含噪中等规模量子设备上极化子 - 分子转变的量子计算演示

《Physical Review A》：Quantum computing demonstration of the polaron-molecule transition on a noisy intermediate-scale quantum device

　　

强关联费米子系统的模拟由于希尔伯特空间的指数增长和费米子符号问题，仍然是计算物理学中的一大挑战。在本工作中，我们报道了一项量子计算演示，探索了费米子极化子和玻色-爱因斯坦凝聚到巴丁-库珀-施里弗(BCS)交叉的统合物理。我们发展了一种有效哈密顿量形式体系，架起了配对超流性和杂质物理之间的桥梁，通过约旦-温格(Jordan-Wigner)变换将系统映射到基于门操作的量子处理器上。通过利用一阶Trotter-Suzuki分解，我们实现了一个辅助量子比特控制的Ramsey干涉测量方案，以分辨系统的谱响应。我们的实现捕捉了从被穿衣准粒子（极化子）区域到稳定分子束缚态的平滑转变，其特征是在强耦合极限下的线性能量重整化。我们将量子方案与精确对角化方法进行了基准比较，并在巴塞罗那超级计算中心的量子硬件上演示了其执行。为确保可重复性，我们提供了全面的设备校准指标，包括执行时的量子比特相干时间和门保真度。尽管存在固有的硬件噪声，混合变分方法定性地观察到了谱密度在极化子到分子转变中的分叉。

**I. 引言**

超冷费米气体的物理提供了一个异常可控的实验室，用于研究集体量子现象。其中关键的是玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）到巴丁-库珀-施里弗（BCS）的交叉以及费米极化子的形成[1,2]。虽然这些现象在文献中通常被分别讨论，但它们共享一个源于动能和吸引相互作用之间竞争的微观起源[3]。具体而言，两者都产生于通过Feshbach共振调谐的双组分费米气体的基础物理[4]。

在本工作中，我们提出了一种有效哈密顿量方法，它同时捕捉了BEC-BCS转变的许多体配对物理[5,6]和费米极化子的杂质物理[7]。我们将该模型转化为数字量子模拟，并在巴塞罗那超级计算中心（BSC-CNS）的真实量子硬件上演示了其性能。我们方法的核心是实现了辅助量子比特控制的Ramsey干涉测量方案，该方案使得可以直接测量系统的时间域相干性。通过演化完整的多体态，我们的量子方案明确地考虑了传统平均场方法中通常忽略的高阶关联效应和多粒子散射过程，这些对于准确确定极化子的谱权重至关重要。

我们提供了量子设备的详细表征，包括量子比特频率、相干时间（T?）和研究时的门保真度，以确保我们结果的可重复性。通过整合主动错误缓解策略，如读出错误缓解（REM）[8]和零噪声外推（ZNE）[9]，我们表明当前的噪声中等规模量子（NISQ）设备可以分辨极化子到分子转变中谱密度的临界分叉。

与资源密集型量子相位估计（QPE）算法[10]不同，我们的辅助量子比特控制的Ramsey方案提供了一条明确硬件高效的途径来提取极化子的谱权重。具体而言，它只需要一个控制量子比特以及复重叠实部的测量，而标准的全干涉协议，如传统的Hadamard检验[11]，还需要虚部分量。

本工作的结构如下。在第II节中，我们建立了系统的理论基础，回顾了费米-狄拉克统计和Feshbach共振。第III节推导了连接BEC-BCS交叉和费米极化子形成的有效哈密顿量，通过积分掉分子场来实现。第IV节详细说明了将该连续模型映射到数字量子模拟架构的过程，讨论了离散化策略、Jordan-Wigner变换和Ramsey干涉测量方案。在第V节中，我们展示了在BSC-CNS的量子处理器QRed上进行的硬件演示，并分析了光谱相图。第VI节和VII节讨论了极化子和BEC-BCS交叉之间的物理联系，以及超越平均场理论的关联效应。第VIII节讨论了Trotter化误差和可扩展性。最后，第IX节总结了我们的发现并概述了未来方向。

**II. 理论框架**

费米气体的基本构成为费米子，受泡利不相容原理支配，它们不能同时占据相同的量子态。这一约束导致了费米-狄拉克统计分布：

$$f(\varepsilon) = \frac{1}{e^{(\varepsilon - \mu)/k_B T} + 1} \quad (1)$$

其中$\varepsilon$表示单粒子态能量，$\mu$是化学势，$k_B$是玻尔兹曼常数，$T$是温度。

在零温极限（$T \to 0$）下，公式(1)中的分布简化为海维赛德阶跃函数，其中所有可用能级都被填充到费米能$\varepsilon_F$为止。对于理想的三维（3D）气体，费米能标由粒子密度$n$唯一确定：

$$\varepsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{3\pi^2 n}{2}\right)^{2/3} \quad (2)$$

其中$m$是费米子的质量。

本工作所关注的量子简并区域，在系统温度显著低于费米温度（$T \ll T_F$）时达到，费米温度定义为$T_F = \varepsilon_F / k_B$。在此极限下，与量子涨落相比，热涨落变得可以忽略不计。泡利阻塞导致的散射抑制允许了相干许多体现象的出现，为研究库珀配对以及不同超流区域之间的连续交叉提供了必要的平台。

**A. 相互作用控制和Feshbach共振**

超冷原子气体的一个定义性特征是通过Feshbach共振以前所未有的精度调节粒子间相互作用的能力[4]。在纳开尔文温度下，原子的德布罗意波长远大于原子间相互作用的势程。因此，动力学由短程、各向同性的$s$波散射主导[12]。这些相互作用有效地用正则化接触势来建模：

$$H_{\text{int}} = \frac{g}{2} \sum_{\sigma=\uparrow,\downarrow} \int d\mathbf{r}\, \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r})\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) \quad (3)$$

其中$g$是有效耦合强度，$a_s$是$s$波散射长度[2,4]。对$a_s$的实验控制是通过施加外部磁场来实现的，使闭道分子束缚态与开道中两个自由粒子的能量发生共振[4]。这一机制允许在不同的物理区域之间进行连续转变[1]：

(i) 幺正极限（$|a_s| \to \infty$）。散射长度发散，系统达到普适态，其中热力学量仅取决于密度和温度，而与相互作用程无关[1,2]。

(ii) BEC区域（$a_s \gg 0$）。费米子形成紧束缚玻色子分子（二聚体），它们可以发生玻色-爱因斯坦凝聚[3,13]。

(iii) BCS区域（$a_s \ll 0$）。费米子经历弱吸引，形成空间上大的、重叠的库珀对[5,6]。

**B. 连续体中费米子系统的哈密顿量**

在引入杂质之前，背景介质——由两个不同内部自旋态（自旋向上$\uparrow$和自旋向下$\downarrow$）的费米子组成的双组分费米气体——由标准连续体哈密顿量描述[1,14]：

$$H_{\text{bg}} = \sum_{\sigma=\uparrow,\downarrow} \int d\mathbf{r}\, \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 - \mu\right)\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) + \frac{g}{2}\int d\mathbf{r}\, \hat{\psi}_\uparrow^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_\downarrow^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_\downarrow(\mathbf{r})\hat{\psi}_\uparrow(\mathbf{r}) \quad (4)$$

其中$\hat{\psi}_\sigma$和$\hat{\psi}_\sigma^\dagger$分别是自旋$\sigma$的费米子湮灭和产生场算符。为了表征不同区域中的系统，我们使用无量纲耦合$E_F/g$。该参数通过$s$波散射长度$a_s$与有效耦合$g$在物理上相关联，遵循标准低能关系$1/a_s = \hbar^2/m \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{E_k/2 - \mu}$。在此，费米波矢$k_F$充当归一化由$g$设定的相互作用强度的自然动量标度[2]。

