用于非线性结构力识别的联合优化网络

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：A joint optimization network for force identification on nonlinear structures

　　

•提出了一种联合优化网络（JO-Net），用于非线性动力力识别。•采用可微代理模型通过自动微分替代解析雅可比矩阵。•前向网络与逆向网络的联合训练实现了自适应误差补偿。•提出的NSC-Net通过数值模拟和非线性结构实验进行了验证。

**引言**

准确识别机械结构上的外部载荷对于结构健康监测（SHM）、风险评估和强度设计至关重要[1]、[2]。对于复杂工程结构，直接安装力传感器来测量工作载荷往往不切实际，因为这可能损害结构完整性并改变局部刚度。因此，通过求解动态逆问题从测得的振动响应（如加速度或应变）中重建力，已成为研究焦点。虽然已开发了许多力识别方法，但大多数方法是针对线性系统设计的。然而，随着现代工程设备趋向大型化和复杂化，结构响应与外部激励之间的关系往往呈现非线性特征。这些系统中线性叠加原理的失效给传统识别方法带来了重大挑战。

力识别本质上是一个不适定逆问题。传统方法主要基于频域频率响应函数[3]、[4]、[5]或时域传递矩阵[6]、[7]、[8]建立优化模型，并引入先验信息以提高稳定性和精度。正则化技术在处理此类病态问题上表现卓越；截断奇异值分解（TSVD）[9]、[10]、Tikhonov正则化[11]、[12]、稀疏正则化[13]、[14]以及基于小波的正则化方法[15]、[16]已被广泛应用。尽管取得了成功，但这些模型驱动的方法存在若干局限性。它们需要精确定义的正则化策略，对超参数高度敏感，且通常涉及较高的计算成本[17]。此外，它们对线性传递假设的依赖使其难以直接应用于非线性结构的力识别。为应对结构非线性问题，扩展卡尔曼滤波（EKF）[18]、[19]、[20]和无迹卡尔曼滤波（UKF）[21]、[22]、[23]被用于同时估计结构状态和未知激励。这些方法通过局部线性化或确定性采样处理非线性动力学，并提供实时识别的递归框架。然而，它们的性能强烈依赖于准确状态空间模型的可用性，这限制了其在复杂非线性结构中的应用。

近年来，深度学习的快速发展为力识别提供了新途径，利用人工神经网络强大的非线性拟合能力[24]、[25]、[26]、[27]。与线性模型驱动方法不同，数据驱动的深度学习方法是结构响应与外部载荷之间的直接非线性映射。Zhou等人[28]利用长短期记忆（LSTM）网络识别具有非线性边界条件的复合材料板上的冲击载荷，证明了深度网络对非线性结构的适用性。为减少大量实验数据的需求，Yang等人[29]提出了一种迁移学习方法。该方法利用近似传递函数生成的数据进行预训练，然后用测量数据进行微调。尽管取得了这些进展，但大多数现有模型基于通用神经网络架构，缺乏物理可解释性。此外，纯数据驱动模型往往表现出有限的泛化性能，在高测量噪声场景中难以胜任。物理信息神经网络（PINNs）和物理-数据混合神经网络在力识别[30]、[31]、[32]以及预测与健康管理（PHM）[33]、[34]中引起了越来越多的关注。通过在损失函数中融入物理定律，这些方法可以提高识别精度并减少数据依赖。然而，它们的有效性通常取决于显式控制方程的可用性、可靠的物理残差以及明确定义的边界条件。对于涉及螺栓连接、接触界面、摩擦耗散、间隙或非线性边界支撑的实际非线性结构，由于非线性恢复力和边界条件可能随载荷幅值和接触状态变化，这些残差项难以准确制定。因此，为这类结构直接构建高保真度物理信息损失仍然具有挑战性。

近年来，算法展开（AU）网络在逆问题领域取得了显著进展[35]、[36]、[37]、[38]。通过将传统优化算法的迭代步骤映射到深度神经网络层中，AU有效地将模型驱动的优化与数据驱动的深度学习相结合。该框架为构建逆问题的高效求解器提供了一种可解释的方式。然而，大多数当代AU研究都是针对线性逆问题定制的，在线性案例中的应用有限。在AU框架内，非线性可能破坏梯度计算的稳定性，从而降低网络的整体性能。Zhou等人[39]利用循环神经网络（RNN）来融合和处理梯度信息，开发了一种具有循环动量加速的深度学习展开网络，增强了网络求解非线性逆问题的性能。然而，值得注意的是，该方法仍需要显式解析前向模型来计算雅可比矩阵，使其难以直接应用于非线性结构的力识别。

