《Sensors》：Finite Element Model Updating for Rotating Machinery: Methods, Applications, and Future Directions—A Review
有限元模型修正（Finite Element Model Updating, FEMU）为缩减数值模型与实测响应之间的偏差提供了一种基于物理的方法，其途径是估计不确定的物理参数。该方法在旋转机械中的应用具有挑战性，因为转子动力学受到转速、轴承与支承特性、非线性相互作用、运行工况、测量限制以及参数相关性的强烈影响。本综述审视了面向旋转机械的FEMU方法与应用，将直接FEMU研究与主要提供使能技术的非线性、不确定性、代理及人工智能（Artificial Intelligence, AI）类研究加以区分。研究人员对直接矩阵修正、基于灵敏度的方法、基于优化的方法、代理辅助方法、贝叶斯（Bayesian）方法、人工智能驱动方法及混合方法在物理可解释性、可辨识性、计算需求、不确定性处理与验证等方面进行了比较。所综述的文献表明，FEMU在转子-轴承标定、轴承与支承参数识别以及基于运行响应的参数修正方面最为成熟，而非线性与复合故障参数的实验验证型反演估计仍然有限。基于上述发现，研究人员提出了一种面向生命周期的FEMU框架与研究路线图，强调多工况可辨识性、不确定性感知修正、计算效率、独立验证与受控同步。代理模型与人工智能辅助估计应持续与经过验证的高保真物理模型及明确的运行域保持关联，以支撑可信的状态评估与数字孪生（digital twin）应用。
1. 引言
旋转机械（包括涡轮机、压缩机、泵、发电机、电动机及传动系统）在发电、制造、交通运输等工业领域发挥核心作用。此类机械通常在高速与变载荷条件下运行，其动态行为直接影响运行可靠性、安全性与维护成本。不平衡、不对中、轴承退化、轴裂纹、松动及转子-定子碰磨等机械故障会在振动响应中产生可测量的变化，若未能在早期阶段发现，可能造成严重的次生损伤。因此，基于振动的状态监测已成为旋转机械预测性维护策略的重要组成部分。
有限元（Finite Element, FE）模型被广泛用于预测旋转系统的动态特性，包括固有频率、振型、临界转速、不平衡响应及稳定性边界。然而，由于几何简化、名义材料属性、理想化界面、不确定的支承条件以及轴承、联轴器和基础的简化表示，数值模型不可避免地与其物理对应物存在差异。当涉及柔性支承、转速相关效应或非线性行为时，这些差异可能降低预测模态与运行响应的可靠性。
有限元模型修正通过从实验测量的响应中估计不确定的模型参数来缩减模型-测量偏差。典型的修正参数包括材料属性、连接与支承刚度、轴承系数、阻尼特性、质量分布及边界条件。修正后的模型不仅应复现用于标定的测量结果，还应在未纳入修正过程的运行条件下提供可靠的预测。
FEMU在旋转机械中的应用提出了不同于固定结构系统的要求。转子的动态响应随转速、轴承状态、支承特性、热状态及故障严重程度而变化。陀螺效应、流体膜力、转子-定子相互作用及耦合故障也可能引入转速相关或非线性响应。因此，在单一运行条件下标定的模型可能无法在整个运行范围内保持有效。参数选择、测量选择、模型形式充分性以及跨多运行条件的验证因此成为旋转机械FEMU的核心问题。
测量噪声、有限的传感器位置、不完整的模态信息及参数相关性进一步使修正问题复杂化。不同的结构、轴承与支承参数组合可能产生相似的实测响应，导致非唯一或可辨识性较差的解。因此，当FEMU用于预测或维护相关决策时，不确定性感知方法与计算高效的代理模型变得日益重要。
代理建模与人工智能的最新发展已将FEMU扩展到传统离线优化之外。数据驱动模型可以加速重复的有限元评估，或近似实测响应与不确定物理参数之间的逆关系。然而，其可靠性仍取决于训练数据的覆盖范围与物理保真度，尤其是使用仿真生成数据时。人工智能辅助FEMU因此应保持物理参数约束，并使用原始数值模型与独立实验测量进行验证。
FEMU还可支撑状态监测、预测与数字孪生应用。模型-测量残差与更新后的物理参数可提供机械状态变化的信息，而连续或周期性更新的模型可改善故障严重程度估计与未来响应预测。在数字孪生框架内，FEMU充当物理机械与其虚拟表示之间的同步机制。然而，实际实施需要可靠的更新准则、不确定性评估、计算效率与独立验证。