**C. 从BCS理论到Chevy变分 Ansatz**

系统的物理随布居不平衡而剧烈变化。平衡区域（$p = N_\uparrow / (N_\uparrow + N_\downarrow) = 1/2$）传统上由广义BCS平均场理论描述[5]。通过引入配对序参量$\Delta = -g \langle \hat{\psi}_\downarrow \hat{\psi}_\uparrow \rangle$，可以导出自洽的能隙和数方程[2,3,15]：

$$\Delta = -g \sum_{\mathbf{k}} \frac{\Delta}{2E_k}, \quad E_k = \sqrt{\xi_k^2 + |\Delta|^2} \quad (5)$$

$$\mu = \sum_{\mathbf{k}} \left[\xi_k \tanh\left(\frac{E_k}{2k_BT}\right) - E_k \tanh\left(\frac{E_k}{2k_BT}\right) + \frac{\Delta^2}{2E_k}\right] \quad (6)$$

其中$E_k$代表准粒子激发能，$\xi_k$是相对于化学势的动能。

相反，在极端杂质极限（$p \to 0$）下，集体序参量消失（$\Delta \to 0$）。问题简化为单个杂质与费米海$\Sigma_0$的相互作用[7]。在该区域中，极化子的基态能量$E_{\text{pol}}$由Chevy变分 Ansatz有效地捕捉[16]：

$$E_{\text{pol}} = g \langle \hat{n}_\uparrow \hat{n}_\downarrow \rangle - \sum_{\mathbf{k},\mathbf{k}'} \frac{|\Delta_{\mathbf{k},\mathbf{k}'}|^2}{\varepsilon_{\mathbf{k}'} - \varepsilon_{\mathbf{k}} + \varepsilon_{\text{imp}} - E_{\text{pol}}} \quad (7)$$

这里，系数$g$和$\Delta_{\mathbf{k},\mathbf{k}'}$是通过最小化能量确定的变分参数。该状态在物理上表示杂质被背景介质的单个粒子-空穴激发所"穿衣"。我们的目标是统一这两种描述——集体BCS态和单粒子极化子态——到单一的哈密顿量框架中。重要的是要强调，虽然费米极化子的理论概念依赖于连续的、稀薄的费米海，但将该目标模型映射到近中期数字量子处理器需要对系统进行离散化。正如后续章节所探讨的，我们的硬件实现将此理想的$\Sigma_0$映射为有限尺寸浴$\Sigma_N$，在拓扑约束下捕捉了穿衣机制的局域代数前兆。

**III. 有效哈密顿量**

我们考虑质量为$m$的费米子气体，具有两个自旋组分（$\sigma = \uparrow, \downarrow$），耦合到代表闭合Feshbach道的分子场$\phi$，以及由算符$\hat{c}$描述的质量为$m_I$的杂质（极化子）。显式地包含自由散射费米子的开道和束缚分子态的闭道的综合双通道哈密顿量表示为：

$$H = H_{\text{bg}} + H_{\text{imp}} + H_{\text{mol}} + H_{\text{if}} + H_{\text{im}} + H_{\text{conv}} \quad (8)$$

其中不同的贡献为：

$$H_{\text{bg}} = \sum_{\sigma=\uparrow,\downarrow} \int d\mathbf{r}\, \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 - \mu_\sigma\right)\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) \quad (9)$$

$$H_{\text{imp}} = \int d\mathbf{r}\, \hat{c}^\dagger(\mathbf{r})\left(-\frac{\hbar^2}{2m_I}\nabla^2 - \mu_I\right)\hat{c}(\mathbf{r}) \quad (10)$$

$$H_{\text{mol}} = \int d\mathbf{r}\, \phi^\dagger(\mathbf{r})\left(-\frac{\hbar^2}{2M}\nabla^2 - \Delta\right)\phi(\mathbf{r}) \quad (11)$$

$$H_{\text{if}} = V_f \int d\mathbf{r}\, \hat{c}^\dagger(\mathbf{r})\hat{c}(\mathbf{r})\sum_{\sigma} \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) \quad (12)$$

$$H_{\text{im}} = V_m \int d\mathbf{r}\, \hat{c}^\dagger(\mathbf{r})\hat{c}(\mathbf{r})\phi^\dagger(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r}) \quad (13)$$

$$H_{\text{conv}} = \Lambda \int d\mathbf{r}\, \left[\phi^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_\uparrow^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_\downarrow(\mathbf{r}) + \text{h.c.}\right] \quad (14)$$

这里，$\mu_\uparrow$和$\mu_I$分别是费米子和杂质的化学势，而$\bar{\mu}$表示与配对形成相关的平均化学势。参数$\Delta$表示闭道失谐，即开道和闭道之间的能量差。项$H_{\text{if}}$和$H_{\text{im}}$分别描述杂质与费米子和分子的相互作用，势能为$V_f$和$V_m$。转换项$H_{\text{conv}}$支配Feshbach共振机制，以强度$\Lambda$将自由费米子对耦合到束缚分子态。

为了使该系统可用于量子模拟，我们通过积分掉玻色分子场$\phi$将双通道模型简化为有效单通道哈密顿量。当失谐$\Delta$与系统的相关能标相比很大时，这一近似是有效的。在此过程中，显式的杂质-分子相互作用$H_{\text{im}}$和转换项$H_{\text{conv}}$被吸收到频率依赖的重整化相互作用强度$g_{\text{eff}}(\omega)$中[17]：

$$g_{\text{eff}}(\omega) = \frac{\Lambda^2}{\Delta + \omega + \Sigma_{\text{mol}}(\omega)} \quad (15)$$

其中$g$是背景费米子-费米子耦合。这种有效方法依赖于宽Feshbach共振极限，即闭道分子束缚态被深度失谐，其动力学远快于开道费米子的动力学。在这些条件下，分子场可以被绝热消除，有效耦合$g_{\text{eff}}$的频率依赖性可以被忽略，使我们能够将其近似为无记忆接触相互作用。因此，有效耦合$g_{\text{eff}}$可以被视为常数接触相互作用[4]。我们的推导依赖于有效哈密顿量的常数耦合近似，这在宽Feshbach共振区域内是有效的。在此背景下，对$g_{\text{eff}}$的频率依赖修正被大的共振宽度所抑制，确保常数耦合极限在所研究的交叉范围内始终是系统动力学的高度准确表示。这一过程得出了描述BEC-BCS背景及其与杂质相互作用的最终有效哈密顿量：

$$H_{\text{eff}} = H_{\text{bg}} + H_{\text{imp}} + V_{\text{eff}} \int d\mathbf{r}\, \hat{c}^\dagger(\mathbf{r})\hat{c}(\mathbf{r})\sum_{\sigma} \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) + g \int d\mathbf{r}\, \hat{\psi}_\uparrow^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_\downarrow^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_\downarrow(\mathbf{r})\hat{\psi}_\uparrow(\mathbf{r}) \quad (16)$$

其中有效相互作用项聚合了杂质-费米子和费米子-费米子通道：

$$V_{\text{eff}} = V_f + \frac{V_m \Lambda^2}{\Delta} \quad (17)$$

公式(16)和(17)定义了作为我们量子模拟基础的连续许多体能泛函。

**IV. 量子模拟**

我们的起点是公式(16)中推导的有效哈密顿量。为了在数字量子处理器上实现该连续模型，我们将空间连续体离散化为$N$个格点的晶格。这种离散化使我们能够将费米子自由度映射到基于门操作的量子计算机的量子比特寄存器上。

