由逆自旋霍尔效应引起的约瑟夫森相移与二极管效应

《Physical Review B》：Josephson phase shift and diode effect due to the inverse spin Hall effect

　　

我们在理论上研究了由空间反演不变的自旋-轨道相互作用在超导体-正常金属-超导体（SNS）结中诱导的自旋霍尔效应及其逆效应。我们表明，超导超流可诱导自旋霍尔效应，导致在两侧边缘处产生具有相反极化的静态自旋积累，类似于在正常导体中的情形。对于逆效应，我们考虑空间非均匀的静态磁场，并表明该磁场会诱导一个反常相位偏移，而在存在高次谐波的情况下，这将产生二极管效应。与先前研究的拉什巴（Rashba）系统不同，本机制不要求破坏结构反演对称性，因为非均匀磁场（等效于自旋电流）会外在地打破反演对称性。

**引言**

数十年来，超导体中的自旋电子效应引起了极大的研究兴趣，其动力来自于将无耗散超导超流与基于自旋器件的非易失性相结合的前景。在20世纪70年代末开创性实验的推动下[1]，超导自旋电子学在过去十年中经历了快速发展。关键进展包括：在铁磁体-超导体异质结构中实现长程自旋三重态超导超流[2–7]、超导自旋输运的电控与磁控[8–10]，以及集成具有强自旋-轨道耦合的材料（如拓扑绝缘体和拉什巴界面）来操纵自旋织构[11–13]。这些进展开辟了对无耗散存储和逻辑元件的实现途径，并深化了超导性与拓扑之间的相互作用[14,15]。

近期特别引人关注的是具有破缺对称性的系统[16–22]。在缺乏反演对称性的超导体中，在施加磁场或磁化强度时，非互易的超导超流输运成为可能。这表现为方向依赖的临界电流，即超导二极管效应，最早在非反演对称的超晶格中被观测到[23]。此后，超导二极管效应已在由超导体与具有拉什巴自旋-轨道耦合的正常金属或半导体耦合构成的约瑟夫森结中得到证实[24–26]。拉什巴自旋-轨道耦合源于自旋-轨道相互作用与反演对称性破缺的相互作用，通过拉什巴-埃德尔斯坦（Rashba-Edelstein）效应，在外加电流下产生均匀的自旋极化，该效应对耗散电流和超导超流均成立[27,28]。

在超导体-正常金属-超导体（SNS）约瑟夫森结中，文献[29]预测超导超流会诱导均匀的自旋极化，反之，磁场会产生超导超流——这一效应被称为逆拉什巴-埃德尔斯坦效应。该逆效应被证明会在超导体之间产生反常相位偏移。然而，仅凭这种相位偏移并不会产生二极管效应，因为它并未破坏相位的对称性，因此对于两种电流极性产生了相同的势垒高度。最近的研究表明，当考虑高次谐波——由多次界面散射产生——时，这种反常相位偏移可以导致约瑟夫森二极管效应[26]。

在本文中，我们在理论上研究由空间反演不变的自旋-轨道相互作用在SNS结（图1）中诱导的自旋霍尔效应（SHE）及其逆效应（ISHE）。我们表明，超导超流会诱导自旋霍尔效应，导致在两侧边缘产生具有相反极化的静态自旋积累，类似于正常导体中的行为。我们还通过考虑空间非均匀的静态磁场来研究逆效应。这种磁场作用于电子自旋，产生稳态自旋电流[30]，进而耦合到超导通道，诱导反常相位偏移。我们表明，在考虑高次谐波的情况下，反常相位偏移会产生二极管效应。与逆拉什巴-埃德尔斯坦效应导致的二极管效应不同，由ISHE诱导的二极管效应不要求系统缺乏反演对称性，因为自旋电流外在地打破了反演对称性。在我们的体系中，空间非均匀的磁场对于二极管效应至关重要，因为它诱导稳态自旋电流，从而打破反演对称性。相比之下，在具有结构反演破缺的拉什巴情形中，均匀的施加磁场就足以产生二极管效应。

**图1.** 示意图展示了SNS中(a)直接和(b)逆自旋霍尔效应。在直接自旋霍尔效应中，由相位差诱导的超导超流产生具有空间非均匀性的平衡自旋极化作为响应。逆效应由具有空间梯度的静态磁场诱导，产生超导超流和反常相位偏移。

本文的组织如下。我们首先在第II节中总结正常金属中的直接和逆自旋霍尔效应，以自旋密度和电流术语进行论证。第III节给出SNS结的模型和采用较小格林函数的计算方案，第IV节接着推导我们方案中的约瑟夫森电流。第V节开始研究超导超流诱导的自旋霍尔效应，我们计算由平衡态相位差引起的约瑟夫森电流所诱导的自旋密度，包括线性阶次内每个SN界面的自能。第VI节计算由施加磁场梯度诱导的逆自旋霍尔效应。第VII节研究逆自旋霍尔电流的高次谐波，第VIII节研究约瑟夫森二极管效应，即在相反电流偏置下超导临界电流的差异。第IX节讨论自旋霍尔效应和逆自旋霍尔效应。第X节简要讨论先前报道的拉什巴自旋-轨道相互作用情形[29]。第XI节给出总结。