以往的综述大多将结构FEMU、不确定性量化、转子动力学、基于振动的诊断、预测及数字孪生技术作为彼此分离的研究领域加以审视。经典FEMU综述主要关注数值公式与更新算法，而旋转机械诊断综述通常强调信号处理与数据驱动分类。数字孪生综述关注虚实集成，但对影响模型修正可靠性的转子特有动态特性讨论有限。与以往主要分别针对FEMU方法、转子不确定性与诊断或数字孪生技术的综述不同，本综述在统一的旋转机械FEMU框架内评估这些发展。特别是，本综述区分了已得到验证的物理参数修正与FEMU使能研究，并从参数可辨识性、验证证据、不确定性处理及面向生命周期的数字孪生适用性等方面进行比较。
2. 综述范围与文献分类
2.1 综述范围
本综述聚焦于有限元模型修正方法及其在旋转机械中的应用。主要范围涵盖转子-轴承系统、轴、盘、联轴器、支承、风力机叶片及多部件旋转系统。特别关注区分旋转机械与固定结构的特性，包括转速相关动力学、陀螺效应、轴承与支承特性、非线性力、不确定运行条件及有限的测量可用性。
所综述的文献既包括直接FEMU研究，也包括使能研究。直接FEMU研究被定义为利用实测响应来估计或校正旋转系统数值模型物理参数的研究。代表性目标包括轴与支承属性、轴承刚度与阻尼、材料参数、边界条件及故障相关变量。
使能研究在提供可纳入FEMU的物理模型、计算技术或数据处理方法时被纳入。这些研究包括非线性转子动力学建模、不确定性量化、代理建模、逆学习、合成数据生成、预测及数字孪生同步。此类研究在整个综述中与直接FEMU应用加以区分，以避免将所有基于仿真或人工智能的旋转机械研究都视为模型修正研究。
2.2 文献收集与选择原则
相关文献通过Web of Science核心合集与Scopus数据库识别，并以Google Scholar及FEMU和转子动力学领域既有出版物的参考文献列表作为补充。最终数据库检索于2026年9月4日进行。检索限于英文文章与综述文章，未设置出版年份限制，因为需要基础性研究来确立FEMU与旋转系统动力学的理论发展。
主要数据库检索式为（“finite element model updating” OR “model updating” OR “model calibration” OR “parameter identification”）AND（“rotor” OR “rotor-bearing” OR “shaft” OR “journal bearing” OR “rotating machinery”）。在Web of Science核心合集中，检索式应用于主题字段；在Scopus中则应用于文章标题、摘要与关键词字段。补充检索使用FEMU与旋转机械术语结合与旋转机械FEMU扩展相关的主题，包括“非线性动力学”“不确定性”“代理模型”“人工智能”“状态监测”“预测”与“数字孪生”。
文献基础主要包括同行评审期刊文章、基础性学术著作、主要综述论文及相关FEMU与转子动力学研究的参考文献列表。研究在涉及以下一个或多个主题时被纳入：结构FEMU与物理参数识别；转子与转子-轴承模型标定及轴承参数识别；转速相关与非线性转子动力学；确定性与概率性不确定性处理；代理辅助与基于人工智能的逆建模；FEMU支撑的状态监测与预测；以及涉及物理模型同步的数字孪生框架。
直接FEMU研究根据实验测量与物理模型参数估计所起的作用与FEMU使能研究加以区分。当实测响应被明确用于估计或校正数值物理模型的物理参数时，该研究被归类为直接FEMU。提供非线性物理模型、不确定性分析方法、代理模型、基于人工智能的逆技术、合成数据方法、预测方法或数字孪生框架但未完成实验物理参数修正的研究被归类为FEMU使能研究。仅基于数据驱动故障分类且不涉及物理模型标定、参数识别、基于仿真的物理解释或虚实同步的研究被排除在主要FEMU证据基础之外。
在预定检索条件下，两次数据库检索在跨数据库去重前共返回1380条数据库记录，其中Web of Science核心合集585条，Scopus 795条。根据标题与摘要对检索文献进行相关性筛选，必要时检查全文。当研究与旋转机械无关、不涉及基于物理或有限元模型，或既不提供直接物理参数修正也不提供明确相关的FEMU使能方法时，被排除在主要证据基础之外。经此选择过程，保留了18项代表性研究用于直接FEMU与FEMU使能应用的详细案例比较。额外的原始研究、综述文章与基础参考文献被保留以支撑全文的方法学、理论性与背景性讨论。
