条件分布的一个 MTP2 性质

《Journal of Multivariate Analysis》：An MTP 2 property for conditional distributions

　　

摘要

我们引入了一种新的正相关概念，即将条件分布的多变量二阶全正性（multivariate total positivity of order two for conditional distributions），记作cMTP2，其中明确纳入了条件变量。这一性质比密度的多变量二阶全正性更弱，但比分布函数的多变量二阶全正性、随机单调性和尾部单调性更强。因此，它为连接这些经典正相关概念提供了一个自然的中间概念。我们验证了几个分布族和联结函数族（包括阿基米德联结函数）的cMTP2性质，并建立了其在马尔可夫乘积变换下的稳定性。作为其推论，我们得出了源于马尔可夫结构的有向相关度量的比较结果，包括Chatterjee秩相关系数及相关灵敏度度量。

引言

多个随机变量之间的随机相关可以通过多种方式加以描述。一种常见方法使用相关性度量，通常旨在捕捉特定形式的关系，例如线性相关（由Pearson相关系数衡量）、单调相关（由Kendall's tau和Spearman's rho衡量），或更广泛地，函数型与有向相关（由Chatterjee秩相关系数（Chatterjee, 2020）和灵敏度度量（如Sobol'指数（Sobol', 1993））衡量）。

另一种广泛使用的替代方法是识别不同强度的相关模式，包括正下象限相关、尾部单调性、随机单调性以及多变量二阶全正性。这些及相关概念已被广泛研究（Karlin and Rinott, 1980a; Brindley and Thompson, 1972; Fallat et al., 2017; Lehmann, 1966; Sarkar, 1969; Nelsen, 2007; Joe, 1997; Joe, 2014; Colangelo et al., 2005; Fuchs and Tschimpke, 2024），因为它们在应用中往往具有很高的信息价值。例如，密度的多变量二阶全正性在多重检验程序中的错误发现率控制（Sarkar, 2002）和马尔可夫结构的刻画（Fallat et al., 2017）方面具有重要意义。随机单调性则可推出马尔可夫树分布的比较结果（Ansari and Ritter, 2025）。此外，尾部单调性可推出针对一致度量（如Kendall's tau、Spearman's rho和Spearman's footrule）的比较结果；例如，参见Fredricks and Nelsen (2007)、Capéraà and Genest (1993)、Genest and Ne?lehová (2009)以及下文定理6，后者建立了Spearman's rho与Spearman's footrule之间的一个新不等式。

尽管分布函数的（多变量）二阶全正性（简称MTP2）和密度的二阶全正性（简称dMTP2）已被充分研究（Karlin and Rinott, 1980a; Fallat et al., 2017; Müller and Stoyan, 2002; Genest and Verret, 2002），但条件分布的相应概念（简称cMTP2），其中明确将条件变量纳入考虑，此前仅在双变量情形且假设边缘分布函数连续的情况下得到过考察（Fuchs and Tschimpke, 2023; Capéraà and Genest, 1990; Guillem, 2000）。对于这一特定情形，它与其它正相关概念的关系在Fuchs and Tschimpke (2023, Fig. 2)中得到图示。

在本文中，我们将条件分布的二阶全正性概念推广到维数d>2的随机向量：称函数h: ?^d → ?（d≥2）为多变量二阶全正（简称MTP2），若对于所有x, y∈?^d，不等式

h(x)·h(y) ≤ h(x∧y)·h(x∨y)

成立，其中x∧y和x∨y分别表示逐分量最小值和最大值。当d=2时，h通常被称为二阶全正函数。

随机向量X被说成具有以下性质（Karlin and Rinott, 1980a; Nelsen, 2007; Müller and Stoyan, 2002）：

• 若X的分布函数，视为映射x?P(X≤x)，是MTP2，则称X满足MTP2(X)；

• 若X具有关于乘积测度的密度f_X，且f_X是MTP2，则称X满足dMTP2(X)。

在定义1及全文中，我们假设正则条件概率P(Z_2≤z_2|Z_1=z_1)对所有z_1∈?^k及所有z_2∈?^l（k, l∈?）均存在；有关正则条件分布的更多背景知识，参见Kallenberg (2021)和Klenke (2007)。每当MTP2陈述中使用条件分布或密度时，该断言理解为：存在正则条件分布和密度的版本，使得所显示的映射满足所述MTP2不等式。