**第II节 正常金属中自旋霍尔效应的前提**

传统上，正常金属中的自旋霍尔效应以由施加电场产生的自旋电流来描述[31]。由于自旋电流无法直接测量，它通过经典的自旋扩散方程转化为实验上可测量的自旋积累。这种传统理论存在一个根本性的模糊性，源于固体中自旋电流的非守恒性质。

**A. 以自旋密度表述的互易关系**

一种避免这种根本性困难的方法可以基于自旋密度与电流之间的直接响应函数来构建[32]。在正常金属的情况下，由施加的电磁场诱导的自旋密度可以表示为矢量势的函数：

(1)

其中响应函数是自旋与电流的关联函数，表示空间方向。从对称性来看，在具有反演对称性的系统中不包含均匀分量，并按照外部波矢和频率展开为[32]：

(2)

利用麦克斯韦方程，在弹道情形下可读作：

(3)

一个动态项表明，自旋密度产生于电流的涡旋，即其中电流为为玻尔兹曼电导率。自旋霍尔效应即对应于该术语。事实上，涡旋出现在系统边缘处，即电流密度减小的地方，这与由自旋霍尔效应产生的自旋积累一致[32]。尽管该效应在静态电场下诱导静态自旋积累，但它是一种动态效应，因为电场诱发了非平衡态响应。由于昂萨格互易关系，由施加磁场耦合到电子自旋诱导的逆自旋霍尔效应可以用相同的响应函数表示为：

(4)

其中为旋磁比。因此，由自旋磁场诱导的电流可读作：

(5)

由项表示的逆自旋霍尔效应是一种动态效应，而静态项描述的是安培定律。逆自旋霍尔效应作为动态起源的结果，是正常电流响应于物理场而非矢量势这一事实的自然推论[29]。

**B. 扩散情形与自旋霍尔角**

考虑电子扩散后，弹道行为在自旋扩散长度尺度上变为非局域的，自旋霍尔效应被修正为[32]：

(6)

其中为自旋扩散传播子，为扩散常数，（与通过关联）为自旋弛豫时间（分别为电子质量和费米波矢）。在一维中沿垂直于结的方向求解扩散传播子，我们有，其中为电子平均自由程。将电流密度处理为在系统边缘突然消失，其中为系统宽度），公式(6)导致：

(7)

因此边缘处的最大自旋密度为。以传统的无量纲自旋霍尔角来表述，定义为其中为自旋霍尔电导，边缘处的自旋积累密度为分别为电子密度和费米能处的态密度。从两种方法在极限下的一致性，我们确定自旋霍尔角为：

(8)

由随机自旋-轨道相互作用诱导的系数在文献[32]中计算为（注意文献[32]中系数的定义与此处不同）：

(9)

其中为与自旋-轨道相互作用相关的能量。自旋霍尔角：

(10)

因此是自旋-轨道能量与费米能量的比值。

**第III节 SNS结的模型**

我们考虑一个由具有自旋-轨道相互作用的正常金属N构成的SNS结，其场哈密顿量为：

(11)

其中正常金属N的哈密顿量由场算符表示为：

(12)

其中为自旋-轨道相互作用的哈密顿量。通过保持自旋守恒的随机杂质散射由项包含，定义为：

(13)

其中为杂质势的强度，为杂质的位置，为杂质的标记。杂质散射导致有限的弹性寿命和扩散性的电子运动。

超导体L和R由以下公式描述：

(14)

其中和为超导体中的电子的场算符，其波矢为自旋为。序参量的幅度为，其相位为。界面跃迁由以下公式表示：

(15)

其中为跃迁振幅，假设为实数且与自旋无关。跃迁被视为在界面处发生。尽管关于SNS结有大量的理论工作[33]，我们的模型是最小的且足以捕捉超导超流驱动自旋电子学的本质。

**A. 正常金属N中的格林函数**

我们采用路径排序（凯尔迪希）格林函数方法，因为物理可观测量以比热力学格林函数（如文献[34]中所述）更透明的方式呈现，尽管两种方法对于平衡性质给出相同的结果。正常金属N中的物理量通过利用N中较小的格林函数来计算。两个超导体L和R的效应以微扰方式作为自能包含进来，假设弱结[34]。由超导体的正常格林函数产生的、由电子-空穴传播描述的耗散通道是不相关的，因此被忽略。超导超流通道由自能的超导分量诱导，其前进分量为其中：