离散化后，公式(16)中的哈密顿量采用了二次量子化形式的扩展Hubbard模型：

$$H = -t \sum_{\langle i,j \rangle, \sigma} \hat{c}_{i,\sigma}^\dagger \hat{c}_{j,\sigma} + \sum_{\alpha} U_\alpha \sum_i \hat{n}_{i,\alpha} + \sum_{\langle i,j \rangle, \sigma} V_{ij} \hat{c}_{i,\sigma}^\dagger \hat{c}_{j,\sigma} \quad (18)$$

其中$\hat{c}_{i,\sigma}^\dagger$在位点$i$上创建自旋$\sigma$的费米子，$\hat{n}_{i,\alpha}$是数算符，$t$是跃迁振幅，设定晶格的基本能单元。参数$U_\alpha$和$V_{ij}$对应于有效在位相互作用强度。值得注意的是，将该连续极限映射到物理硬件会引入拓扑约束。

为确保一致性，格点参数经过重整化以匹配有效耦合。这种重整化通过关系$U_\alpha = C_\alpha \cdot g_{\text{eff}}$将Hubbard参数联系起来，其中指标$\alpha$表示相互作用通道，$C_\alpha$是由格点结构决定的几何常数。给定一个十量子比特配置（产生四个空间浴位点），系统形成2D方形（$L \times L$）格点。相应地，$C_\alpha$被适配到该2D几何$C_\alpha = 2$ [18]。此外，将八个费米子分配到四个位点上导致填充因子为$n = 2$。虽然这种最大密度条件由于泡利阻塞而自然抑制了跃迁动力学，但我们将此完全填充的格点视为有限尺寸基准。在该有限尺寸框架内，重整化参数准确地捕捉了基本的局域相互作用物理，为扩展到恢复空间自由度的更大阵列提供经验基线。

**A.**

# 渐近物理极限

方程(18)中的离散化哈密顿量自然地恢复了相图极端极限的物理：

**(i) BEC极限（Fr?hlich型）。** 在分子凝聚区域，物理由玻色子对之间的相互作用和杂质-玻色子耦合共同支配。通过对背景凝聚体应用Bogoliubov变换，杂质相互作用被重写为与集体激发（声子）的耦合。所得动力学由Fr?hlich型哈密顿量描述：

$$H_{\text{Fr}} = \sum_{\mathbf{k}} \omega_k \, b^\dagger_{\mathbf{k}} b_{\mathbf{k}} + \sum_{\mathbf{k}} g_k \left( b^\dagger_{\mathbf{k}} \hat{I}^\dagger_{-\mathbf{k}} + b_{\mathbf{k}} \hat{I}_{-\mathbf{k}} \right) \tag{19}$$

其中$g_k$表示有效耦合强度。这种与方程(18)的联系通过长波极限下的识别建立，其中$g_k$为分子凝聚体密度，$m$为分子质量，$v_s$为声速。Bogoliubov因子考虑了相互作用的多体dressing。

**(ii) BCS/杂质极限（Chevy）。** 在极端粒子数不平衡极限下，方程(18)中的有效模型简化为一个杂质与有限尺寸背景浴相互作用的问题。在此区域中，杂质被粒子-空穴激发所dressing。极化子能量由从有效相互作用导出的多体矩阵的极点确定，该极点对应于重正化的：

$$E = \frac{1}{V} \sum_{\mathbf{k}} \varepsilon_k + \frac{1}{V} \sum_{\mathbf{k}} \frac{V_{\mathbf{k}}}{E - \varepsilon_k + i\delta} \tag{20}$$

其中$V$表示系统体积，$f_{\mathbf{k}}$表示Fermi-Dirac分布函数。此函数的零值点识别了稳定的准粒子能量。

## B. 量子比特映射：Jordan-Wigner变换

为了模拟费米子统计，我们采用Jordan-Wigner变换（JWT）：

$$c_j = \left(\prod_{l
这种非局域映射保持了正则反对易关系。在jwt下，密度-密度相互作用项分解为pauli-串的和：

$$\hat{n}_j \hat{n}_{j+1} = \frac{1}{4}\left(1 + \sigma_j^z\right)\left(1 + \sigma_{j+1}^z\right) = \frac{1}{4}\left(1 + \sigma_j^z + \sigma_{j+1}^z + \sigma_j^z \sigma_{j+1}^z\right) \tag{23}$$

其中$\sigma^z_j = 1 - 2\hat{n}_j$。这种对角形式允许通过简单地调整旋转角度和多量子比特门来调节bec-bcs交叉的相互作用强度。哈密顿量的动能项决定了格子上的跳跃动力学，通过jordan-wigner变换分解为宇称守恒相互作用。横向相互作用使用算符$\sigma^x$和$\sigma^y$实现，它们对应于交换项的幺正演化。

## c. 时间演化与trotter化

由于离散化有效哈密顿量方程(18)中的动能分量$\hat{h}_t$和相互作用分量$\hat{h}_v$不对易，我们使用一阶trotter-suzuki分解来近似幺正演化：

$$\hat{u}(\delta t) = e^{-i\hat{h}\delta t} \approx \prod_{\alpha} e^{-i\hat{h}_\alpha \delta t / n} \tag{24}$$

其中$\hat{h}_\alpha$表示求和为总哈密顿量$\hat{h}$的各个方面独立的局域项，如位点特定跳跃或相互作用算符。从物理上看，少量的trotter步数对应于粒子跳跃然后以分离的、顺序的块进行相互作用的系统。为了恢复这些过程同时发生时的正确量子干涉，需要足够多的步数。

在我们的实现中，我们使用多目标rz门架构来分解相互作用项。这意味着一系列两个cnot门夹着一次rz旋转。这种构造确保相对相位仅在量子比特宇称不同时积累，准确地模拟了密度-密度排斥或吸引。

## d. ramsey干涉协议

为了探测谱性质，我们使用如图1所示的辅助量子比特控制的ramsey干涉方案测量时间重叠函数：

$$c(t) = \langle \psi(0)| \hat{u}^\dagger_{\text{bath}}(t) \hat{u}_{\text{full}}(t)|\psi(0)\rangle \tag{25}$$

其中$\hat{h}_{\text{full}}$，定义为方程(18)，表示在杂质存在下系统的完整哈密顿量，包括动能和相互作用项，而$\hat{h}_{\text{bath}}$表示未受扰动浴的哈密顿量，通过设置杂质相互作用获得。

**图1. 量子线路架构。** 干涉协议的原理图（上）。一个辅助量子比特作为量子控制器。状态制备阶段包括杂质的初始化和有限尺寸浴的表示。量子线路的核心包括两个受控幺正操作：$\hat{u}_{\text{full}}$和$\hat{u}_{\text{bath}}^\dagger$，随后是最终的hadamard门和对辅助量子比特的投影测量以提取重叠函数。在完整哈密顿量下正向时间演化的详细trotter-suzuki分解，包含杂质-浴相互作用（中）以及在裸浴哈密顿量下反向时间演化（下）。注意在此块中，杂质量子比特保持解耦，传播相位的符号反转以实现自由演化的厄米共轭。量子比特间关联通过多目标门序列映射。这些多量子比特相互作用块依次对相邻量子比特对操作。

为最小化硬件执行时间，我们仅提取重叠函数的实部。虽然初态制备误差可能引入全局相位偏移导致线型不对称，但傅里叶理论保证中心频率峰值——我们用于能量重正化的主要可观测量——严格不变。