由于所综述研究在旋转系统配置、数值模型保真度、测量类型、修正参数、运行条件、验证程序及报告性能指标方面存在显著差异，基于所报告数值性能的统计荟萃分析被认为不适当。跨研究直接数值排名可能具有误导性，因为残差误差或估计精度的差异可能源于系统复杂度、参数维度、测量质量、运行范围与验证条件的差异，而非更新算法本身。因此，本综述采用基于共同标准的结构化比较综合，包括物理可解释性、参数可辨识性、不确定性处理、验证水平、计算需求与主要局限性。缺乏用于直接定量比较的通用基准也被识别为重要的研究空白。
2.3 所综述文献的分类
所综述文献根据其在旋转机械FEMU中的作用被组织为五类。
第一类包括基础FEMU方法，包括直接矩阵修正、基于灵敏度的修正、优化、代理辅助估计、贝叶斯推断与不确定性感知方法。这些研究确立了参数识别的数学与计算基础。
第二类包含旋转机械的直接应用，其中实验模态或运行响应被用于更新转子、轴承、支承或结构参数。这些研究构成旋转系统FEMU实际适用性的核心证据。
第三类包括非线性与不确定性相关的转子动力学研究。这些研究涉及流体膜失稳、间隙、摩擦、转子-定子接触、碰磨、不对中、复合故障及不确定系统参数。当未进行实验参数修正时，这些研究被视为物理模型、响应特征与候选修正参数的来源，而非直接FEMU应用。
第四类涵盖代理、人工智能及混合方法，用于加速重复数值分析或近似物理参数与实测响应之间的正演与逆演关系。其相关性根据物理可解释性、训练域依赖性、计算效率及与有限元验证的兼容性进行评估。
第五类包括状态监测、预测与数字孪生研究，其中更新的物理模型有助于健康评估、故障严重程度估计、退化跟踪、剩余使用寿命预测或虚实同步。只有与物理建模或模型修正存在明确关系的研究才被视为主要FEMU框架的一部分。
2.4 比较综述框架
所选研究使用以下标准进行比较：目标系统（转子、轴承、轴、叶片、齿轮箱或完整旋转机械）；数值模型（梁、实体、降阶、非线性、随机或混合模型）；实测响应（固有频率、振型、频响函数、位移、加速度、轴心轨迹、相位或运行振动）；更新量（结构属性、轴承系数、支承参数、阻尼属性、间隙、摩擦、不平衡或故障相关参数）；更新方法（直接、基于灵敏度、基于优化、代理辅助、概率、人工智能驱动或混合）；不确定性处理（确定性、概率、区间或未明确考虑）；验证水平（数值验证、实验室实验、独立运行条件或现场测量）；计算需求（离线、近实时或实时实施）；主要局限性（参数相关性、非唯一性、模型形式误差、计算成本、测量噪声、数据依赖性或有限泛化能力）。
因此，评估所考虑的不只是每项研究所报告的最小残差或精度。研究质量根据物理模型与修正参数的清晰度、参数可辨识性与不确定性的考虑、标定与验证的分离、独立实验或运行证据的使用以及所报告程序的可复现性进行定性评估。应用成熟度根据支持证据水平进行评估，从数值演示与实验室实验验证到独立或多条件验证及现场或生命周期实施。
3. 旋转机械模型-测量偏差的来源
旋转机械的精确有限元建模要求数值模型既复现机械的结构特性，也复现运行期间产生的动态效应。然而，由于数值模型依赖简化几何、名义材料属性、理想化界面、估计的支承条件以及运行与故障机制的不完整表示，偏差不可避免。这些偏差在旋转系统中尤为重要，因为其动态特性随转速、轴承状态、热状态、载荷、装配条件与故障严重程度而变化。
有限元模型修正的可靠性取决于在选择待估计参数之前识别偏差的主要来源。增加可调参数数量可能降低标定残差，但也可能产生相关、非唯一或物理上不真实的解。相反，根据产生观测偏差的物理机制选择的参数更有可能保持可解释性与预测能力。
3.1 结构与几何理想化
旋转机械的有限元模型通常使用梁单元表示轴，使用集中质量、刚性盘或简化实体单元表示盘。这些表示减少了自由度数量，使重复动态分析在计算上可行。然而，简化模型可能无法复现局部柔度、分布惯量或几何不连续性的动态效应。
相关几何偏差来源包括阶梯与锥形轴段、键槽、孔、沟槽、过盈配合连接、螺栓连接、联轴器、叶轮、非均匀质量分布及制造公差。这些细节的重要性取决于所考虑的响应量与频率范围。基于梁的轴模型可能充分复现前几阶弯曲模态，但在更高阶模态或局部变形模式中表现出较大偏差。同样，刚性盘表示可能捕捉全局转子运动，却忽略盘柔度与局部耦合效应。