(16)

是反常格林函数的前进分量。此处，波矢求和独立于N进行，将界面视为点状。共轭自能为：

(17)

其中：

(18)

格林函数贡献表示界面跃迁中的二阶约瑟夫森耦合（省略自旋指标）（图2）：

(19)

其中表示包含自旋-轨道相互作用的格林函数，且不含超导体，表示较小分量，表示界面处的位置。在平衡态和等时刻评估较小分量，我们得到：

(20)

其中为费米-狄拉克分布函数，为逆温度。注意，由于反常粒子-粒子传播导致的反常时间排序，其中一个格林函数具有相反符号的频率，且推迟和前进互换。因此，反常传播导致推迟格林函数与前进格林函数乘积的贡献，这保证了长程超导超流。

**图2.** 示意图展示了N中较小的格林函数（在等空间位置处的傅里叶变换），以来自L和R的自能为一阶展开。

**B. 由于超导体产生的自能**

反常自能用相位和表示为：

(21)

其中：

(22)

其中为L和R共同的项。

利用态密度为常数的近似，并在小……条件下，我们得到……(23)

IV. 扩散情形下的约瑟夫森电流

在探索自旋霍尔效应之前，我们首先用当前的形式体系再现约瑟夫森电流。其推导本质上与文献[34]中的方法等价，只是后者基于热格林函数形式体系。

在扩散情形下，约瑟夫森电流由长程粒子-粒子传播（称为库珀子）支持。自能到二阶的电流为（图3）……(24)

其中……是杂质势的浓度，……是两个界面之间的距离。电子对传播由振幅……(25)和……(26)表示，其中库珀子传播子具有波矢……，……是弹性寿命。裸响应函数为……(27)，其中……是速度算符。对……展开，我们得到……(28)

在扩散情形下，……，因此……。我们在三维中执行对……的求和。包含由……产生的因子……的库珀子传播子计算为……(29)

振幅……为……(30)

其中符号对应于……和……。我们关注低频区域，……，并将……近似为常数……。对频率积分得到……(31)

其中……(32)是热扩散长度，……(33)

因此，包含自能到二阶的扩散约瑟夫森电流为……(34)

其中二阶临界电流为……(35)

图3. 表示无序情形下约瑟夫森电流的图示。一对双线表示粒子-粒子传播（库珀子）。……表示具有外部波矢……的电流顶点，代表电流的空间变化。波矢……是传播电子对的总波矢，即库珀子波矢。左图：超导体的二阶自能贡献。右图：四阶贡献。

A. 空间分辨的约瑟夫森电流

为了研究自旋霍尔效应，有必要通过计算……依赖性来考察约瑟夫森电流的空间依赖性，其中……表示约瑟夫森电流傅里叶变换中的波矢。在电流顶点处包含有限波矢……，图3中扩散区域的电流为……(36)

定义一个确定电流空间依赖性的函数为……(37)

我们有……(38)

B. 四阶约瑟夫森电流

包含自能到四阶的约瑟夫森电流对于研究二极管效应是必要的。用格林函数……表示，四阶超电流由包含两个粒子-粒子传播子的图示表示，如图4所示。包含粒子-空穴传播的图示贡献于正常电流，不予考虑。在扩散情形下，它包含四个库珀子，分别修饰代表向超导体跳跃的四个顶点，如图3所示。插入更多库珀子也是可能的，但由于相空间狭窄，其贡献较小。因此，主导的四阶约瑟夫森电流为……(39)

其中……(40)

库珀子贡献为……(41)

三维求和为……(42)

我们有……(43)

其中……(44)

因此，四阶约瑟夫森电流为……(45)

扩散区域自能到四阶的约瑟夫森电流为……(46)

其中……(47)

两者的比值，对约瑟夫森二极管效应的量级至关重要，为……，由参数……控制。

图4. 表示四阶超电流的图示，该电流由同方向流动的两个粒子-粒子传播子承载。其他包含粒子-空穴传播的图示不贡献于超电流通道。

V. 超电流诱导的自旋霍尔效应

我们在此探索SNS结中超电流的这些响应。正常金属(N)具有由随机杂质引起的自旋-轨道相互作用，用场哈密顿量表示……(48)