图1中的量子线路包括四个阶段：(i) 有限尺寸浴和辅助量子比特的初始化；(ii) 通过hadamard门创建辅助量子比特叠加态；(iii) 条件演化，其中系统在辅助量子比特为0时演化的哈密顿量下演化，在辅助量子比特为1时在演化的哈密顿量下演化；以及(iv) 最终的hadamard混合从测量概率中提取。

# v. 结果与讨论

在本节中，我们呈现量子模拟的结果，分析重极化子的动力学及其在相互作用转变中的光谱特性。数值结果与来自泛函行列式形式的理论预测进行了比较。

## a. 基准测试与代码验证

为了验证数字量子模拟的可靠性，我们进行了双阶段验证。首先，我们使用经典环境中哈密顿量的精确对角化建立了一个最小系统的理论基准。这通过在全维hilbert空间中计算矩阵指数提供了精确理论曲线，其中涉及浴中的两个费米子、一个杂质和一个辅助量子比特。图2说明了理想条件下相互作用强度下的ramsey信号实部的时间演化。在此阶段，pennylane中的default.qubit模拟器以状态向量模式使用，绕过测量噪声以隔离算法性能。

**图2. 量子模拟与精确经典解（ed）的比较。** 蓝色点代表通过状态向量模拟器获得的数据，显示与理论曲线（红色虚线）几乎完美一致。

**表i. 相互作用强度下相互作用强度和辅助量子比特概率（理想/无噪声）的时间模拟结果。**

| 时间（t） | 1.000 | 0.000 | 1.000 |
|:---------:|:------:|:------:|:------:|
| 0.00 | 1.000 | 0.000 | 1.000 |
| 0.50 | 0.833 | 0.167 | 0.666 |
| 1.00 | 0.523 | 0.477 | 0.046 |
| 1.50 | 0.408 | 0.592 | ?0.184 |
| 2.00 | 0.564 | 0.436 | 0.127 |
| 2.50 | 0.716 | 0.284 | 0.432 |
| 3.00 | 0.588 | 0.412 | 0.175 |
| 3.50 | 0.248 | 0.752 | ?0.505 |
| 4.00 | 0.036 | 0.964 | ?0.928 |

观察到的紧密一致性确认了trotter化协议有效地捕捉了离散化有效哈密顿量的不对易动力学。需要注意的是，虽然数字量子模拟由于trotter误差本质上具有近似性，但使用足够小的离散化步长确保结果与精确理论无法区分。

然后，我们在bsc-cns qred集群上执行模拟，该集群配备了35个超导横电耦合量子比特。在此运行中，我们通过将每个时间步的测量限制为有限次数的采样来引入量子投影噪声（见表ii）。

**表ii. 在bsc qred硬件上演示极化子-分子转变（每次测量有限次数的采样）。**

| 时间（t） | 1.000 | 0.000 | 1.000 |
|:---------:|:------:|:------:|:------:|
| 0.00 | 1.000 | 0.000 | 1.000 |
| 0.50 | 0.827 | 0.173 | 0.654 |
| 1.00 | 0.497 | 0.503 | ?0.006 |
| 1.50 | 0.417 | 0.583 | ?0.166 |
| 2.00 | 0.558 | 0.442 | 0.116 |
| 2.50 | 0.716 | 0.284 | 0.432 |
| 3.00 | 0.354 | 0.646 | ?0.292 |
| 3.50 | 0.252 | 0.748 | ?0.496 |
| 4.00 | 0.039 | 0.961 | ?0.922 |

如图3所示，数据点不再完美地位于理论曲线上，而是根据预期的统计不确定性波动。这些偏差代表了量子测量坍缩的基本性质。尽管存在波动，定量回归分析得到的决定系数为，表明模拟与解析模型在统计上是一致的，并且能够分辨极化子的相干振荡。

**图3. 在bsc qred集群上执行的量子模拟（蓝色点）与精确理论预测（红色虚线）的比较。** 曲线周围的波动代表了内在的统计不确定性。

## b. 光谱相图

通过对图3中的ramsey信号应用快速傅里叶变换，我们提取了图4所示的能谱。这个过程类似于超冷气体实验中使用的射频光谱。为了从短时间ramsey演化中准确定位峰值中心，我们在fft之前对时域信号应用了零填充。这种数字信号处理技术插值了谱密度网格，允许在图4中更平滑地可视化峰值，尽管它不能规避基本的傅里叶不确定性原理。因此，能量分辨率严格受限于最大模拟时间，产生了物理线宽为。因此，表观分叉和小于此阈值的能隙不代表物理上分辨的正交态，而是谱权重的插值估计。所得谱峰使我们能够识别随着相互作用被调节时从极化子区域到分子态的转变，明确注意其中分离窄于的区域必须被视为与ramsey演化有限时间窗口一致的未分辨交叉区。

**图4. 通过fft获得的谱密度，在bsc qred上执行。** 峰值位置对应于重正化极化子能量。

本文的核心结果是图5所示的光谱相图，通过扫描相互作用强度构建。热力图揭示了系统基态能量的连续演化：

**(i) 极化子区域。** 在低相互作用强度（图5左侧），系统能量仅轻微偏离非相互作用情形。在此，杂质被浴激发云所dressing，但保留了其准自由特性。

**(ii) 分子区域。** 随着增加，出现明显的分叉。上方明亮分支表现出线性能量依赖，这是束缚态的光谱特征。在此区域中，吸引力足够强以捕获一个浴费米子，形成复合玻色子分子（二聚体）。

**图5. 光谱相图。** 水平轴表示相互作用强度，垂直轴表示极化子能量，均以跳跃幅为单位。高耦合下的线性能量偏移（上方明亮分支）标志着向分子束缚态的转变。在bsc qred集群上执行。

图5中的颜色标度表示谱振幅，物理上代表在能量处找到单粒子激发的概率密度（形式上与推迟格林函数的虚部相关），并通过时域重叠函数的快速傅里叶变换获得。明亮区域表示稳定且明确定义的准粒子态。在处，谱振幅的峰值代表分子或二聚体的形成，表现为单个复合束缚态。

上方明亮分支（分子）和下方弥散分支（散射连续谱）之间的视觉分歧是分子结合能的直接结果，它相对于连续谱打开了一个能隙。这种行为定性重现了理论文献中描述的极化子到分子转变的物理，并在实验中被观察到。

## c. 稳定性与误差缓解

最后，我们展示了在bsc-cns硬件上方法的稳定性。图6显示了变分量子本征求解器（vqe）的收敛情况。经典优化器（spsa/cobyla）的作用能够缓解随机硬件噪声，引导系统趋向基态。