材料属性引入额外不确定性。弹性模量与密度通常使用名义值，而阻尼通常为估计值，因其源于多种机制，包括材料耗散、连接摩擦、轴承损失、基础相互作用及周围流体效应。温度、残余应力、制造变异性与老化可能进一步改变物理机械的有效属性。
3.2 轴承、支承与边界条件不确定性
轴承与支承属性通常是旋转系统模型中最不确定的量之一。转子通过滚动轴承或流体膜轴承、轴承座、基座、基础、联轴器及相邻设备动态连接，所有这些都可能强烈影响固有频率、临界转速、受迫响应幅值、振型与稳定性行为。
支承通常使用恒定平移刚度与阻尼系数表示。然而在物理机械中，有效支承特性可能随转速、静动态载荷、预紧、轴承间隙、润滑条件、温度、轴承座变形及基础柔度而变化。装配公差与不对中可能进一步改变有效边界条件。
滚动轴承刚度由接触几何、内部间隙、预紧、载荷分布与接触角决定。因此，名义轴承属性可能与装配转子系统的有效系数存在显著差异。实验转子模型修正研究因此将轴承刚度与阻尼视为可识别的物理参数，而非固定设计值。
滑动轴承提出额外挑战，因为其动态行为通常使用直接与交叉耦合刚度及阻尼系数表示。这些系数取决于转速、静载荷、润滑剂属性、轴承间隙及轴颈平衡位置。多项FEMU研究因此采用顺序或概率程序来分离结构不确定性与轴承系数不确定性。
核心困难在于不同物理参数可能产生相似的响应变化。例如，轴刚度降低、轴承刚度降低与基座柔度增加都可能使固有频率或临界转速向相同方向移动。因此，实测偏差可能指示与支承相关的建模误差，却无法唯一确定其物理来源。这种参数相关性是转子-轴承FEMU中病态与非唯一估计的主要原因之一。
3.3 转速与运行条件依赖性
与固定结构不同，旋转机械包含显式依赖于转速的动态效应。陀螺力矩耦合正交方向的横向运动，并可能随转速增加将转子模态分离为正向与反向涡动分支。对这些效应处理不当可能导致临界转速、涡动方向与模态演化的错误预测。
额外的转速相关行为可能源于离心效应、轴承与密封系数、内阻尼、流体诱导力、热膨胀、预紧变化及联轴器条件变化。使用运行不平衡响应的实验模型修正研究表明，参数灵敏度与模型偏差可能随转速显著变化。Kang等人使用双增广卡尔曼滤波器与稳态不平衡响应，在双盘转子-轴承系统中同时估计轴承动态系数与残余不平衡。该方法在不同转速、测量噪声水平与测量配置下进行了评估，说明了运行响应信息在识别运行条件下相互作用的参数方面的价值。
载荷与温度提供运行条件依赖性的进一步来源。传递扭矩、径向或轴向载荷、润滑剂温度与热膨胀的变化可能改变轴对中、轴承间隙、接触条件与有效支承刚度。因此，在一个运行点观测到的偏差可能源于运行状态变化，而非永久性结构改变。
3.4 非线性轴承与流体膜效应
线性转子模型因其允许高效计算特征值、临界转速与同步响应而被广泛使用。然而，当轴承力随位移、速度、载荷或运行状态强烈变化时，线性假设变得不充分。
流体动力滑动轴承是非线性行为的代表性来源。线性化刚度与阻尼系数描述平衡位置周围的小扰动，但可能无法复现大幅运动、轴颈位置变化或流体诱导失稳。非线性流体膜模型需要描述油涡动、油膜振荡、幅值相关响应、分岔及轴心轨迹几何变化等现象。
线性模型与实测响应之间的系统性偏差因此可能源于不适当的模型形式，而非不正确的系数值。调整恒定轴承系数可在有限速度或幅值范围内改善一致性，却无法复现该范围之外的响应演化。
非线性转子-轴承修正的最新方法已开始将非线性响应公式与解析灵敏度纳入参数估计过程。然而，非线性FEMU比传统线性修正困难得多，因为实测响应可能取决于幅值、转速、初始状态与响应分支。因此，非线性模型修正不仅需要参数估计，还需要确认数值模型代表了正确的物理响应状态。
3.5 转子-定子接触、不对中与耦合故障
当转子位移超过可用间隙时，转子-定子接触引入非线性且可能不连续的力。所得响应取决于间隙、接触刚度、摩擦、转子偏心、定子支承特性、转速及旋转与静止部件之间的相对运动。
接触可能为间歇性或持续性，并可产生谐波、次谐波、类冲击波形、轴心轨迹几何变化、跳跃现象及多个稳定响应状态。数值研究进一步表明，不确定的接触参数与初始条件可能对相同名义转子配置产生不同的有效稳态响应。这种行为对逆识别提出直接挑战，因为产生低残差的参数集可能对应于与实验观测不同的响应分支。