其中……是常数。这种相互作用对于固定的杂质构型破坏了平移和空间反演不变性，因为……在空间反演下不变。为了获得具有物理意义的动量守恒结果，需要对随机杂质位置进行平均[35]。平均之后，反演和平移不变性得以恢复。因此，我们的模型不破坏反演对称性，不同于喇沙自旋-轨道情况。我们将表明，即使在这种情况下，没有结构破坏的反演对称性，约瑟夫森二极管效应也会出现，因为施加磁场梯度（平衡自旋流）会破坏对称性。

由两个超导体诱导的超电流由自旋单态电子-电子对传播承载，因此，自旋霍尔效应由连接左右超导体的非局域图示表示，而非正常金属情形中的局域矢量势。

使用梯度展开来研究由自旋霍尔效应诱导的非均匀自旋密度。我们考虑自旋密度的傅里叶变换……，其中……是波矢，并将结果展开到……的线性阶。

A. 弹道情形

在忽略电子扩散的弹道情形下，超电流在N中诱导的自旋积累为……(49)

其中……是自旋霍尔响应函数，其图示表示如图5所示，……(50)

其中……是泡利矩阵。与正常金属中的反常霍尔和自旋霍尔效应类似[32,36]，杂质势的三阶占主导地位，而二阶贡献消失，因为是纯虚的（图6）。自旋顶点和自旋-轨道相互作用作用在气泡不同侧的贡献也消失，图6。倒置的图示，即交换推迟和超前，是……贡献，产生具有空穴性质的项，……。对外部波矢……展开到线性阶，我们得到……(51)

在小的……和……情形下对波矢求和，得到……(52)

关于……的奇响应函数意味着诱导的自旋与……成正比，也与约瑟夫森电流成正比。因子……表明自旋积累与在边缘诱导的约瑟夫森电流的涡度成正比。在当前的形式体系中，波矢……由SN界面提供，而自旋密度分布的……由随机杂质提供。

图5. 在弹道情形下由杂质（虚线）引起的随机自旋-轨道相互作用（用……表示）诱导的自旋霍尔效应（SHE）对自旋积累贡献相等的图示。自旋顶点用……表示，黑圈表示左右超导体的自能……和……。外部波矢为……，……是库珀子波矢。

图6. 不贡献于超电流诱导的自旋霍尔效应的图示。

B. 扩散情形

在包含随机杂质的模型中，长波长处的主要贡献来自涉及电子对传播和连续杂质散射的图示，即库珀子。包含库珀子的贡献如图7所示。在自旋顶点和自旋-轨道相互作用之间插入一个库珀子的贡献消失（图8）。两个库珀子的库珀子波矢为……和……，从图示中读出。因此响应函数……修正为（使用……）……(53)

图7. 扩散情形下由杂质引起的随机自旋-轨道相互作用（用……表示）诱导的自旋霍尔效应对自旋积累诱导的图示。自旋顶点用……表示，黑圈表示由超导体引起的自能。单虚线表示杂质散射，双线表示杂质散射梯，即库珀子，描述自旋单态电子对的扩散。

图8. 具有三个库珀子分隔自旋和自旋-轨道顶点的图示消失。

由自旋霍尔效应诱导的自旋密度为……(54)

定义……(55)

并注意该函数关于……轴的反演为奇函数，自旋密度为……(56)

利用约瑟夫森电流的结果，(38)，我们得到……(57)

其中……(58)

是超电流的自旋霍尔系数，……是自旋-轨道相互作用的能量。因此，超电流诱导的自旋霍尔效应具有与正常情形相同的数学形式，方程(3)，产生垂直于电流和自旋方向的空间变化的自旋积累。

VI. 逆自旋霍尔效应

逆自旋霍尔效应通过施加空间调制磁场……时计算超电流来研究。在常规图像中，磁场的空间梯度是自旋流的源项。我们写出相互作用哈密顿量为……(59)

因此，我们在自旋霍尔效应的图示中包含一个额外的电流顶点，并对外部波矢……的线性阶评估响应。由于电流顶点关于波矢为奇函数，响应函数关于库珀子波矢……为偶函数，并且在……处为有限值。因此逆自旋霍尔电流与……成正比，导致相位偏移。

A. 弹道情形

在弹道情形中贡献于响应的图示如图9所示。对于沿……方向的电流，……是施加磁场的方向，裸响应函数为……(60)

对小的……，线性于……的贡献为……(61)

我们看到响应函数关于……为偶函数，意味着它对称地看到两个超导体，导致……依赖性。

图9. 在弹道极限下贡献于逆自旋霍尔效应的图示。电流顶点用……表示，……是方向。外部波矢……由施加的磁场注入，并在电流顶点被吸收。交换……和……的图示给出相同的结果。自旋-轨道相互作用两侧的……和……都出现的图示不贡献于逆自旋霍尔效应，因为关于……为偶函数。