**图6. 作为trotter步数函数的平均vqe收敛（实线），阴影区域表示一个标准差的统计实验间变化，与精确对角化基态（红色虚线）比较。** 在bsc qred集群上执行。

为了在nisq器件上进一步重建物理极化子信号，我们应用了两种误差缓解策略：

**(i) 零噪声外推（zne）。** 通过幺正折叠实现。通过观察不同噪声水平下的信号退化，我们进行多项式外推到零噪声极限。需要注意的是，对离散测量次数应用连续代数变换（zne多项式拟合和rem矩阵求逆）自然产生高精度浮点期望值，在导出数据集中。这些扩展小数表示只是后处理流程的原始、未截断的数值输出。 \sigma_l^z\right) \frac{\sigma_j^x + i\sigma_j^y}{2} \tag{22}$$ 这种非局域映射保持了正则反对易关系。在jwt下，密度-密度相互作用项分解为pauli-串的和： $$\hat{n}_j \hat{n}_{j+1}=\frac{1}{4}\left(1 + \sigma_j^z\right)\left(1 + \sigma_{j+1}^z\right)=\frac{1}{4}\left(1 + \sigma_j^z + \sigma_{j+1}^z + \sigma_j^z \sigma_{j+1}^z\right) \tag{23}$$ 其中$\sigma^z_j=1 - 2\hat{n}_j$。这种对角形式允许通过简单地调整旋转角度和多量子比特门来调节bec-bcs交叉的相互作用强度。哈密顿量的动能项决定了格子上的跳跃动力学，通过jordan-wigner变换分解为宇称守恒相互作用。横向相互作用使用算符$\sigma^x$和$\sigma^y$实现，它们对应于交换项的幺正演化。 ## c. 时间演化与trotter化 由于离散化有效哈密顿量方程(18)中的动能分量$\hat{h}_t$和相互作用分量$\hat{h}_v$不对易，我们使用一阶trotter-suzuki分解来近似幺正演化： $$\hat{u}(\delta t)=e^{-i\hat{H}\Delta t} \approx \prod_{\alpha} e^{-i\hat{h}_\alpha \delta t n} \tag{24}$$ 其中$\hat{h}_\alpha$表示求和为总哈密顿量$\hat{h}$的各个方面独立的局域项，如位点特定跳跃或相互作用算符。从物理上看，少量的trotter步数对应于粒子跳跃然后以分离的、顺序的块进行相互作用的系统。为了恢复这些过程同时发生时的正确量子干涉，需要足够多的步数。 在我们的实现中，我们使用多目标rz门架构来分解相互作用项。这意味着一系列两个cnot门夹着一次rz旋转。这种构造确保相对相位仅在量子比特宇称不同时积累，准确地模拟了密度-密度排斥或吸引。 ## d. ramsey干涉协议 为了探测谱性质，我们使用如图1所示的辅助量子比特控制的ramsey干涉方案测量时间重叠函数： $$c(t)=\langle \psi(0)| \hat{u}^\dagger_{\text{bath}}(t) \hat{u}_{\text{full}}(t)|\psi(0)\rangle \tag{25}$$ 其中$\hat{h}_{\text{full}}$，定义为方程(18)，表示在杂质存在下系统的完整哈密顿量，包括动能和相互作用项，而$\hat{h}_{\text{bath}}$表示未受扰动浴的哈密顿量，通过设置杂质相互作用获得。 **图1. 量子线路架构。** 干涉协议的原理图（上）。一个辅助量子比特作为量子控制器。状态制备阶段包括杂质的初始化和有限尺寸浴的表示。量子线路的核心包括两个受控幺正操作：$\hat{u}_{\text{full}}$和$\hat{u}_{\text{bath}}^\dagger$，随后是最终的hadamard门和对辅助量子比特的投影测量以提取重叠函数。在完整哈密顿量下正向时间演化的详细trotter-suzuki分解，包含杂质-浴相互作用（中）以及在裸浴哈密顿量下反向时间演化（下）。注意在此块中，杂质量子比特保持解耦，传播相位的符号反转以实现自由演化的厄米共轭。量子比特间关联通过多目标门序列映射。这些多量子比特相互作用块依次对相邻量子比特对操作。 为最小化硬件执行时间，我们仅提取重叠函数的实部。虽然初态制备误差可能引入全局相位偏移导致线型不对称，但傅里叶理论保证中心频率峰值——我们用于能量重正化的主要可观测量——严格不变。 图1中的量子线路包括四个阶段：(i) 有限尺寸浴和辅助量子比特的初始化；(ii) 通过hadamard门创建辅助量子比特叠加态；(iii) 条件演化，其中系统在辅助量子比特为0时演化的哈密顿量下演化，在辅助量子比特为1时在演化的哈密顿量下演化；以及(iv) 最终的hadamard混合从测量概率中提取。 # v. 结果与讨论 在本节中，我们呈现量子模拟的结果，分析重极化子的动力学及其在相互作用转变中的光谱特性。数值结果与来自泛函行列式形式的理论预测进行了比较。 ## a. 基准测试与代码验证 为了验证数字量子模拟的可靠性，我们进行了双阶段验证。首先，我们使用经典环境中哈密顿量的精确对角化建立了一个最小系统的理论基准。这通过在全维hilbert空间中计算矩阵指数提供了精确理论曲线，其中涉及浴中的两个费米子、一个杂质和一个辅助量子比特。图2说明了理想条件下相互作用强度下的ramsey信号实部的时间演化。在此阶段，pennylane中的default.qubit模拟器以状态向量模式使用，绕过测量噪声以隔离算法性能。 **图2. 量子模拟与精确经典解（ed）的比较。** 蓝色点代表通过状态向量模拟器获得的数据，显示与理论曲线（红色虚线）几乎完美一致。 **表i. 相互作用强度下相互作用强度和辅助量子比特概率（理想 无噪声）的时间模拟结果。** | 时间（t） | 1.000 | 0.000 | 1.000 | |:---------:|:------:|:------:|:------:| | 0.00 | 1.000 | 0.000 | 1.000 | | 0.50 | 0.833 | 0.167 | 0.666 | | 1.00 | 0.523 | 0.477 | 0.046 | | 1.50 | 0.408 | 0.592 | ?0.184 | | 2.00 | 0.564 | 0.436 | 0.127 | | 2.50 | 0.716 | 0.284 | 0.432 | | 3.00 | 0.588 | 0.412 | 0.175 | | 3.50 | 0.248 | 0.752 | ?0.505 | | 4.00 | 0.036 | 0.964 | ?0.928 | 观察到的紧密一致性确认了trotter化协议有效地捕捉了离散化有效哈密顿量的不对易动力学。需要注意的是，虽然数字量子模拟由于trotter误差本质上具有近似性，但使用足够小的离散化步长确保结果与精确理论无法区分。 然后，我们在bsc-cns qred集群上执行模拟，该集群配备了35个超导横电耦合量子比特。在此运行中，我们通过将每个时间步的测量限制为有限次数的采样来引入量子投影噪声（见表ii）。 **表ii. 在bsc qred硬件上演示极化子-分子转变（每次测量有限次数的采样）。** | 时间（t） | 1.000 | 0.000 | 1.000 | |:---------:|:------:|:------:|:------:| | 0.00 | 1.000 | 0.000 | 1.000 | | 0.50 | 0.827 | 0.173 | 0.654 | | 1.00 | 0.497 | 0.503 | ?0.006 | | 1.50 | 0.417 | 0.583 | ?0.166 | | 2.00 | 0.558 | 0.442 | 0.116 | | 2.50 | 0.716 | 0.284 | 0.432 | | 3.00 | 0.354 | 0.646 | ?0.292 | | 3.50 | 0.252 | 0.748 | ?0.496 | | 4.00 | 0.039 | 0.961 | ?0.922 | 如图3所示，数据点不再完美地位于理论曲线上，而是根据预期的统计不确定性波动。这些偏差代表了量子测量坍缩的基本性质。尽管存在波动，定量回归分析得到的决定系数为，表明模拟与解析模型在统计上是一致的，并且能够分辨极化子的相干振荡。 **图3. 在bsc qred集群上执行的量子模拟（蓝色点）与精确理论预测（红色虚线）的比较。** 曲线周围的波动代表了内在的统计不确定性。 ## b. 光谱相图 通过对图3中的ramsey信号应用快速傅里叶变换，我们提取了图4所示的能谱。这个过程类似于超冷气体实验中使用的射频光谱。为了从短时间ramsey演化中准确定位峰值中心，我们在fft之前对时域信号应用了零填充。这种数字信号处理技术插值了谱密度网格，允许在图4中更平滑地可视化峰值，尽管它不能规避基本的傅里叶不确定性原理。因此，能量分辨率严格受限于最大模拟时间，产生了物理线宽为。因此，表观分叉和小于此阈值的能隙不代表物理上分辨的正交态，而是谱权重的插值估计。所得谱峰使我们能够识别随着相互作用被调节时从极化子区域到分子态的转变，明确注意其中分离窄于的区域必须被视为与ramsey演化有限时间窗口一致的未分辨交叉区。 **图4. 通过fft获得的谱密度，在bsc qred上执行。** 峰值位置对应于重正化极化子能量。 本文的核心结果是图5所示的光谱相图，通过扫描相互作用强度构建。热力图揭示了系统基态能量的连续演化： **(i) 极化子区域。** 在低相互作用强度（图5左侧），系统能量仅轻微偏离非相互作用情形。在此，杂质被浴激发云所dressing，但保留了其准自由特性。 **(ii) 分子区域。** 随着增加，出现明显的分叉。上方明亮分支表现出线性能量依赖，这是束缚态的光谱特征。在此区域中，吸引力足够强以捕获一个浴费米子，形成复合玻色子分子（二聚体）。 **图5. 光谱相图。** 水平轴表示相互作用强度，垂直轴表示极化子能量，均以跳跃幅为单位。高耦合下的线性能量偏移（上方明亮分支）标志着向分子束缚态的转变。在bsc qred集群上执行。 图5中的颜色标度表示谱振幅，物理上代表在能量处找到单粒子激发的概率密度（形式上与推迟格林函数的虚部相关），并通过时域重叠函数的快速傅里叶变换获得。明亮区域表示稳定且明确定义的准粒子态。在处，谱振幅的峰值代表分子或二聚体的形成，表现为单个复合束缚态。 上方明亮分支（分子）和下方弥散分支（散射连续谱）之间的视觉分歧是分子结合能的直接结果，它相对于连续谱打开了一个能隙。这种行为定性重现了理论文献中描述的极化子到分子转变的物理，并在实验中被观察到。 ## c. 稳定性与误差缓解 最后，我们展示了在bsc-cns硬件上方法的稳定性。图6显示了变分量子本征求解器（vqe）的收敛情况。经典优化器（spsa cobyla）的作用能够缓解随机硬件噪声，引导系统趋向基态。 **图6. 作为trotter步数函数的平均vqe收敛（实线），阴影区域表示一个标准差的统计实验间变化，与精确对角化基态（红色虚线）比较。** 在bsc qred集群上执行。 为了在nisq器件上进一步重建物理极化子信号，我们应用了两种误差缓解策略： **(i) 零噪声外推（zne）。**>
这种非局域映射保持了正则反对易关系。在jwt下，密度-密度相互作用项分解为pauli-串的和：