不对中通过轴弯曲、联轴器力、轴承载荷重新分布及轴平衡位置变化引入额外耦合。它还可能减小有效转子-定子间隙，从而增加碰磨可能性。不对中-碰磨耦合故障的实验与数值研究表明，组合响应不一定能解释为各单独故障产生响应的简单叠加。
同一频谱分量因此可能源于不同物理机制。例如，升高的同步或二倍频振动可能与不平衡、不对中、支承非线性、联轴器变形或间歇性转子-定子接触相关。模型与单一频谱分量的一致性因此不足以证明已表示正确的故障机制。
复合故障进一步增加这种模糊性，因为一种故障可能改变另一种故障发展的边界或运行条件。此类系统的物理有意义FEMU因此应纳入相互作用的故障机制，并使用多个响应量、运行条件或瞬态响应来区分竞争性参数组合。
3.6 参数不确定性与模型形式误差
旋转系统模型中的不确定性可分为参数不确定性、测量不确定性与模型形式不确定性。
参数不确定性指对模型中已表示量的不完全知识，包括刚度、阻尼、材料属性、轴承间隙、润滑剂属性、不平衡或接触系数。测量不确定性源于传感器噪声、安装变异性、有限频率分辨率、信号处理程序及测试期间运行条件的变化。
模型形式不确定性发生在假定的物理表示不完整或不适当之时。示例包括使用恒定系数表示非线性轴承、忽略基座柔度、排除热效应、简化联轴器行为或省略转子-定子接触。
这一区分在FEMU中尤为重要，因为参数调整无法完全补偿缺失的物理机制。表面上的轴承刚度误差可能实际源于基础柔度、温度相关润滑剂行为、非线性流体力或联轴器变形。优化仍可能分配看似合理的参数值以复现标定数据，同时降低其他运行条件下的预测可靠性。
转子-支承系统提供代表性示例，因为即使支承的物理形式已知，有效刚度与阻尼仍可能不确定。概率模型修正已被用于表征可识别转子-支承参数的不确定性，而区间模型验证方法已被开发用于估计不确定支承刚度与阻尼的可信范围。He等人提出了一种使用k均值贝叶斯程序的转子-支承系统区间模型验证方法。不确定的支承刚度与阻尼使用区间参数表示，使模型验证能够处理可信参数范围而非仅单一确定性最优值。
3.7 测量限制与不完全可观测性
FEMU依赖实验测量的量，如固有频率、阻尼比、振型、频响函数、轴位移、加速度谱、轴心轨迹、相位与运行振动响应。这些测量的信息含量与不确定性决定哪些物理参数可被可靠识别。
工业测量通常受有限传感器位置、电气与机械噪声、安装变异性、不一致激励、频率分辨率不足、缺失或紧密间隔模态以及数值与实验自由度差异的影响。运行测量可能额外随转速、载荷、温度与环境条件变化。
有限传感器布置降低可观测性，因为不同参数组合可能在可用测量位置产生相似响应。在不增加独立测量信息的情况下增加可调参数数量因此恶化逆问题。可可靠估计的参数数量不仅受测量数量限制，还受这些测量的独立性与参数灵敏度限制。
不同响应量也表现出不同不确定性特征。固有频率通常比阻尼估计更具可重复性，而振型分量强烈依赖传感器位置与模态配对。频响函数提供幅值与相位信息，但对激励质量与边界条件可重复性敏感。运行响应包含来自旋转机械的直接信息，但可能组合结构、支承、激励、运行与故障参数的影响。
3.8 对FEMU参数选择的意义
上述偏差来源表明，参数选择本质上是物理建模与可辨识性问题，而非仅数值优化问题。更新所有不确定量既不计算高效也不物理可靠。候选参数应根据最可能产生观测模型-测量偏差的机制进行选择。
合适的参数选择程序应包括：识别数值模型与物理系统之间存在差异的响应特征；将每项偏差与合理的结构、支承、运行或故障机制关联；选择与这些机制相关的候选参数；评估所选响应在候选传感器位置、激励条件与转速下对候选参数的灵敏度与独立性；移除灵敏度可忽略或强相关的参数；施加与几何、材料属性、轴承设计、装配条件与运行状态一致的边界；确定剩余偏差归因于参数不确定性还是不充分的模型形式。
用于修正的响应量应对应于候选参数的物理机制。结构模态偏差可能主要指示轴、连接或支承刚度的不确定性。临界转速或同步响应误差可能指示轴承属性、支承特性、阻尼或不平衡的不确定性。次同步分量、稳定性边界与轴心轨迹变化可能需要非线性流体膜表示，而类冲击响应、高次谐波、跳跃行为与迟滞可能指示接触或相互作用故障机制。
4. FEMU方法的分类与比较分析