B. 扩散情形

包含两个库珀子，扩散情形下（图10）的逆自旋霍尔超电流为……(62)

定义二阶库珀子传播子为……(63)

逆自旋霍尔电流为……(64)

关于……的积分忽略……对……的依赖性进行计算……(65)

其中函数……与约瑟夫森电流的方程(33)相同。因此，逆自旋霍尔电流为……(66)

其中……(67)

图10. 在自能二阶贡献于扩散ISHE的图示。电流顶点用……表示。外部波矢……由施加的磁场注入并在电流顶点被吸收。方程(62)中的响应函数……代表没有库珀子的图示中心部分。

因此，包含自能到二阶的总电流为……(68)

其中……(69)是相位偏移。方程(68)和(69)构成本文的核心结果。超导体因此通过调整其相位来吸收由逆自旋霍尔效应诱导的超电流，方式与逆喇沙-埃德尔斯坦效应相同[29]。然而，ISHE有一个显著的特征：相位偏移不需要破坏结构反演对称性。相反，施加的磁场梯度，产生等效于平衡自旋流的不均匀自旋积累，就足够了。

VII. 逆自旋霍尔效应的高次谐波

指示方向性电流的异常相位偏移，可能天真地预期会导致约瑟夫森二极管效应，其中临界电流依赖于电流方向。然而，事实并非如此。当考虑来自多界面散射的高次谐波时，二极管效应才会出现[26]。在我们的方案中，ISHE的四阶贡献通过包含图11所示的过程来实现。图12所示的其他过程消失。

图11. 在扩散情形下贡献于逆自旋霍尔效应的四阶图示。

图12. 相互抵消的四阶图示。

包含自能到四阶的逆自旋霍尔电流的响应函数，与……相比多了两个格林函数，为……(70)

计算得到……。因此，四阶逆自旋霍尔电流为……(71)

其中……(72)

这里因子……(73)来自于四个库珀子振幅的……积分，……(74)

使得……(75)

因此，四阶总超电流……为……(76)

其中……(69)的……，四阶相位偏移为……(77)

其中……(78)

VIII. 逆自旋霍尔诱导的约瑟夫森二极管效应

相位势……定义为其导数是超电流；……。总电流(76)的势为（设……的起点为原点）……(79)

其中……，且……

我们的结果，即公式（77）和（78），表明 $\partial J/\partial\phi|_{\phi_0}\neq 0$，这意味着反自旋霍尔效应确实会引入电位的不对称性 [图13(a)]。

**图13.** (a) 顶部：包含二阶谐波的电位 $U(\phi)$，其中 $U$ 以 $E_J$ 为单位进行归一化，作为相位差 $\phi$ 的函数，分别给出有和无相移 $\Delta$ 的情况。有限的 $\Delta$ 会引起电位的不对称性。为了清晰起见，$\Delta$ 和 $\alpha$ 被选得相对较大。底部：代表约瑟夫森电流的函数 $J(\phi)$。对于有限的 $\Delta$，$J(\phi)$ 的最大值出现在 $\phi_m$ 处，其中 $\phi_m$ 对应于 $\Delta=0$ 时的最大值位置。最大值 $J_m$ 在正负 $\Delta$ 时不同，从而产生约瑟夫森二极管效应。(b) 在外电流 $I$（以 $I_c$ 为单位归一化）下的倾斜电位 $U(\phi)$，其中 $\Delta$ 和 $\alpha$ 取特定值。由于不对称性，临界电流——即势垒消失时的电流——在正方向和负方向不同。我们看到 $I_1$ 高于正的临界电流，而 $I_2$ 仍处于具有势垒的超导态。

当电流 $I$ 施加到结上时，电位被倾斜为 [图13(b)]

$$U(\phi)=-U_0\phi+U_0\sin\phi + U_2\cos 2\phi \tag{80}$$

当外电流超过内禀电流的最大值时，超导性消失。临界电流 $I_c$ 由 $U$ 的最大值给出，其中

$$\frac{\partial U}{\partial\phi}=0 \tag{81}$$

由于 $\Delta$ 和 $\alpha$ 引入的不对称性，临界电流在正方向和负方向不同，从而产生约瑟夫森二极管效应。

让我们研究小 $\Delta$ 的情形。在没有 $\Delta$ 时，正方向和负方向的最大电流均出现在 $\phi=\pi/2$ 处，其中 $\phi_0$ 由 $\alpha$ 决定，即

$$\phi_0=\arccos\left(-\frac{\alpha}{2}\right) \tag{82}$$

因此临界电流 $I_c$ 对于正电流和负电流相同。将相移包含到线性阶，最小值位置被修正为

$$\phi_m=\frac{\pi}{2}-\delta\phi \tag{83}$$

其中

$$\delta\phi=\frac{\Delta\sin 2\phi_0}{\sqrt{1-\alpha^2/4}} \tag{83}$$

相应地，函数 $J(\phi)$ 的最大值被修正为

$$J_m=I_c+\frac{\partial J}{\partial\phi}\bigg|_{\phi=\pi/2}\delta\phi \tag{84}$$

