋时，也不演化。注意，对于轨迹的左右臂，和保持不变。VIII. 波包演化我们在和谐势和反和谐势中都使用高斯形状的波包（GSWP）。高斯波在时间演化过程中保持其形状。这允许我们通过简单计算这些参数的变化来推导波的宽度、相位和中心的解析解[76–80]。实现最小不确定性状态的能力有助于计算色散和相位演化，以便进行相干性和干涉对比度分析，并且通过高斯参数明确简化了对磁场、磁场梯度变化和初始位置偏差的影响的分析。与其他在二次势中不提供精确解的方法相比，这种方法简化了实验优化和理论验证（参见参考文献[27]以获取更全面的解释和推导）：（18）其中（19）（20）（21）（22）下标表示在磁场线性阶段（阶段1、3和5）有效的线性磁场。相反，在磁场非线性阶段（阶段2和4），我们有，三角函数转变为双曲函数：和。在方程（20）的最后一项中，由于哈密顿谐振子中存在磁场偏置，因此有一个额外的贡献。然而，与方程（5）中的哈密顿谐振子不同，后者有两个独立变量项（和），方程（6）中的哈密顿反谐振子只包含独立变量。因此，方程（22）的解中没有参数如。其完整定义可以在附录D1中找到，以及参数、、和。如果初始状态由高斯波包轮廓给出，那么它必须是现在我们可以根据方程（18）和参考文献[58]的定义来计算空间运动在方向上的对比度，这也是两个SGI臂的重叠：（23）与空间运动的情况不同，对于旋转情况，运动方程总是采用谐振子的形式，无论磁场是线性的还是非线性的。因此，为了描述波函数的演化，可以使用参考文献[60,61]中采用的方法，并且我们在重组时间（）时有热噪声的自旋对比度定义（见附录E）：（24）其中和定义为占用数，代表热噪声。对比度计算的结果可以在图6中看到。从图6(a)可以看出，NV中心远离中心的位置降低了对比度值（在重组时间，有陷阱）。在我们的案例中，这是因为在重组阶段应用了非常大的磁场梯度（），导致SGI的两个臂经历了非常不同的塞曼扭矩，因为它们的磁矩方向相反，且场在强梯度上波动。结果，两个自旋状态的两个旋转轨迹在干涉仪上显著分离。由于角度不匹配变得比量子相干长度大得多，两个相干状态之间的重叠呈指数级减小，因此自旋干涉对比度几乎降为零。图6(b)显示了由于热噪声的存在而导致的对比度降低。在T = 0 K（量子基态）时，摆动模式的波包窄且恰好位于平衡位置（= 0.01 rad）。因为波包窄，当干涉仪关闭时，两个波包仍然显著重叠，即使它们的中心略有偏移。对于，热振动为摆动模式提供了额外的旋转动能，导致波包扩展。结果，平衡位置在其平均值周围变得模糊。当重组发生时，左右臂更加分散，它们的中心相距更远，因此重叠程度呈指数级减小。尽管如此，这种情况可以通过施加快速的初始旋转来补救。图6. 在重组时间，对于质量为的纳米钻石，其半径为纳米，具有磁场偏置，磁场梯度为，的摆动模式的对比度[见方程（24）]，其中，对于不同的初始角速度。面板（a）显示了NV偏离距离随投影角和占用数的变化。面板（b）显示了占用数随NV偏移设置为的变化。可以看出，NV中心与纳米钻石中心的距离影响了对比度；这种效应在参考文献[60,61]中被忽略了，但在这里由于使用了高磁场梯度而变得非常显著。IX. 结论我们的主要关注点是研究在仅通过磁场及其梯度创建的和谐/反和谐势的过程中，旋转和空间自由度对创建宏观量子叠加的影响。我们关注了磁场偏置、捕获势的作用以及每个演化阶段出现的有效势能剖面，无论是从经典轨迹的角度还是从量子波包描述的角度来看。磁场偏置的存在影响了两个SGI臂的轨迹行为（类似于参考文献[24]中的结果），使得两个轨迹不对称。然而，磁场偏置的存在或缺失并不影响叠加大小（在阶段3）。即便如此，仍然需要调整磁场参数，以便使两个SGI臂能够闭合。对于选定的测试质量，该方案产生的叠加尺寸大约为……。与参考文献[44]（使用类似方案得到……）和参考文献[24]（使用……质量）相比，这代表了显著的改进。从量子引力电磁学（QGEM）的角度来看，根据参考文献[40]中的研究，这种规模的叠加对于实现负纠缠见证已经很重要，特别是当叠加分支之间的最小分离距离可以减小到大约……并且退相干程度能够得到充分控制时。对于运动方程，由于初始角速度占主导地位，摆动方程始终会形成一个谐振势能，尽管系统在空间运动中已经进入了IHP阶段。正如早期研究[60,61]所展示的，纳米粒子的陀螺稳定性对于缓解自旋对比中的“霍姆蒂-杜姆蒂问题”（Humpty-Dumpty problem）至关重要。在这里，我们重申为纳米粒子赋予初始旋转作为初始状态准备手段的重要性。在……方向上的俘获势不仅稳定了粒子沿……方向的空间运动，还能在粒子快速旋转时稳定其摆动模式。这可以在图4和图5的第1阶段和第5阶段中看到，通过比较施加……方向上的陷阱前后摆动模式的振幅可以证实。在阐述波包时，我们使用了与参考文献[27]中相同的形式主义，即高斯形状的波包方程。然而，我们现在在初始拉格朗日公式中加入了磁场偏置（见附录D）。可以看出，加入磁场偏置并不改变波包宽度的演变，但确实会影响波包中心的位置。因此，两个SGI臂在分离后完全重叠所需的时间会略微延长，重组过程中也是如此。我们的分析提供了一个可以扩展到更复杂情景的框架。例如，这里提出的计算为通过结合纳米钻石的惯性矩的空间分布来研究各种纳米粒子几何形状提供了基础。该框架还开启了通过沿NV轴的控制旋转来探索大规模空间叠加的可能性，如参考文献[56]中所讨论的。此外，这种方法可以推广到具有多个NV中心的系统，如参考文献[81]中所做的那样，从而扩大了我们结果的应用范围。