有限元模型修正可表述为逆问题，其中不确定物理参数从数值预测与实测响应之间的偏差中估计。尽管FEMU方法在数学公式与数值程序上有所不同，其共同目标不仅是最小化模型-测量偏差，而是获得在标定数据之外保持物理可解释性与预测能力的数值模型。
对于旋转系统，控制方程可表示为包含质量、阻尼、陀螺与刚度矩阵以及转速与不确定参数向量的形式。一般FEMU问题可表示为最小化实测与计算响应之间偏差的目标函数，常用加权最小二乘形式包含权重矩阵以表示所选响应量的相对重要性、尺度或置信度。
对于旋转机械，该逆问题因转速相关动力学、相关轴承与支承参数、有限测量信息、非线性响应机制及运行条件变化而复杂化。因此，更新算法不应与候选参数选择、响应选择、参数可辨识性、不确定性处理与验证分开考虑。
4.1 直接矩阵修正方法
直接矩阵修正方法修改组装的刚度、质量或阻尼矩阵，使所选数值模态属性复现其实验对应量。修正通常从实测特征值、振型、正交性条件或运动方程获得，无需重复评估物理参数化的有限元模型。
直接修正的主要优势是计算效率。当存在足够完整且准确配对的模态数据时，可以以相对较少的数值操作实现模态偏差的显著缩减。直接方法因此可用于初步数值相关性与识别与较大模型-测量偏差相关的组装矩阵部分。
然而，修正后的矩阵项不一定对应可物理测量的量，如轴刚度、轴承刚度、支承柔度、材料属性或阻尼。矩阵级修正还可能改变稀疏性、连通性、对称性或正定性。因此，直接修正的模型可能复现修正期间使用的模态量，却在标定条件之外提供有限物理解释与不确定预测能力。
这一限制对旋转机械尤为重要，因为模型修正通常旨在估计随后用于预测临界转速、受迫响应、涡动行为或稳定性的轴承、支承、耦合、结构或故障相关参数。直接矩阵修正因此更适合数学模型相关性与初步偏差定位，而非物理可解释的参数识别。
4.2 基于灵敏度的修正方法
基于灵敏度的FEMU近似所选模型参数微小变化引起的计算响应变化。在当前参数状态附近，有限元响应可局部线性化，其中灵敏度或雅可比矩阵定义为计算响应对参数的偏导数。参数修正随后可通过正则化最小二乘公式获得，其中包含当前模型-测量残差、测量响应权重、参数变化惩罚项与正则化系数。
基于灵敏度的FEMU在候选参数数量适中且初始数值模型与物理系统合理接近时计算高效。它还保持实测响应变化与物理参数变化之间的显式关系。解析、半解析或有限差分灵敏度可根据模型复杂度与软件可访问性使用。
主要限制是线性近似的局部性。当初始偏差较大或参数-响应关系强非线性时，在当前参数状态评估的灵敏度矩阵可能无法充分表示实际响应变化。此时需要迭代重新计算灵敏度矩阵。
病态是另一主要关注点。如果两个参数在实测响应中产生相似变化，其灵敏度向量高度相关，相应参数无法以足够可靠性独立估计。正则化、参数分组、奇异值分解、工程约束与低灵敏度参数消除可用于改善数值稳定性。
4.3 基于优化的修正方法
基于优化的FEMU将参数估计视为约束搜索问题。有限元模型对候选参数集进行重复评估，目标函数用于量化数值与实验响应之间的偏差。
对于旋转机械，不同响应量可在多响应目标函数中组合，包括与固有频率、振型、频响函数与运行响应相关的残差项。相应权重因子应考虑响应量级、测量可靠性及与所估计物理参数相关性的差异。
当包含振型时，其相关性可使用模态保证准则（Modal Assurance Criterion, MAC）评估，其中分子为实测与计算振型向量共轭转置乘积的平方模，分母为各自范数平方的乘积。
优化算法可大致分为基于梯度与无导数方法。基于梯度方法在目标函数平滑且存在合适初始参数估计时通常高效收敛。然而，它们可能对局部最小值、不良条件与不准确初始值敏感。
无导数、进化与群体方法可探索更广参数空间并适应非线性、非平滑或多模态目标函数。其主要缺点是所需数值模型评估次数显著增多。
基于优化的策略已被应用于转子和转子-轴承系统，使用模态与运行响应估计轴、轴承、支承、阻尼与不平衡相关参数。当必须同时考虑多个响应量、解析灵敏度不可用或参数-响应关系强非线性时，基于优化的FEMU尤为有用。基于几何、材料属性、轴承设计、间隙与装配公差的物理边界也可显式纳入优化问题。
主要限制是计算成本与解的非唯一性。结构、轴承、支承与阻尼参数的不同组合可能产生相似的目标函数值。因此，获得最低标定残差并不必然证明已识别物理正确的参数集。
4.4 代理辅助修正