定义1

(i) 设A和B为构成{1,…,d}划分的一个非空集合对。若X_A具有关于乘积测度的密度f_{X_A}，且映射

(x_A, x_B) ? P(X_B ≤ x_B | X_A = x_A) · f_{X_A}(x_A)

是MTP2，则称随机向量X=(X_A, X_B)满足cMTP2(X_B|X_A)。

(ii) 若X对所有构成{1,…,d}划分的非空集合对A, B均满足cMTP2(X_B|X_A)，则称随机向量X满足cMTP2(X)。

我们强调，公式(2)中的cMTP2(X_B|X_A)并不要求X具有密度，也不要求X_B给定X_A的条件密度存在。

定义1中引入的条件分布MTP2性质弱于密度的全正性（dMTP2），但强于分布函数的相应性质（MTP2），也强于随机单调性（SI）；参见图1、图3。因此，它作为MTP2(X)与dMTP2(X)之间的自然插值概念，连接了不同的正相关概念。

我们给出了特定分布族和联结函数族满足cMTP2性质的条件，重点关注二元分布和阿基米德联结函数。我们证明，对于二元分布，cMTP2等价于dMTP2；而对于阿基米德联结函数，cMTP2等价于一种适当的随机单调性概念。此外，与双变量情形（Fuchs and Tschimpke, 2023）类似，阿基米德联结函数的这些相关性质可完全用阿基米德生成元来刻画。

在实际应用中，理解正相关性质如何从随机向量传递到其关联的马尔可夫结构至关重要。我们通过证明cMTP2同样在马尔可夫乘积变换下保持不变，补充了dMTP2（Fallat et al., 2017）和随机单调性（Fang et al., 1994; Siburg and Strothmann, 2021）的已知稳定性结果。此外，由于Chatterjee秩相关系数ξ（Chatterjee, 2020）和Sobol'指数（也称方差解释比例R2）等有向相关度量可用马尔可夫结构表示（Fuchs, 2024），这些稳定性结果直接推出基于底层随机向量相关性质的ξ和R2的比较结果。

本文的组织结构如下：第2节首先研究关于随机变量固定划分为条件子集和被条件子集的正相关性质，并考察这些性质之间的关系。随后，在不施加预定划分的条件下考虑随机向量的正相关性质，并对由此产生的概念之间的蕴含关系进行详细分析。第3节验证了几个多元分布和联结函数族的cMTP2性质。第4节建立了马尔可夫结构的稳定性结果，并讨论其对有向相关度量比较结果的蕴含意义。辅助结果汇总于附录。

全文中，我们关注下象限相关性质，即以（条件）分布函数表述的性质。类似的相关性质也可用生存函数来定义，从而导出相应的上象限相关概念。

关于条件分布的多变量二阶全正性

设A和B为构成{1,…,d}划分（d≥2）的两个非空集合。对于d维随机向量X=(X_1,…,X_d)，我们将X_A和X_B分别表示为X中由A和B索引的坐标组成的子向量。

验证多元分布族的cMTP2(X)性质

我们现在对选定的多元分布族研究定义1中引入的相关性质cMTP2(X)，并阐明其与图3中所列正相关性质的关系。

具有独立分量的任意随机向量X满足dMTP2(X)，而具有共单调分量的任意随机向量X满足|A|=1时的cMTP2(X_B|X_A)（注记1）。我们现在转向这两种极端情形的混合，参见Fuchs and Tschimpke (2023, Example 3.5)。

应用于马尔可夫乘积和有向相关度量

我们现在研究马尔可夫乘积变换的稳定性结果，从而研究条件独立随机向量框架内的稳定性结果。随后，我们突出这些结果对有向相关度量比较的蕴含意义。

讨论

负相关概念：将定义MTP2的不等式(1)反转，可得到多元二阶逆正规则（mrr2）概念，该概念由Karlin and Rinott (1980b)引入。mrr2函数的显著例子包括多项分布、多元超几何分布和Dirichlet分布的密度（概率质量函数）。这一概念启发我们构建cMTP2的负相关对应概念。尽管MTP2性质在复合运算下保持不变（Karlin and Rinott, 1980a, Proposition

致谢

本研究完全由奥地利科学基金会（FWF）[10.55776/P36155]项目"ReDim: 通过降维量化相关"资助。作者感谢WISS 2025项目"IDA-lab Salzburg"（20204-WISS/225/197-2019和20102-F1901166-KZP）的支持。

Sebastian Fuchs | Yuping Wang