一种基于高效分数阶 Sobol 拟蒙特卡洛模拟的传感器退化下机床热误差预测模型可靠性估计及可解释性增强

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：An efficient fractional Sobol-Quasi-Monte Carlo simulation based reliability estimation with enhanced explainability of machine tool’s thermal error prediction model under sensor degradation

　　

• 在真实传感器退化条件下提出了一种以可靠性为驱动的模型选择方法。
• 针对RTD传感器开发了一种基于物理机理的退化仿真模型。
• 引入分数阶Sobol准蒙特卡洛（FS-QMC）方案用于可靠性估计。
• FS-QMC方案同时探索离散退化状态和连续退化参数。
• 增强了退化感知的可解释性，以识别关键传感器及其状态。

**引言**

精密零部件持续生产的需求日益增长，凸显了制造业对精密机床（MTs）的迫切需求 [1]。然而，机床在设计、制造、装配或使用过程中会继承各种误差，这阻碍了其加工具有严格公差零部件的能力 [2], [3]。机床的热误差是已加工零件总体误差中贡献最大的因素之一（约占75%），必须有效解决以满足精密零部件生产的需求 [4]。为此，各种利用误差规避 [5], [6] 或误差补偿 [7], [8] 的方法被用于解决机床热误差问题。其中，利用各种机器学习（ML）[9] 和深度学习（DL）[10] 模型进行误差补偿的方法因其易于实施和成本效益高而受到广泛关注。该方法采用热误差预测模型（TEPMs），捕捉机床热点温度与刀具中心点处测量热误差（实验测量 [11] 或数值计算 [12]）之间复杂、非线性的关系，从而实现实时热误差预测 [13], [14]。考虑到开发简便性，许多研究人员和行业探索了多元线性回归（MLR）模型来开发TEPMs [15], [16]。然而，机床热滞回误差的不确定性 [17] 可能削弱MLR模型的鲁棒性，因为它们无法准确捕捉非线性关系。相比之下，基于支持向量回归（SVR）的TEPM因其基于核的学习机制而显示出良好的预测精度，使其能够从较小的数据集中捕捉非线性关系 [18], [19]。基于神经网络模型被广泛用于热误差预测，因为它们能够捕捉输入与输出之间复杂的非线性关系 [20], [21], [22]。在这一方向上，深度学习模型（如长短期记忆网络（LSTM）、双向LSTM）的发展目前正获得重要关注，它们能够捕捉时间依赖性和复杂的非线性关系，从而实现鲁棒的TEPMs [23], [24], [25]。最近的研究采用变压器模型进行热误差预测，利用基于注意力机制的方法来捕捉数据中的时间依赖性 [26]。

然而，大量可用的TEPMs（各有独特的优势和局限）、数据噪声（例如温度与热变形之间）、数据可获得性等因素，使得工业界难以选择合适的、鲁棒的模型用于实时部署。选择TEPM的传统方法是在有限的测试数据集上比较误差指标，如均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）和平均绝对百分比误差（MAPE）。在这一方向上，一项比较研究了线性回归、决策树回归、多层感知器回归和弹性网络TEPMs，最终选择了基于神经网络的模型，得出结论认为TEPM精度取决于用于模型训练的数据质量 [27]。在实时场景中影响输入数据质量的关键模块包括：(i) 模型所针对的物理系统的退化 [28]，以及 (ii) 模型预测所依赖的传感器网络输入的退化 [29]。这些外在退化因素，加上所开发的基于ML/DL的TEPMs的内在学习机制 [30], [31]，影响了实时实施场景中的鲁棒性 [32]，从而影响热误差补偿的有效性。在这一方向上，自适应自学习补偿包括基于探针的现场热误差测量，以更新TEPM参数并缓解机床退化的影响 [33]。一种数字孪生使能的热误差补偿策略被开发用于动态更新模型参数并适应不同的机床运行条件 [34]。此外，几项研究通过增强模型的学习机制报告了TEPMs鲁棒性的提升。通过使随机森林算法TEPM模型在训练过程中同时评估和选择每个特征（温度传感器数据）的重要性，增强了其鲁棒性 [35]。将Group-LASSO与含外生输入的自回归模型以及粒子群优化方法相结合，在TEPM训练过程中同时估计最优输入 [36]。此外，一种灰关联分割、无偏热误差鲁棒建模方法通过直接应用灰关联算法选择关键温度敏感点，增强了TEPM的鲁棒性 [37]。这些研究强调了在提高TEPM鲁棒性方面：(i) 训练过程中识别温度传感器数据中关键特征的重要性，以及 (ii) 温度传感器数据质量的作用。