在实际非线性结构中，显式解析前向算子及其雅可比矩阵通常不可用，这限制了传统模型驱动和展开逆求解器的直接应用。为解决这些差距，本文提出了一种用于非线性结构力识别的联合优化网络（JO-Net）。在JO-Net中，可微神经代理被嵌入到展开的近端梯度下降框架中，以近似非线性力-响应映射，而逆重建所需的敏感性信息通过自动微分而非解析雅可比矩阵获得。采用卷积编码器-解码器作为可学习近端算子来自适应捕获潜在特征。更重要的是，前向代理模型与逆向展开网络同时进行优化，使得学习到的结构映射和力重建过程能够以耦合方式精细化。此外，引入了一种混合梯度策略，将代理辅助的物理梯度与可学习的数据驱动梯度校正相结合，从而平衡物理一致性、对代理建模误差的适应性以及对测量噪声的鲁棒性。通过这种任务特定的整合，JO-Net为非线性结构中的力重建提供了一种可解释且自适应数据的逆求解器。

本文的创新之处在于将可微代理建模、代理辅助梯度计算和算法展开集成到联合优化框架中，用于在缺乏显式解析前向算子及其雅可比矩阵的情况下进行非线性力识别。本文的贡献总结如下：

(1) 提出了一种用于非线性结构力识别的联合优化网络（JO-Net），其中前向响应预测和逆向力重建被集成到统一的展开架构中。

(2) 开发了一种代理辅助雅可比机制，通过自动微分获取梯度信息，避免了非线性结构中对解析敏感性矩阵的需求。

(3) 引入了一种耦合前向-逆向训练策略，联合优化代理模型、梯度更新模块和可学习近端算子，从而提高前向建模与逆向重建之间的一致性。

(4) 设计了一种卷积编码器-解码器近端算子，以替代手动调优的正则化项，并从数据中自适应捕获潜在力特征。

本文其余部分组织如下：第2节阐述非线性力识别问题。第3节详细说明所提出的JO-Net框架构建方法。第4节和第5节分别通过数值模拟和实验研究验证了JO-Net的有效性和鲁棒性。最后，第6节总结本文并讨论了潜在的未来研究方向。

**逆问题建模**

对于零初始条件的线性动力系统，其控制方程可表示为：

???????(??)+???????(??)+??????(??)=???(??)

系统在外部激励下的响应可由以下卷积关系描述：

???(??)=∫?????(?????)????(??)????

其中???(??)表示由系统特性决定的脉冲响应函数。公式(2)可在时域离散化为以下矩阵-向量形式：

??=?????

其中矩阵S为系统的传递矩阵，??为响应向量。

**神经网络代理建模**

由于非线性前向算子???(?)及其梯度在PGD迭代过程中计算效率低下，因此需要一种高效且可微的代理模型来实现非线性结构力的快速识别。深度神经网络具有优异的非线性建模能力，训练完成后能够快速完成前向推理，与显式求解动力学方程相比在计算速度上具有显著优势。

在本研究中，采用了一种……

**数值研究**

本节在一个具有间隙的非线性四自由度系统上进行数值模拟，以验证所提出的JO-Net用于非线性结构力识别的有效性。待研究的非线性系统如图2所示，其控制方程如下：

??? ????????+????????+????(?????????)+???????+????(???????)=???

????????+????(?????????)+????(?????????)+????(???????)+????(???????)=???

????????+????(?????????)+????(?????????)+????(???????)+????(???????)=???

????????+????(?????????)+????(???????)+??_??_??_???(???)=???

其中 ??_??_??_???(???)=??_??_???(???)（间隙接触力函数）

**实验设置**

除数值基准中使用的受控非线性系统外，进一步在真实非线性结构上进行实验验证，以评估所提出的JO-Net的实际性能。测试结构由两个不锈钢圆柱和一个中心金属质量块组成。具体而言，两个圆柱通过24个M8螺栓连接，而质量块通过4个M6螺栓和一个内部衬板固定在圆柱1上。螺栓连接和……

**结论**

本文提出了一种联合优化网络，用于实现非线性结构的动力力识别。通过将可微代理模型无缝集成到算法展开框架中，JO-Net弥合了模型驱动可解释性与数据驱动灵活性之间的差距。与受限于刚性解析先验的传统算法展开方法不同，所提出的架构利用神经代理来近似复杂的前向动力学……

**CRediT作者贡献声明**

Rui Zhou：撰写-初稿，可视化，方法论，数据整理，概念化。

Baijie Qiao：撰写-审阅与编辑，监督，资源，方法论，资金获取。

Liangliang Jiang：验证，软件，方法论，数据整理。

Wei Cheng：撰写-审阅与编辑，验证，资源。

Boyi Wang：验证，软件，数据整理。

Yanan Wang：可视化，资源，方法论。

Xuefeng Chen：撰写-审阅与编辑，监督，概念化。

**利益冲突声明**

作者声明不存在已知的可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

**致谢**

本工作由国家自然科学基金资助（编号：52305127和52475130）。

Rui Zhou|Baijie Qiao|Liangliang Jiang|Wei Cheng|Boyi Wang|Yanan Wang|Xuefeng Chen