代理辅助FEMU减少与高保真有限元模型重复评估相关的计算成本。不每次优化或不确定性分析步骤评估原始数值模型，而是构建不确定参数与所选响应之间的近似关系。
代表性方法包括响应面模型、径向基函数、克里金（Kriging）、高斯过程回归与降阶模型。当仅有有限数量高保真数值样本可用时，克里金与高斯过程模型尤为有用，因其可同时提供响应近似与预测不确定性信息，从而支持自适应采样。相比之下，参数化程度更高的数据驱动代理模型通常需要更广泛的训练覆盖，但训练后可提供非常快速的重复评估。因此，代理选择不仅应考虑近似精度，还应考虑样本可用性、响应非线性、不确定性表示与所需重复评估次数。
基于克里金的代理模型已被应用于转子-轴承系统的轴承参数识别，自适应高斯过程模型已被用于基于运行响应的转子模型修正。最近，自适应混合核高斯过程模型已被纳入贝叶斯转子模型修正。
典型代理辅助FEMU程序包括：定义可接受的物理参数域；在定义域内生成参数样本；在采样点评估原始有限元模型；构建并验证代理模型；使用代理执行优化或不确定性分析；使用原始有限元模型重构并验证最终参数估计。
主要优势是计算效率。一旦构建完成，代理可在全局优化、蒙特卡洛采样、贝叶斯推断或重复参数估计期间快速评估。当原始模型需要多转速分析、大型有限元系统或非线性时域仿真时，这一优势变得重要。
主要限制是对训练样本所表示参数与运行域的依赖性。转子响应在临界转速、失稳边界、分岔点与接触转变附近可能快速变化。在整个参数域提供低平均预测误差的代理在参数识别重要的区域仍可能表现出显著局部误差。
自适应采样可通过在近似不确定性高或响应梯度大的区域添加数值样本来改善可靠性。当涉及强非线性响应状态时，局部代理模型可能比单一全局近似更合适。
应明确区分两个不同级别的验证。代理验证确定近似模型是否复现原始数值模型的未使用结果。物理模型验证确定最终更新的有限元模型是否复现独立实验测量。仅准确近似数值求解器并不证明物理模型正确。
4.5 贝叶斯与概率修正方法
确定性FEMU通常提供单一估计参数向量，而贝叶斯与概率方法使用概率分布表示不确定参数。
贝叶斯修正问题可表示为后验分布正比于似然函数与先验分布的乘积，其中先验分布表示不确定参数向量的先验知识，似然函数量化在指定参数向量下实测数据的概率，后验分布为修正结果，归一化常数或模型证据为分母。
先验分布表示可用工程知识、制造公差或物理可接受参数范围。似然函数在考虑测量不确定性的同时量化实测与计算响应之间的一致性。后验分布因此提供关于估计参数及其剩余不确定性的信息。
这一能力对旋转机械尤为相关，因为轴承、支承、结构与阻尼参数的多个组合可能产生相似的实测响应。贝叶斯修正可显式表示这种模糊性，而非迫使逆问题仅提供一个确定性参数估计。
贝叶斯FEMU因此在测量含噪、参数可辨识性有限或更新模型的不确定性本身为重要结果时有用。后验参数不确定性随后可传播到临界转速、响应幅值与稳定性边界等量。
贝叶斯与概率方法已被应用于转子-轴承-支承系统，用于估计不确定支承参数并量化后验参数依赖性。区间验证已被用于表征不确定转子-支承参数的可信范围，而高斯过程辅助贝叶斯修正最近已被应用于转子系统的实测不平衡响应。
主要限制是计算需求。使用马尔可夫链蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo, MCMC）或相关采样方法进行后验估计可能需要大量数值模型评估。高保真转子模型因此可能需要代理或降阶模型以实现实用概率修正。
贝叶斯结果还受假定先验分布、似然函数与残差协方差的影响。过度限制的先验可能主导测量中包含的信息，而过度宽泛的先验可能保留弱可辨识性并增加计算需求。
此外，模型形式误差不应仅表示为参数不确定性。如果数值模型中缺失重要物理机制，概率推断可能产生围绕物理误导参数值的窄后验分布。贝叶斯修正因此应伴随模型形式评估与独立验证。
4.6 人工智能驱动逆修正
基于人工智能的物理参数修正直接示例由Noever-Castelos等人提供，他们使用可逆神经网络公式从结构响应信息估计有限元参数。更一般地，神经网络、编码器-解码器模型、概率或可逆架构及物理引导方法可在其输出定义为可识别物理模型参数而非诊断类别标签时充当逆估计器。