另一方面，传感器网络向模型提供故障输入可显著降低模型性能 [38]。为此，通过强调结构健康监测（SHM）系统实际运行环境中的干扰因素，基于带有属性可靠性的信念规则库的传感器网络健康预测模型被用于提高健康监测精度 [39]。一种联合传感器和系统退化模型被开发用于准确预测系统剩余使用寿命（RUL），通过利用Wiener过程和Gamma过程来考虑传感器退化 [40]。另一项研究表明，由于传感器老化、缺陷或环境因素，传感器容易受到故障影响，如数据丢失、随机噪声、偏差等，并开发了一个使用卷积神经网络和卷积自编码器来检测和分类传感器数据中故障存在的框架 [41]。此外，假设故障数据遵循高斯分布，使用自回归积分滑动平均模型检测传感器数据中的异常 [42]。类似地，若干研究将捕捉传感器退化的模型与系统退化模型集成，以提高RUL预测 [43], [44], [45]。Casta?o等人 [46] 综述了传感器可靠性及其对信息物理系统的影响。上述研究表明传感器退化会影响模型性能；换言之，所开发的模型可能因实时部署中的不确定性而失效，这表明需要在传感器退化条件下估计热误差预测模型的可靠性。

此外，铂电阻温度检测器（RTDs）因其重复性和工业认可度而被广泛用于机床补偿模块的温度传感。RTDs的温度-电阻标定和容差等级已标准化（例如IEC 60751），这使得基于底层物理原理理解RTD行为成为可能 [47]。然而，动态环境中的电阻温度计可能出现热滞后现象，通常用一阶或高阶时间常数模型来建模，并已在动态温度变化下进行实验研究 [48]。因此，与其采用纯数据驱动的uncertainty，不如集成一个基于物理机理的RTD退化仿真模型——该模型能够捕捉静态效应、动态效应以及故障模式（如偏差/噪声/掉线），从而成为生成逼真退化温度输入的必要条件（避免了为生成退化数据而搭建繁琐的实验装置），这些输入是TEPMs在长期车间部署中面临的。

从模型性能评估的角度来看，在有限测试数据集上评估的传统误差指标（如RMSE、MAE、MAPE等）不能准确反映模型在实时部署场景中的鲁棒性，在这些场景中模型输入可能因传感器退化或故障而退化或失效。在这一方向上，结构健康监测（SHM）系统的可靠性通过建模传感器退化过程（使用Petri网）进行估计，并应用Kullback-Leibler散度结合贝叶斯反演来量化因传感器故障导致的信息损失 [49]。然而，所提出的框架旨在估计SHM系统的可靠性，涉及物理信息驱动的贝叶斯推理，不适用于解决复杂系统（如机床热误差问题）中不确定性增加的问题。此外，伺服轴的基于物理的热误差模型的可靠性使用深度置信网络和蒙特卡洛模拟（MCS）进行评估 [50]。在另一项研究中，核电厂仪控系统使用的基于机器学习的模型可靠性通过应用于训练数据集的数据审计和分布外检测来评估 [51]。因此，在实时部署中，估计模型可靠性至关重要，此时与系统/传感器退化相关的不确定性概率是相当的。此外，文献中报告了多种模拟方法来估计系统/模型的可靠性，通过模拟真实世界场景来实现。在这一方面，Afsari等人 [52] 综述了基于ML的结构可靠性分析，其中ML模型用于近似极限状态函数，并使用如MCS、一阶和二阶可靠性方法以及重要性采样等方法进行模拟。此外，蒙特卡洛模拟因其 (i) 概念简单、(ii) 在最小假设下渐近无偏、(iii) 收敛速率与维度基本无关，仍然是可靠性估计的主流基准，使其在极限状态非光滑或隐式时仍具有广泛的适用性 [53], [54]。然而，相同的维度无关性也使得MCS在需要反复调用复杂ML/DL TEPMs并面对大量退化实现时计算成本高昂。相比之下，准蒙特卡洛（QMC）方法用低偏差序列（如Sobol序列）替代伪随机采样，以更均匀地填充单位超立方体，这可以为许多工程被积函数带来更快的实际收敛 [55], [56], [57]。Sobol序列是广泛用于高维积分和不确定性传播的数字 $[t(\text{质量参数}), s(\text{维度})]$ 序列 [55]。此外，随机化QMC变体（如Owen scrambling）在保持无偏性的同时降低方差，使以QMC级别的效率实现"类似蒙特卡洛"的误差评估成为可能 [58]。这些特性促使QMC作为当可靠性评估需要反复调用高保真模型时，传统MCS的计算高效替代方案。此外，QMC在可靠性研究中的传统使用通常被表述为MCS的采样替代品；然而，对于基于传感器网络的TEPMs，方法上的清晰性还要求对低偏差序列的初始化和映射进行明确描述，即如何将准随机向量转换为 (i) 离散传感器退化场景（哪些传感器退化）和 (ii) 连续退化参数（如滞后时间常数、偏差、漂移、噪声水平、掉线概率），从而使可靠性估计在不同TEPM学习机制中变得可复现且可解释。

