一种全四元数值的亚当斯-摩尔顿离散时间积分增强型归零神经网络，用于求解时变四元数方程

《Neurocomputing》：A fully quaternion-valued adams–moulton discrete-time integration-enhanced zeroing neural network for solving time-varying quaternion equations

　　

摘要 四元数在工程应用中广泛使用，但其复杂的代数结构，尤其是非交换性，给时变四元数方程（TVQEs）的高效精确求解带来了挑战。为解决这一困难，本文发展了一种完全四元数值Adams-Moulton离散时间积分增强零动力学神经网络（AM-DTIEZNN），用于直接求解TVQEs。具体而言，在四元数域内建立了误差演化方程，并引入积分项以增强模型性能。随后，利用四阶Adams-Moulton校正器配合Adams-Bashforth预测器对所得连续时间模型进行离散化，得到一种完全四元数值的递推方案，无需进行实数值或复数值的维度扩展。理论分析与对比仿真共同验证了所提模型的精度与鲁棒性。此外，本文设计了一种基于TVQE和Logistic混沌系统的彩色图像加密算法，并通过实验结果验证了其有效性。

引言 四元数[1]的提出将研究问题从复数域推广到高维。四元数是复数的非交换扩展。若将四元数集视为多维实数空间，四元数表示一个四维空间，而复数表示一个二维空间。与复数不同，四元数包含一个实部和三个虚部。四元数在信号处理[2]、神经网络[3]、姿态控制[4]和图像分析[5]等领域得到了广泛应用。在本文中，?表示四元数域。

目前，时变问题引起了广泛注意，并已被许多研究者所探讨[6]、[7]、[8]。例如，Zhang等人[9]研究了如何求解动态凸二次规划问题；Zhang等人[10]考虑了非线性时变方程的动态求解；Jin等人[11]设计了用于时变矩阵求逆的抗噪声ZNN，并引入新的激活函数以实现固定时间收敛；Zaman等人[12]设计了一种在线方案，用于跟踪稀疏拓扑结构随时间的变化；Sun等人[13]考虑了多种修正的零动力学神经网络用于动态互逆问题。此外，Liu等人[14]开发了一种模糊型ZNN用于混沌系统的鲁棒同步。该模型通过一种依赖于时间的模糊机制来抑制噪声并调节收敛参数。

在时变问题中，时变方程是一种常见而基础的问题，吸引了大量研究者的关注。根据不同域的分类，时变方程可分为时变实数、复数和四元数方程。关于求解时变实数和复数方程的研究较为丰富。为求解时变实数方程，Tian等人[15]考虑了一种迭代方法；Wang等人[16]设计了具有唯一或多解的分布式算法；Li等人[17]提出了逐次投影迭代方法。为求解时变复数方程，Peng和Hu[18]讨论了反射和反反射解，而Wu和Cain[19]分析了可重新非负定解。然而，对于时变四元数方程（TVQE），相关求解研究较少，更多的是关于四元数时不变方程[20]的研究。因此，本文旨在求解TVQE。

由于四元数本身的复杂性，常见的策略是将计算重构为实数或复数域上的问题。实表示[21]和复表示[22]分别可将四元数问题转换为实数问题和复数问题。上述两种方法简化了四元数问题中的四元数乘法，但也增加了问题的维度。复表示使原问题维度翻倍，而实表示使原问题维度翻四倍。在这两种方法中，维度的增加给硬件带来了负担。例如，Xiao等人[23]通过在复数域中的等价构造来处理时变四元数矩阵的求逆问题，但这种转换增加了问题规模和计算复杂度。因此，需要一种直接使用四元数的方法以缓解这一负担。在本文中，将直接求解TVQE，而不使用实数或复数表示。

零动力学神经网络（ZNN）是一种常用于求解时变问题的神经网络[24]。值得注意的是，由Zhang[25]提出的ZNN为后续研究奠定了重要基础。因此，越来越多的学者开始研究ZNN在求解时变方程中的优越性。Jin等人[26]提出了用于求零问题的抗噪声ZNN模型。Li等人[27]将分段激活函数引入ZNN用于求解动态Sylvester方程，实现了有限时间收敛和噪声容忍。此外，Jin等人[28]开发了变参数鲁棒ZNN用于动态复数矩阵求逆。该方法可以衰减噪声扰动并在固定时间内达到收敛。