$$\hat{n}_j \hat{n}_{j+1} = \frac{1}{4}\left(1 + \sigma_j^z\right)\left(1 + \sigma_{j+1}^z\right) = \frac{1}{4}\left(1 + \sigma_j^z + \sigma_{j+1}^z + \sigma_j^z \sigma_{j+1}^z\right) \tag{23}$$

其中$\sigma^z_j = 1 - 2\hat{n}_j$。这种对角形式允许通过简单地调整旋转角度和多量子比特门来调节bec-bcs交叉的相互作用强度。哈密顿量的动能项决定了格子上的跳跃动力学，通过jordan-wigner变换分解为宇称守恒相互作用。横向相互作用使用算符$\sigma^x$和$\sigma^y$实现，它们对应于交换项的幺正演化。

## c. 时间演化与trotter化

由于离散化有效哈密顿量方程(18)中的动能分量$\hat{h}_t$和相互作用分量$\hat{h}_v$不对易，我们使用一阶trotter-suzuki分解来近似幺正演化：

$$\hat{u}(\delta t) = e^{-i\hat{h}\delta t} \approx \prod_{\alpha} e^{-i\hat{h}_\alpha \delta t / n} \tag{24}$$

其中$\hat{h}_\alpha$表示求和为总哈密顿量$\hat{h}$的各个方面独立的局域项，如位点特定跳跃或相互作用算符。从物理上看，少量的trotter步数对应于粒子跳跃然后以分离的、顺序的块进行相互作用的系统。为了恢复这些过程同时发生时的正确量子干涉，需要足够多的步数。

在我们的实现中，我们使用多目标rz门架构来分解相互作用项。这意味着一系列两个cnot门夹着一次rz旋转。这种构造确保相对相位仅在量子比特宇称不同时积累，准确地模拟了密度-密度排斥或吸引。

## d. ramsey干涉协议

为了探测谱性质，我们使用如图1所示的辅助量子比特控制的ramsey干涉方案测量时间重叠函数：

$$c(t) = \langle \psi(0)| \hat{u}^\dagger_{\text{bath}}(t) \hat{u}_{\text{full}}(t)|\psi(0)\rangle \tag{25}$$

其中$\hat{h}_{\text{full}}$，定义为方程(18)，表示在杂质存在下系统的完整哈密顿量，包括动能和相互作用项，而$\hat{h}_{\text{bath}}$表示未受扰动浴的哈密顿量，通过设置杂质相互作用获得。

**图1. 量子线路架构。** 干涉协议的原理图（上）。一个辅助量子比特作为量子控制器。状态制备阶段包括杂质的初始化和有限尺寸浴的表示。量子线路的核心包括两个受控幺正操作：$\hat{u}_{\text{full}}$和$\hat{u}_{\text{bath}}^\dagger$，随后是最终的hadamard门和对辅助量子比特的投影测量以提取重叠函数。在完整哈密顿量下正向时间演化的详细trotter-suzuki分解，包含杂质-浴相互作用（中）以及在裸浴哈密顿量下反向时间演化（下）。注意在此块中，杂质量子比特保持解耦，传播相位的符号反转以实现自由演化的厄米共轭。量子比特间关联通过多目标门序列映射。这些多量子比特相互作用块依次对相邻量子比特对操作。

为最小化硬件执行时间，我们仅提取重叠函数的实部。虽然初态制备误差可能引入全局相位偏移导致线型不对称，但傅里叶理论保证中心频率峰值——我们用于能量重正化的主要可观测量——严格不变。

图1中的量子线路包括四个阶段：(i) 有限尺寸浴和辅助量子比特的初始化；(ii) 通过hadamard门创建辅助量子比特叠加态；(iii) 条件演化，其中系统在辅助量子比特为0时演化的哈密顿量下演化，在辅助量子比特为1时在演化的哈密顿量下演化；以及(iv) 最终的hadamard混合从测量概率中提取。

# v. 结果与讨论

在本节中，我们呈现量子模拟的结果，分析重极化子的动力学及其在相互作用转变中的光谱特性。数值结果与来自泛函行列式形式的理论预测进行了比较。

## a. 基准测试与代码验证

为了验证数字量子模拟的可靠性，我们进行了双阶段验证。首先，我们使用经典环境中哈密顿量的精确对角化建立了一个最小系统的理论基准。这通过在全维hilbert空间中计算矩阵指数提供了精确理论曲线，其中涉及浴中的两个费米子、一个杂质和一个辅助量子比特。图2说明了理想条件下相互作用强度下的ramsey信号实部的时间演化。在此阶段，pennylane中的default.qubit模拟器以状态向量模式使用，绕过测量噪声以隔离算法性能。