其中位移为

$$\delta J=\frac{\Delta\alpha\cos\phi_0}{1-\alpha^2/4} \tag{85}$$

临界电流的大小为 $I_c$，正负临界电流的差值 $\Delta I$ 为

$$\Delta I=2\delta J=2\frac{\Delta\alpha\cos\phi_0}{1-\alpha^2/4} \tag{86}$$

反自旋霍尔二极管效应即使在不存在结构对称性破缺的一般系统中也会出现。由非均匀磁场表示的自旋流就足以打破倒易对称性和时间反演对称性，并诱导出二极管效应。

**由磁点实现的场梯度**

施加场梯度的一个实际方法是将一个磁点放在 N 的一侧边缘附近（图14）。如果 N 中靠近磁点处电子的自旋极化由交换相互作用 $\Delta E$ 诱导，且该极化在自旋扩散长度的尺度上衰减，则有 $m(z)=m_0 e^{-z/\lambda_s}$。在这种情况下，公式（69）的相移为 $\Delta\propto \Delta E\,\lambda_s$。对于 $\Delta E/E_F=10^{-3}$ 和 $\theta_{SH}$（以自旋霍尔角表示 [公式（10）]），我们有 $\Delta\sim 10^{-3}$。决定高阶谐波参数估计为 $\alpha\sim (E_F\tau)^{-1}$，其中 $\ell$ 为平均自由程。如果 SN 界面的跳跃幅值为 $\Gamma$，则自能为 $\alpha$。如果 $E_F\tau\gg 1$，且 $\Gamma\ll E_F$，我们有 $\alpha\sim (E_F\tau)^{-1}$，对于 $\theta_{SH}\sim 0.01$ 得到 $\alpha\sim 10^{-2}$。这种非互易性将大到足以被实验检测。

**图14.** 示意图，显示通过将一个磁点附着到 SNS 结的一侧所产生的磁场梯度。

**IX. 讨论**

让我们在第二节的背景下审视超导电流诱导的自旋霍尔效应的结果。将具有小相位差 $\phi$ 的 SNS 映射到连续系统，$\phi$ 被 $\phi_0$ 替换，其中 $\mathbf{A}=\nabla\phi$ 是一个矢量势。约瑟夫森电流与矢量势成正比，即

$$J\propto\mathbf{A} \tag{87}$$

其中 $\mathbf{A}=\hbar\mathbf{v}_F\phi$。自旋霍尔响应（57）为

$$\mathbf{j}_s^{SH}=\sigma_{SH}\mathbf{A} \tag{88}$$

因此，超导电流诱导的自旋霍尔效应是由超导相位产生的磁场 $\mathbf{A}$ 所诱导的，它对应于公式（3）的第一个静态项。

反自旋霍尔效应，公式（68），表明会诱导出一个反常矢量势

$$\delta\mathbf{A}=\mathbf{A}\cdot\Delta\rho_{ISHE} \tag{89}$$

其中 $\Delta$ 是诱导的。

因此，超导电流诱导的直接和反自旋霍尔效应对应于由公式（3）和（5）中 $\mathbf{A}$ 项表示的静态响应，而那些在耗散型正常金属中的则对应于动态项 $\mathbf{E}$。

**X. Rashba-Edelstein 效应**

为了进行比较，在 Rashba 自旋-轨道相互作用的情况下，除了反自旋霍尔效应之外，沿 $x$ 方向的磁场还会通过反Rashba-Edelstein效应 [29] 诱导一个相移。我们考虑 Rashba 矢量沿 $z$ 轴方向，即垂直于结的方向。N 的哈密顿量为自旋依赖的

$$H_N=\frac{p^2}{2m}+\alpha_R(\sigma_y p_x-\sigma_x p_y) \tag{90}$$

其中

$$\mathbf{v}_F(\mathbf{k})=\frac{\hbar\mathbf{k}}{m}+\frac{\alpha_R}{\hbar}(\sigma_y\hat{x}-\sigma_x\hat{y}) \tag{91}$$

$\alpha_R$ 为Rashba系数。速度算符为

$$\mathbf{v}_F(\mathbf{k})=\frac{\partial\varepsilon}{\partial\hbar\mathbf{k}} \tag{92}$$