类似地，ZNN也可用于求解TVQE。尽管ZNN已被证明在求解时变问题方面有效，但仍存在与实用相关的一些局限性。需要注意的是，使用连续ZNN求解问题主要是求解相应的微分方程。在仿真环境中，研究者通常依赖MATLAB中的ode求解器对微分方程进行数值积分。然而，在当前阶段，ode函数很难直接求解包含四元数的微分方程。当应用于求解涉及复数和四元数等复杂数据的问题时，连续ZNN需要复杂的建模甚至失效。为了克服上述困难，研究者通过用合适的离散近似替代连续模型中的一阶导数，开发了离散时间ZNN方案[29]、[30]、[31]。因此，一些研究者提出了离散时间ZNN模型[29]、[31]、[32]、[33]。值得注意的是，Hu引入的Adams-Bashforth方法[34]可求解离散问题，但在精度方面仍有改进空间。为了解决TVQE，本文首先推导出连续积分增强零动力学神经网络。然后，利用Adams-Moulton离散格式，提出了完全四元数值的Adams-Moulton离散时间积分增强零动力学神经网络（AM-DTIEZNN）模型以直接求解TVQE。

后续各节安排如下。第2节综述现有研究。第3节介绍问题描述及CTIEZNN模型的设计。第4节提出用于求解TVQE的AM-DTIEZNN模型。第5节分析模型的收敛阶和鲁棒性。第6节通过三个实例验证理论结论。第7节总结本文。表1列出了后续各节所使用的缩写。

本文的主要贡献如下：
• 通过构造性结合Adams-Moulton离散方法与CTIEZNN模型，开发了AM-DTIEZNN模型用于直接求解TVQE。所得模型兼具求解精度与鲁棒性。在第6节报告的数值算例、参数设置和残差度量下，所提AM-DTIEZNN模型的残差误差小于2-DTIEZNN、4-DTIEZNN、6-DTIEZNN、ADTIZD-U和ADTIZD-K模型。
• 理论分析证明了AM-DTIEZNN模型的0稳定性、收敛性和精度，并推导了在无噪声和有噪声条件下AM-DTIEZNN模型的最大稳态残差误差（MSSRE）。AM-DTIEZNN模型在无噪声情况下具有O(τ^5)的精度，其MSSRE在加性噪声下小于某一常数。
• TVQE成功应用于图像加密，并提出了一种彩色图像加密算法。所提基于TVQE和Logistic混沌系统的彩色图像加密算法有效完成了图像加密任务。

TVQE 时变问题对基础静态问题构成了挑战，但也是求解问题的突破口。越来越多的学者正在研究时变问题并提出相应的应用。时变问题的研究范围十分广泛，包括时变滑模控制[35]、时变复数二次规划[36]、时变凸优化[37]等。在一定程度上，时变问题为研究者带来了更丰富的研究方向。

问题描述与CTIEZNN设计 本节介绍相关的TVQE问题，并设计连续时间积分增强零动力学神经网络（CTIEZNN）模型。

离散零动力学神经网络 为了精确快速地设计离散ZNN模型以求解DTVQE问题，引入了Adams-Moulton方法。随后，基于Adams-Moulton方法和CTIEZNN模型，提出了用于求解DTVQE问题的AM-DTIEZNN模型。向前欧拉方法[44]显式地从当前节点可用的信息估计下一节点的值，表达式为：x_{k+1}=x_k+τ·?_k。从初始值x_0出发，可以求得后续节点的值。

理论分析 本节主要分析所提AM-DTIEZNN模型的0稳定性、收敛性和精度。分析使用[44]中的以下三个重要定义。

定义2 线性q步方法被称为对(9)的任意初始值问题0稳定，当且仅当该q步方法的第一特征多项式的所有根σ满足|σ|<1，且|σ|=1的根为单根。

定义3 阶数为q的线性q步方法被称为相容的，如果该方法的截断误差高于O(τ^q)。

定义4 一个……

实验仿真 在前一节中，提出了AM-DTIEZNN模型以及在加性噪声下AM-DTIEZNN模型用于求解DTVQE问题(2)。为验证理论的正确性，本节给出三个四元数方程的实例，并使用AM-DTIEZNN模型对其进行求解。本文所有关于四元数及其相关运算的实验均使用四元数工具箱1。此外，除非另有说明，DTIEZNN模型(21)的参数α和β……

结论 本文结合Adams-Moulton方法和连续时间积分增强零动力学神经网络，提出了一种AM-DTIEZNN模型以直接求解四元数方程。所提AM-DTIEZNN模型经理论证明以O(τ^5)的截断误差阶收敛。此外，理论上推导了AM-DTIEZNN模型的MSSRE，在无噪声情况下以O(τ^5)为界，在有噪声情况下以||g||_2/β+O(τ^5)为界。在仿真实验中，这些……

CRediT作者贡献声明 Jun Ma：撰写——原稿。Jianle Peng：数据整理。Pei Liu：验证。Lin Xiao：撰写——审阅与编辑。

利益冲突声明 作者声明不存在可能影响本文工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

Jun Ma是长沙医学院信息工程学院院长，也是长沙医学院信息工程学院教授。他已发表超过10篇科学论文，当前研究兴趣包括神经网络、并行计算及其相关应用。

Jun Ma | Jianle Peng | Pei Liu | Lin Xiao 长沙医学院信息工程学院，中国湖南长沙，410219