**图2. 量子模拟与精确经典解（ed）的比较。** 蓝色点代表通过状态向量模拟器获得的数据，显示与理论曲线（红色虚线）几乎完美一致。

**表i. 相互作用强度下相互作用强度和辅助量子比特概率（理想/无噪声）的时间模拟结果。**

| 时间（t） | 1.000 | 0.000 | 1.000 |
|:---------:|:------:|:------:|:------:|
| 0.00 | 1.000 | 0.000 | 1.000 |
| 0.50 | 0.833 | 0.167 | 0.666 |
| 1.00 | 0.523 | 0.477 | 0.046 |
| 1.50 | 0.408 | 0.592 | ?0.184 |
| 2.00 | 0.564 | 0.436 | 0.127 |
| 2.50 | 0.716 | 0.284 | 0.432 |
| 3.00 | 0.588 | 0.412 | 0.175 |
| 3.50 | 0.248 | 0.752 | ?0.505 |
| 4.00 | 0.036 | 0.964 | ?0.928 |

观察到的紧密一致性确认了trotter化协议有效地捕捉了离散化有效哈密顿量的不对易动力学。需要注意的是，虽然数字量子模拟由于trotter误差本质上具有近似性，但使用足够小的离散化步长确保结果与精确理论无法区分。

然后，我们在bsc-cns qred集群上执行模拟，该集群配备了35个超导横电耦合量子比特。在此运行中，我们通过将每个时间步的测量限制为有限次数的采样来引入量子投影噪声（见表ii）。

**表ii. 在bsc qred硬件上演示极化子-分子转变（每次测量有限次数的采样）。**

| 时间（t） | 1.000 | 0.000 | 1.000 |
|:---------:|:------:|:------:|:------:|
| 0.00 | 1.000 | 0.000 | 1.000 |
| 0.50 | 0.827 | 0.173 | 0.654 |
| 1.00 | 0.497 | 0.503 | ?0.006 |
| 1.50 | 0.417 | 0.583 | ?0.166 |
| 2.00 | 0.558 | 0.442 | 0.116 |
| 2.50 | 0.716 | 0.284 | 0.432 |
| 3.00 | 0.354 | 0.646 | ?0.292 |
| 3.50 | 0.252 | 0.748 | ?0.496 |
| 4.00 | 0.039 | 0.961 | ?0.922 |

如图3所示，数据点不再完美地位于理论曲线上，而是根据预期的统计不确定性波动。这些偏差代表了量子测量坍缩的基本性质。尽管存在波动，定量回归分析得到的决定系数为，表明模拟与解析模型在统计上是一致的，并且能够分辨极化子的相干振荡。

**图3. 在bsc qred集群上执行的量子模拟（蓝色点）与精确理论预测（红色虚线）的比较。** 曲线周围的波动代表了内在的统计不确定性。

## b. 光谱相图

通过对图3中的ramsey信号应用快速傅里叶变换，我们提取了图4所示的能谱。这个过程类似于超冷气体实验中使用的射频光谱。为了从短时间ramsey演化中准确定位峰值中心，我们在fft之前对时域信号应用了零填充。这种数字信号处理技术插值了谱密度网格，允许在图4中更平滑地可视化峰值，尽管它不能规避基本的傅里叶不确定性原理。因此，能量分辨率严格受限于最大模拟时间，产生了物理线宽为。因此，表观分叉和小于此阈值的能隙不代表物理上分辨的正交态，而是谱权重的插值估计。所得谱峰使我们能够识别随着相互作用被调节时从极化子区域到分子态的转变，明确注意其中分离窄于的区域必须被视为与ramsey演化有限时间窗口一致的未分辨交叉区。

**图4. 通过fft获得的谱密度，在bsc qred上执行。** 峰值位置对应于重正化极化子能量。

本文的核心结果是图5所示的光谱相图，通过扫描相互作用强度构建。热力图揭示了系统基态能量的连续演化：

**(i) 极化子区域。** 在低相互作用强度（图5左侧），系统能量仅轻微偏离非相互作用情形。在此，杂质被浴激发云所dressing，但保留了其准自由特性。

**(ii) 分子区域。** 随着增加，出现明显的分叉。上方明亮分支表现出线性能量依赖，这是束缚态的光谱特征。在此区域中，吸引力足够强以捕获一个浴费米子，形成复合玻色子分子（二聚体）。

**图5. 光谱相图。** 水平轴表示相互作用强度，垂直轴表示极化子能量，均以跳跃幅为单位。高耦合下的线性能量偏移（上方明亮分支）标志着向分子束缚态的转变。在bsc qred集群上执行。

图5中的颜色标度表示谱振幅，物理上代表在能量处找到单粒子激发的概率密度（形式上与推迟格林函数的虚部相关），并通过时域重叠函数的快速傅里叶变换获得。明亮区域表示稳定且明确定义的准粒子态。在处，谱振幅的峰值代表分子或二聚体的形成，表现为单个复合束缚态。

上方明亮分支（分子）和下方弥散分支（散射连续谱）之间的视觉分歧是分子结合能的直接结果，它相对于连续谱打开了一个能隙。这种行为定性重现了理论文献中描述的极化子到分子转变的物理，并在实验中被观察到。

## c. 稳定性与误差缓解

最后，我们展示了在bsc-cns硬件上方法的稳定性。图6显示了变分量子本征求解器（vqe）的收敛情况。经典优化器（spsa/cobyla）的作用能够缓解随机硬件噪声，引导系统趋向基态。

**图6. 作为trotter步数函数的平均vqe收敛（实线），阴影区域表示一个标准差的统计实验间变化，与精确对角化基态（红色虚线）比较。** 在bsc qred集群上执行。

为了在nisq器件上进一步重建物理极化子信号，我们应用了两种误差缓解策略：

**(i) 零噪声外推（zne）。** 通过幺正折叠实现。通过观察不同噪声水平下的信号退化，我们进行多项式外推到零噪声极限。需要注意的是，对离散测量次数应用连续代数变换（zne多项式拟合和rem矩阵求逆）自然产生高精度浮点期望值，在导出数据集中。这些扩展小数表示只是后处理流程的原始、未截断的数值输出。>

鉴于零噪声外推法（ZNE）存在固有的统计拟合不确定性，并且在硬件退相干条件下具有根本性局限，这些浮点数值并不意味着具有物理意义的精度，而仅仅反映了误差缓解算法的直接计算结果。

（ii）误差缓解与信号保真度。为了估计硬件噪声存在时的光谱信号准确性，我们实施了一种多层缓解方案。读取错误通过在校准阶段构建设备特定的混淆矩阵加以处理，随后将逆矩阵应用于测量的比特串分布。此外，混合变分方法的固有鲁棒性，结合多门架构以减少电路深度，有效缓解了随机门噪声。该技术方案确保观测到的谱密度分叉是极化子到分子转变的真实物理表现，而非NISQ环境中的数值伪影。虽然ZNE是通过代数变换（多项式拟合）提取高精度浮点数值的标准工具，但其数学基础假设噪声为弱微扰。为了量化我们的方案效率，REM混淆矩阵的应用平均提高了原始比特串分配保真度。此外，ZNE协议成功恢复了最深层电路中被相干退相干所掩盖的大部分光谱振幅。尽管ZNE有效改善了算法读取并恢复了光谱振幅，但我们注意到当执行时间超过相干窗口时会出现根本性的物理局限。超过该阈值后，经过缓解的信号会因去极化而退化。

D. 硬件表征与可重复性

为确保本演示的可重复性，我们报告了执行时BSC-CNS QRed量子处理器的运行参数。该系统由35个超导transmon量子比特组成。表III总结了Ramsey协议中使用的量子比特的相干时间、共振频率和错误率。

表III. BSC-CNS QRed处理器的运行特性（2026年5月）。和表示弛豫时间和退相位时间。2Q保真度表示平均两量子比特纠缠门（CX）保真度，通过交错随机基准测试测量。值反映了满足Jordan-Wigner硬件需求的优化门时长。