相比之下，参考文献[20-28]未直接演示物理参数修正，因此被视为FEMU使能研究而非直接FEMU证据。其相关性在于振动特征学习、对噪声与变化运行条件的鲁棒性、仿真生成训练数据、合成数据增强、迁移学习与域适应等技术。这些能力可能支持未来的人工智能辅助FEMU，但物理参数修正还需要估计量对应可识别模型参数、被重新引入有限元模型并针对独立实验响应进行验证。
人工智能驱动FEMU使用包含物理参数与相应数值或实测响应的数据集来学习参数-响应关系的正演或逆演形式。
在正演配置中，训练后的人工智能模型近似有限元模型的响应，随后可纳入优化或概率推断。在逆演配置中，实测响应直接提供给训练模型以估计不确定物理参数。
神经网络、编码器-解码器架构、可逆神经网络与物理引导学习方法可被公式化为逆物理参数估计，尽管所综述人工智能研究中的直接FEMU证据主要由参考文献[19]代表。其适用性取决于逆问题特征与可用训练数据。当参数-响应关系被训练数据库充分表示时，传统神经网络或编码器-解码器模型适用于快速确定性估计，而当多个参数组合可产生相似响应时，概率或可逆架构更合适。物理引导方法可进一步使用已知物理行为与参数边界约束所估计关系。参数化有限元仿真通常提供主要训练数据库，并可使用实验测量补充。
主要优势是离线仿真与训练阶段完成后可快速推断。人工智能逆模型可近似复杂非线性参数-响应关系，因此可在直接有限元优化计算昂贵时支持重复参数估计。
然而，所得逆关系主要仅在训练数据库所表示参数与运行域内可靠。当实测响应对应于训练期间未表示的运行条件、机械配置、故障机制或参数组合时，参数估计可能变得不可靠。
完全由数值仿真生成的训练数据也继承原始数值模型的假设与模型形式误差。因此，对仿真数据的高预测精度并不证明推断参数准确表示物理机械。为缩小这种仿真-实验差距，数值训练域应包括运行条件、物理参数与测量特征的现实变化。当实验数据可用时，微调、混合仿真-实验训练或域适应策略也可用于改善向物理系统的迁移，随后使用训练中排除的实验响应进行验证。
其他重要限制包括仿真-实验差异、传感器变异性、运行条件变化、参数相关性与隐藏不可辨识性。确定性神经网络可能返回唯一参数估计，即使多个物理参数组合可复现相同实测响应。
概率与可逆架构可更显式地表示这种非唯一逆关系。然而，人工智能生成的参数估计应被视为候选物理参数，而非自动接受的模型修正。
估计参数应满足物理有意义的边界，并最终应重新引入原始有限元模型。重构模型随后应针对训练或参数估计期间未使用的实验响应进行评估。人工智能辅助逆分析因此应加速或支持FEMU，而非取代物理模型验证。
4.7 混合FEMU策略
没有单一FEMU方法对所有旋转机械应用最优。混合策略组合互补方法以平衡物理可解释性、参数可辨识性、数值鲁棒性、不确定性处理与计算效率。
代表性组合包括：灵敏度分析后接约束优化；由克里金或高斯过程模型加速的全局优化；代理辅助贝叶斯推断；确定性参数估计后接不确定性传播；基于物理的有限元模型与人工智能逆估计器组合；高保真离线修正后接降阶或代理辅助重复估计。
实用混合FEMU工作流始于物理参数化转子模型与有限候选参数集。首先使用灵敏度与参数相关性分析识别弱可观测或冗余参数。随后在缩减参数空间内执行优化、贝叶斯推断或逆学习。
当高保真有限元模型重复评估在计算上变得不可行时，可随后引入代理或降阶模型。无论估计使用何种计算方法，所得物理参数最终应在原始有限元模型中重构，并使用独立响应或运行条件进行验证。
混合FEMU的主要优势在于方法角色的分离。基于物理的建模定义可接受机制与参数；灵敏度分析评估可辨识性；优化或概率推断估计参数；代理或人工智能方法降低计算成本。
组合这些方法并不消除对物理有意义参数边界、模型形式评估、不确定性评估或独立实验验证的需求。
4.8 比较评估与方法选择
表1总结了本综述所考虑FEMU方法的主要特征。
方法选择不应仅基于最小标定残差。对于旋转机械，以下因素应联合考虑：更新参数的物理意义；参数灵敏度与可辨识性；可用测量的类型与质量；响应随转速与运行条件的依赖性；参数-响应关系的线性或非线性特征；对测量与参数不确定性的鲁棒性；计算资源与所需更新频率；在标定未使用的响应或运行条件下的预测精度。
基于灵敏度的修正适用于候选参数可识别且初始数值模型与实测系统合理接近的相对低维问题。当必须组合多个响应量或参数-响应关系非线性时，基于优化的方法更可取。当重复有限元
