微机电三轴陀螺仪的内部组合共振：实验结果与基于不变流形的降阶建模

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Internal combination resonance in a Micro Electro-Mechanical three-axis gyroscope: Experimental results and reduced-order modelling via invariant manifolds

　　

**摘要**

本工作研究了微机电系统（MEMS）三轴陀螺仪中的内部组合共振现象，其中三个振动模式通过关系式ω1+ω2≈ω3进行能量耦合。该现象首先通过频率响应测量和频谱图进行实验表征，揭示了仅在双频激励下出现的配对共振峰。随后，基于复正规形理论发展了一套理论框架，推导了频率响应曲线的解析表达式，并证明其能够复现实验结果。通过对完整的有限元网格（130万个自由度）应用不变流形的直接参数化方法（DPIM），构建了全耦合电磁耦合问题的降阶模型，展示了与实验的定量一致性和预测机制的有效性。该方法将不变流形参数化与复正规形理论相结合，架起了分析理解与实际有限元降阶之间的桥梁，在保持大规模系统计算效率的同时，为非线性现象提供了显式解。结果验证了不变流形方法作为MEMS设计与控制应用的可靠工具。

**引言**

微机电系统（MEMS）陀螺仪已成为惯性传感技术的核心，应用涵盖汽车稳定性控制、消费电子、航空航天导航和医疗设备[1]、[2]。对微型化和高性能的持续追求使这些器件进入非线性动力学现象不能再被视为微小扰动、而必须作为系统行为的固有特征的运行 regime[3]、[4]。这一发展需要能够准确表征复杂非线性相互作用，同时保持计算高效性的建模策略，以支持设计与分析。

模型降阶技术如今已常规用于MEMS非线性动力学分析。在这一领域，非线性正规模态（NNM），定义为相空间中的不变流形[5]、[6]，提供了一种有效且高效的策略，特别适用于阻尼值极小的MEMS动力学情形。NNM的概念最初由Rosenberg定义为保守系统的同步周期运动[7]，随后通过运用中心流形定理或正规形方法的后续研究经历了重大的理论发展[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]。最近，NNM作为不变流形的概念通过不变流形的参数化方法[14]、[15]得到了推广，该方法最初由动力系统社区提出。将此方法应用于振动系统揭示了以往的技术如何在同一框架内统一，每种技术对应一种参数化方式（或风格）[16]。利用参数化方法，谱子流形（SSM）的概念也被引入以解决唯一性问题[17]。虽然长期以来对于大规模有限元模型的不变流形的数值计算一直具有挑战性，但近期的方法学进展已实现了高效的实现[18]、[19]、[20]。在此背景下，我们将从物理空间直接操作的、无需先转换到模态基底的参数化方法计算数值技术统称为DPIM（不变流形直接参数化）。为了实现这一目的，已提出了不同的技术，如[18]中使用的范数最小化方法，以及[19]、[20]、[21]、[22]中采用的边界逼近技术。值得注意的是，DPIM已成功应用于复杂结构，能够从大规模有限元模型直接计算不变流形。该方法在捕捉多种非线性现象方面已被证明特别有效，包括主共振、次共振和内部共振[20]、[23]、[24]，近期的扩展还成功解决了受随动力的系统的挑战性问题[25]、[26]以及MEMS器件中全耦合电磁问题[27]。这些发展确立了DPIM作为跨机械和物理多场应用的通用非线性降阶框架的地位，相关研究仍在不断拓展其能力以应对日益复杂的场景。该方法的一个关键优势在于其灵活性：既可以使用高阶数值解获得复杂系统的收敛结果，也可以使用低阶解提供物理解释和分析洞察[27]、[28]、[29]。这种双重能力使得可以推导解析模型，揭示重要的非线性现象，如硬化/软化转变[10]、[28]、参数共振[22]、[27]、[29]、[30]和内部共振[31]。

内部共振现象代表了MEMS中一类特别具有挑战性的非线性行为，其中由于特定的频率关系，振动模式之间发生能量交换。内部共振的理论基础依赖于正规形理论，该理论揭示了本征频率之间的可公度关系如何通过非线性项实现模态耦合和能量交换[32]、[33]、[34]。Nayfeh和Mook的开创性工作对各种重要共振提供了详细分析[9]、[35]，随后在许多研究中得到了扩展[36]、[37]、[38]、[39]、[40]、[41]、[42]。在MEMS背景下，已对各种微结构中记录的1:n共振等特定内部共振进行了研究[43]、[44]、[45]、[46]、[47]、[48]、[49]。虽然直接内部共振已被广泛记录，但涉及三个或更多模式的组合共振代表了一类更为复杂的相互作用。基础性文献[9]、[50]已为这些场景建立了理论框架，近期的文献指出了其在连续结构中的存在，如充液壳体和风力涡轮机叶片[51]、[52]、[53]。这些共振以两种不同形式表现：内部组合共振，即三个结构模式满足ω3≈ω1±ω2，已在一般动力系统和专门应用中研究，如脉动流体管道和旋转轴[54]、[55]、[56]、[57]；以及外部组合共振，即一个频率分量来自外部驱动力，另外两个对应结构模式，已在各种机械系统中研究[58]、[59]、[60]、[61]、[62]、[63]、[64]。内部组合共振是本研究关注的重点，它给MEMS器件带来了特殊挑战，因为它可能促进在未被直接激励的模式之间产生意想不到的能量传递路径。在高性能传感器中，此类相互作用可能激活虚假响应，损害器件的稳定性和抑制能力。例如，向低阻尼模式的能量迁移可能显著延长机械冲击后的瞬态恢复时间，或导致振动抑制误差（VRE），即高频外部振动通过非线性效应被整流为低频偏置漂移。尽管近期研究已成功表征了静电驱动微梁中的内部组合共振[65]，但在复杂三维MEMS架构中系统研究这些现象仍是一个开放且关键的研究领域。