我们考虑弹道情形。在清洁极限下，Rashba Green函数推迟部分的为

$$G_R(\mathbf{k},\varepsilon)=\frac{1}{\varepsilon-\varepsilon_{\mathbf{k},s}+i0^+} \tag{93}$$

其中 $0^+$ 为无穷小正虚部。引入自旋对角Green函数是有用的，并写出

$$G_R^{(\pm)}(\mathbf{k},\varepsilon)=\frac{1}{\varepsilon-\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\mp\alpha_R k+i0^+} \tag{94}$$

其中

$$\tilde{G}(\mathbf{k},\varepsilon)=\frac{1}{2}\left[G_R^{(+)}(\mathbf{k},\varepsilon)+G_R^{(-)}(\mathbf{k},\varepsilon)\right] \tag{95}$$

此处

$$\tilde{G}(\mathbf{k},\varepsilon)=\frac{1}{\varepsilon-\varepsilon_{\mathbf{k}}+i0^+} \tag{96}$$

是对角化的Rashba Green函数，其中 $\varepsilon_{\mathbf{k}}=\hbar^2 k^2/2m$（$k=|\mathbf{k}|$）。

对于当前的自旋依赖Green函数，需要考虑超导体的自旋单态本质。在界面 $z=0$ 处明确写出自旋后缀，具有有限波矢 $\mathbf{q}$ 的可观测量 $\mathcal{O}$ 的静态期望值写为

$$\langle\mathcal{O}(\mathbf{q})\rangle=\text{Tr}\left[\int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}G(\mathbf{k},\varepsilon)\sigma\mathcal{O}G(\mathbf{k+q},\varepsilon)\right] \tag{97}$$

自旋求和可以用Pauli矩阵表示为（对于任意 $4\times4$ 矩阵 $\mathcal{M}_1$ 和 $\mathcal{M}_2$）

$$\text{Tr}\left[\sigma\mathcal{M}_1\sigma^*\mathcal{M}_2\right]=\text{Tr}(\mathcal{M}_1\mathcal{M}_2^T) \tag{98}$$

其中 $T$ 表示转置。因此我们有

$$\langle\mathcal{O}(\mathbf{q})\rangle=\text{Tr}\left[\int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\mathcal{O}(\mathbf{k})\tilde{G}(\mathbf{k},\varepsilon)\mathcal{O}^T(\mathbf{k+q})\tilde{G}(\mathbf{k+q},\varepsilon)\right] \tag{99}$$

幸运的是，在Rashba矢量沿 $z$ 轴的情况下，$\sigma_z\sigma_z^*=\sigma_z\sigma_z^*=\sigma_z^2=\mathbf{1}$，响应函数得到简化。公式（49）中自旋积累的响应函数为

$$\mathcal{R}(\mathbf{q})=\int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\mathcal{O}(\mathbf{k})\tilde{G}(\mathbf{k})\mathcal{O}^T(\mathbf{k+q})\tilde{G}(\mathbf{k+q}) \tag{100}$$

让我们首先研究均匀自旋极化 $\mathbf{q}=0$，对应于Rashba-Edelstein效应。在Rashba相互作用线性阶，实空间中响应函数的结果为

$$\mathcal{R}(\mathbf{r})=\alpha_R\,\partial_x[\tilde{G}(\mathbf{r})]^2\hat{x} \tag{101}$$

其中 $\tilde{G}$ 表示忽略Rashba相互作用的Green函数，且 $y$ 和 $z$ 分量消失。Rashba相互作用最低阶的自旋密度为

$$m_i(\mathbf{r})=\mathcal{R}_{ij}(\mathbf{r})A_j \tag{102}$$

其中

$$\eta_{RE}=\frac{\alpha_R}{2E_F}\int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{G}(\mathbf{k})\tilde{G}(\mathbf{k}) \tag{103}$$

为超导电流的Rashba-Edelstein系数。

反Rashba-Edelstein效应以类似方式计算。响应函数的均匀（$\mathbf{q}=0$）分量为

$$\mathcal{R}^{RE}_{ij}(\mathbf{q}=0)=\int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}v_{F,i}\tilde{G}(\mathbf{k})v_{F,j}^*\tilde{G}(\mathbf{k}) \tag{104}$$

利用 $\tilde{G}$ 和分部积分，我们得到

$$\mathcal{R}^{RE}_{ij}=\eta_{RE}\delta_{ij} \tag{105}$$

Rashba相互作用线性阶的反Rashba-Edelstein电流为

$$j_i^{RE}=\eta_{RE}\,A_i \tag{106}$$

其中

$$\eta_{RE}=-\frac{\alpha_R}{2E_F}\int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{\partial\tilde{G}(\mathbf{k})}{\partial\varepsilon}\tilde{G}(\mathbf{k}) \tag{107}$$