量子比特 相干时间(μs) 相干时间(μs) 2Q保真度(%) 门时长(μs)
0 145.20 135.50 99.45 0.095
1 138.45 122.10 99.10 0.090
2 152.10 148.60 99.40 0.090
3 128.90 115.30 99.28 0.089
4 115.60 102.40 99.40 0.091
5 132.30 128.70 99.09 0.088
6 141.00 130.20 99.34 0.090
7 125.40 112.50 99.38 0.090
8 138.70 125.10 99.26 0.090
9 119.80 105.90 99.30 0.089
均值 133.75 122.63 99.30 0.0902

报告的门保真度和相干时间是通过BSC-CNS设施执行的标准色散读取和随机基准测试协议获得的。这些参数用于校准读取误差缓解矩阵并设定ZNE的尺度。这些指标在1000次采集窗口期间的稳定性确保观测到的谱分叉是有效哈密顿量的物理属性，而非漂移引起的伪影。

VI. 极化子与BEC-BCS转变之间的关系

BEC-BCS转变受群体不平衡和无量纲耦合参数控制。在我们的晶格模拟中，此连续参数映射到有效局域相互作用强度。具体而言，将相互作用从弱扫掠到强对应于从负值（BCS）变化到正值（BEC）。

在BCS区域（弱吸引、小耦合），费米子形成大的、重叠的Cooper对。当吸引增强趋向BEC极限（大耦合）时，这些对收缩为紧密结合的玻色分子并发生凝聚。

极化子出现在极端不平衡极限下，此时单个杂质与多数费米海相互作用。我们的数字量子模拟捕捉了这些相之间的平滑交叉。在极化子区域，杂质被周围浴的粒子-空穴激发所包裹，形成具有重整化质量和能量的准粒子。当相互作用强度超过浴的自相互作用时，发生相变（或在有限系统中为平滑交叉），导致分子二聚体形成。

VII. 超越平均场的关联效应

标准平均场理论往往难以捕捉BEC-BCS交叉的强关联本质，特别是在散射长度发散的幺正极限附近。我们的计算方法通过将完整的多体波函数直接映射到量子处理器的希尔伯特空间，克服了这些局限，从而明确考虑了超越平均场近似的关联效应。

虽然杂质通常会导致费米海完全重排，在热力学极限下使态重叠消失，但我们的模拟探测了有限尺寸效应和超流间隙如何改变这一行为。该间隙充当保护屏障，抑制低能粒子-空穴激发，从而稳定极化子相干性。

此外，量子电路自然纳入了Chevy型变分 Ansatz中通常被忽略的高阶关联。通过在完整Hubbard离散化哈密顿量下演化系统，我们纳入了准确确定极化子寿命和光谱权重向分子支转移所必需的多粒子散射过程。

VIII. 可扩展性分析与多体收敛

任何数字量子模拟的一个基本基准是其性能随系统尺寸向热力学极限扩展时的表现。虽然量子比特的初始结果（图5所示）建立了极化子到分子转变的基本机制，但将寄存器扩展到量子比特使我们能够探测Cooper对的浴。

需要指出的是，量子比特系统尚未达到宏观热力学极限。由于近期硬件上Jordan-Wigner映射的拓扑约束，模拟构型达到了填充因子，其中代表可用的空间晶格位点。此带绝缘条件抑制了理想费米极化子的特征——连续宏观跳跃。然而，这种最大密度场景自然地作为有限尺寸NISQ基准。我们的量子计算演示成功隔离了单个杂质与离散浴的强相互作用的局域相互作用。因此，虽然宏观理论（如Bogoliubov变换）作为我们的理论框架，但我们的有限团簇结果应被解释为捕捉交叉的有限尺寸前兆，并评估硬件在绝对拓扑极限下的韧性。

为了评估可扩展性，我们必须量化算法资源开销。Jordan-Wigner哈密顿量的变换电路每个Trotter步需要恰好118个cnot门。最优的15步演化因此需要1770个cnots。以平均门时长计算，总执行时间为。此时间超过了处理器的标称相干包络，导致指数退相干，抑制因子为。因此，图7中的动力学跨越两个不同区域。无量纲模拟时间（以为单位）与电路深度线性标度。达到相当于，超过相干时间约或。直到该边界，ZNE协议成功保持量子干涉，准确捕捉有限尺寸物理。

图7. 希尔伯特空间的经典精确对角化（ED）基线（红色虚线），以及在BSC QRed处理器上执行硬件运行以增大系统尺寸：（蓝色圆圈）、（橙色方块）和（绿色三角形），垂直条表示相关的统计不确定性（定义为理论量子投影噪声，，其中）。随着电路深度从扩展到，硬件数据与ED参考值之间逐渐增大的偏差展示了15步Trotter演化中累积退相干和去极化门错误的影响。

图8展示了从到量子比特光谱函数的演化。虽然图5中的量子比特光谱函数由孤立峰组成，但量子比特模拟展示了特征的展宽和合并。

图8. 多体光谱演化：和10量子比特的光谱响应热图。（对应Cooper对，对应对，对应对）。水平轴表示无量纲相互作用强度，垂直轴表示极化子能量。从离散分子能级到准连续光谱权重的转变验证了我们数字方法的物理一致性和可扩展性。在BSC QRed上执行。

电路深度的线性标度确保我们的协议对近期NISQ设备仍然可行。为了在更大系统中保持高保真度，未来实现可以利用二阶Trotter-Suzuki公式或变分时间演化原理进一步缓解硬件退相干并解决极化子到分子交叉的更精细细节。

IX. 结论

在本工作中，我们建立了一个稳健的量子计算演示框架，用于强关联费米子系统，重点关注费米极化子和BEC-BCS交叉的统一物理。通过开发有效哈密顿量方法，我们成功地将准粒子主导的极化子区域到分子二聚体相的连续转变映射到基于门的量子电路上。该形式体系表明BEC-BCS交叉和极化子动力学是同一微观接触相互作用模型的涌现表现，受群体不平衡和无量纲耦合控制。

一阶Trotter-Suzuki分解的实现允许精确控制量子电路深度，我们的分析确定最少需要15个Trotter步以有效弥合离散数字操作与物理演化之间的差距。利用设计的Ramsey干涉协议，我们生成了高保真度相干信号，其后续傅里叶分析揭示了分子束缚态形成的清晰特征：强耦合极限下的线性能量重整化。该结果定性重现了标志性超冷气体实验的观察，并展示了我们数字模型在硬件环境中的预测能力。

本研究的关键里程碑是在BSC-CNS量子硬件上演示和扩展该协议的性能。成功执行证明了混合经典-量子模拟的可行性，其中变分量子本征求解器展现出对随机噪声的卓越韧性。通过在最大密度填充因子处测试硬件极限，我们建立了有限尺寸NISQ基准，在处理器最终退相干极限之前成功捕捉了极化子到分子转变的局域有限尺寸前兆。

尽管当前硬件约束，特别是退相干和门保真度，限制了可实现的光谱分辨率，但本工作描绘了清晰的未来路径。光谱特征随系统尺寸增加而保持稳定，确认了我们框架在解决极化子到分子交叉方面的一致性。展望未来，将误差缓解（如ZNE）与高阶Trotter化和变分量子时间演化相结合，对于绕过当前退相干极限至关重要。这些进展将使近期量子处理器能够探索更加复杂的区域，如幺正BEC-BCS交叉。

展望未来，我们旨在利用这些高分辨率光谱分布作为先进神经网络架构的经验训练数据集，促进对复杂多体现象的自动识别，包括宇称保护的拓扑交叉和量子相变。