本文提出了一项综合性的调查，从实验观察到MEMS陀螺仪测试结构中一种意外的非线性现象开始。在进行研究已知1:2内部共振的实验时，初始频谱图数据揭示了一个表明内部组合共振的第二效应；这一观察促使进行了专门的实验活动来表征该现象。为了解释这些实验发现，随后发展了一个基于正规形理论的解析模型，为分类此类非线性相互作用提供了系统框架。最后，采用DPIM创建了控制器件动力学的全耦合电磁问题的高保真模型。实验数据与数值预测之间优异的定量一致性验证了我们的建模方法，并确认了内部组合共振的存在。

本文的组织如下。第2节描述所研究的跳动心脏陀螺仪的工作原理和设计。第3节随后呈现实验结果，从初始频谱图证据开始，进行到确认内部组合共振的详细实验活动。第4节发展了三振子系统中内部组合共振的理论框架以解释观测结果。第5节详述了电磁建模方法和DPIM降阶过程。第6节呈现了数值模拟结果，展示了内部组合共振现象，并与实验数据表现出优异的一致性。本文最后讨论了研究意义和未来的研究方向。

**章节摘要**

三轴跳动心脏陀螺仪

大多数现代先进MEMS陀螺仪都能测量角速度的三个分量[66]。图1展示了跳动心脏陀螺仪的原理示意图。传感质量由四个梯形部分组成，通过弹簧互连，弹簧既位于外角处，也连接各段与中心锚定点（图1a）。这种结构利用科里奥利力，该力作用于相对于准惯性参考系运动的物体上。

实验活动

本节详述了导致在陀螺仪测试结构中发现内部组合共振的实验调查。初始目标是表征[47]中报告的已知1:2内部共振。然而，在这些测试过程中，频谱图数据揭示了一种第二意外非线性相互作用。这一观察促使进行了专门的实验活动来系统研究该现象。所有测量均使用Zurich Instruments HF2LI锁相放大器完成。

理论发展：内部组合共振

第3节呈现的实验证据，具体而言当驱动频率ω1存在时模式对的激活，结合频率关系ω1+ω2≈ω3，强烈指向内部组合共振为潜在的机制。为验证这一假设并理解观测到的动力学行为，首先考虑一个简化的解析推导，其中取三个处于内部组合共振状态的非线性振子的复正规形作为基础。

高保真电磁建模

本节呈现了DPIM应用于非线性电磁系统的理论框架。虽然该技术是通用的，但我们在此聚焦于与MEMS器件静电驱动相关的表述，为第6节中具体陀螺仪的实现奠定基础。该方法首先在[27]中针对二维平行板驱动器进行了验证，在此直接应用于具有平行板和梳齿电极的三维器件，以捕捉其……

模拟结果

在本节中，直接由第2节引入的完整三维有限元网格（≈130万个自由度）生成了一个降阶模型，并将其预测结果与实验数据进行比较。通过选择3个主模式对器件进行DPIM参数化，分别对应驱动模式和频率为ω2和ω3的两个模式。此外，选择复正规形（CNF）风格，以确保与第4节呈现的结果直接连续……

**结论**

本研究对MEMS三轴陀螺仪中的非线性内部组合共振进行了全面调查，从实验发现到理论解释再到数值验证。研究起源于在表征已知1:2内部共振时意外观察到复杂非线性相互作用，随后推动了系统实验活动来揭示潜在现象。详细的频谱图分析……

**CRediT作者贡献声明**

Alessio Colombo：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、软件、方法学、调查、形式分析、数据管理、概念化。Marco Villa：撰写——审阅与编辑、验证、资源、数据管理。Federico Morelli：资源、监督。Patrick Fedeli：撰写——审阅与编辑、验证、监督、资源、数据管理。Cyril Touzé：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、监督、方法学。

**利益冲突声明**

作者声明以下相关关系和资金来源：

• Marco Villa、Federico Morelli和Patrick Fedeli是意法半导体（STMicroelectronics）的员工，作为其在公司的职业角色的一部分参与了本研究。
• Alessio Colombo感谢意法半导体在联合研究平台（STEAM）下与米兰理工大学合作提供的支持，该平台提供了研究经费和实验资源。
• Attilio Frangi感谢PRIN 2022计划的支持。

Alessio Colombo | Marco Villa | Federico Morelli | Patrick Fedeli | Cyril Touzé | Attilio Frangi