**Rashba系统中的自旋霍尔效应**

Rashba相互作用引起的自旋霍尔效应可以用类似的方法分析。正如文献 [37] 所指出的，以自旋流表述的Rashba系统中的自旋霍尔效应是微妙的。相反，当前基于自旋密度的表述提供了清晰的描述。

为了包含诱导自旋密度的空间变化，我们将响应函数（100）在外波矢 $\mathbf{q}$ 的线性阶展开，得到 [上标 $(1)$ 表示 $\mathbf{q}$ 的线性阶]

$$\mathcal{R}^{(1)}(\mathbf{q})=\int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\left[\tilde{G}(\mathbf{k})\mathbf{q}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}\right]\mathcal{O}(\mathbf{k})\mathcal{O}^T(\mathbf{k})\tilde{G}(\mathbf{k})+\text{h.c.} \tag{108}$$

其中

$$\mathbf{q}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}\tilde{G}(\mathbf{k})=i\,q_i\,\partial_{k_i}\tilde{G}(\mathbf{k}) \tag{109}$$

结果发现Rashba相互作用的线性贡献消失，自旋积累从二阶开始。响应函数为

$$\mathcal{R}^{SH}_{ij}(\mathbf{q})=\int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}v_{F,i}(\mathbf{k})\frac{\partial\tilde{G}(\mathbf{k})}{\partial\varepsilon}v_{F,j}(\mathbf{k})q_k\frac{\partial}{\partial k_k}\tilde{G}(\mathbf{k}) \tag{110}$$

Rashba诱导的自旋霍尔效应的结果为

$$m_i^{SH}=\sigma_{SH}^R\,\epsilon_{ijk}\,q_j A_k \tag{111}$$

其中自旋霍尔系数为

$$\sigma_{SH}^R=\frac{\alpha_R}{2E_F}\int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{\partial\tilde{G}}{\partial\varepsilon}\frac{\partial^2\tilde{G}}{\partial\varepsilon^2} \tag{112}$$

Rashba相互作用引起的反自旋霍尔效应通过在外波矢 $\mathbf{q}$ 表示空间变化的反Rashba-Edelstein效应响应函数 $\mathcal{R}^{RE}$ 中来研究：

$$\mathcal{R}^{RE}_{ij}(\mathbf{q})=\int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}v_{F,i}\tilde{G}(\mathbf{k})v_{F,j}^*\tilde{G}(\mathbf{k+q}) \tag{113}$$

对 $\mathbf{q}$ 展开，反自旋霍尔贡献（$\mathbf{q}$ 的线性）为

$$j_i^{ISHE}=\sigma_{ISHE}^R\,\epsilon_{ijk}\,m_j q_k \tag{114}$$

因此反自旋霍尔电流为

$$j_i^{ISHE}=\frac{\alpha_R}{E_F}\epsilon_{ijk}\,m_j q_k \tag{115}$$

其中 $q=|\mathbf{q}|$。

因此，对于弹道Rashba系统，二阶超导电流为

$$J_2(\phi)=J_0\,\sigma_{ISHE}^R\,\partial_z m\,\sin 2\phi \tag{116}$$

对于Rashba情形，更高阶谐波也存在，从而产生二极管效应 [26]。因此，Rashba SNS中的相位可以通过两种方式操控：利用沿 $x$ 和 $z$ 方向的场。反Rashba-Edelstein效应对施加场的均匀分量起响应，而反自旋霍尔效应对场的空间不对称性起响应。

**XI. 总结**

我们证明，SNS约瑟夫森结中的反自旋霍尔效应提供了一种强大的相位控制机制 [38]，通过邻近磁性纹理产生的平衡自旋流来实现。这种平衡自旋流可能来自邻近的磁点（图14），或来自施加的磁场梯度。静态磁畴壁由于其非均匀磁化结构而携带平衡自旋流 [30]。因此，相邻的具有磁畴壁的磁性体 [图15(a)] 提供了平衡自旋流的另一个可能来源。反之，由此产生的反常相移可作为探测相邻磁性体中磁畴壁的探针。除了平衡情形之外，人们还可以进一步设想非平衡自旋流的注入，例如通过自旋泵浦 [图15(b)]。总之，这些可能性为约瑟夫森器件的磁控开辟了有前景的途径，并为检测平衡和非平衡自旋流提供了途径。这些前景激励了专门的实验努力。

**图15.** (a) 相邻磁性体中的磁畴壁和 (b) 来自磁性体的自旋泵浦，在N中产生的非均匀自旋密度的示意图。