然而，考虑传感器退化来估计机器或深度学习模型的可靠性仍然是一个未被充分探索的领域。此外，传感器网络中单个传感器的退化对所开发模型可靠性的影响需要加以解释，以理解其核心优势/劣势，而这些并未与模型可靠性估计集成。另一方面，ML/DL模型中单个特征的重要性通过几种方法得到证明，如Pearson相关性分析 [59] 和可解释人工智能（XAI）技术，如Shapley加性解释方法（SHAP）[60], [61]。然而，这些方法无法量化当特定传感器退化时模型可靠性如何变化。换言之，它们识别的是健康条件下的重要传感器，但未能揭示哪些退化传感器状态对TEPM可靠性影响最大。这种区别很重要，因为标称条件下的传感器重要性与退化条件下的传感器关键性不一定相同。因此，需要退化感知的可解释性来识别不仅重要的传感器，还识别对模型可靠性影响最大的退化传感器状态。

为了进一步阐明研究现状，表1总结了与热误差补偿、鲁棒性增强、可靠性评估和传感器退化分析相关的代表性研究。比较突出了现有方法的局限性并体现了本文工作的新颖性。

基于上述文献综述，现有研究的局限性可总结为：

1) **以精度为中心的模型选择**：大多数TEPM研究基于标称预测精度选择模型，而未评估在退化传感条件下的可靠性。

2) **缺乏真实的传感器退化建模**：现有的热误差补偿研究很少纳入基于物理的RTD退化机制来评估模型在真实退化输入下的性能。

3) **可靠性导向评估有限**：可靠性估计方法尚未在混合离散-连续传感器退化场景下与TEPM选择系统整合。

4) **缺乏退化感知的可解释性**：现有的特征重要性分析未能揭示特定的传感器退化模式如何影响TEPM可靠性。

因此，本文的主要目标是解决上述差距——选择合适的热误差预测模型，而当前的工业实践中通常仅在健康数据集上以精度指标为唯一标准进行选择。在实时部署的背景下，TEPMs的性能受到温度传感器网络的不确定性和渐进退化的强烈影响。

因此，本研究的范围是开发一种以可靠性为导向且可解释的TEPM（热误差预测模型）选择评估框架，通过明确引入基于物理的RTD传感器退化机制，量化在退化传感条件下满足允许热误差阈值的概率。此外，所提出的方法旨在通过将可靠性损失归因于各个传感器及其退化状态，提供关于模型鲁棒性或失效的合理依据，从而支持可操作的决策，例如传感器优先级排序、冗余规划或部署阶段的模型选择。

本研究的创新性在于将可靠性工程、传感器退化建模和可解释机器学习整合到统一的TEPM选择框架中。与主要关注预测精度或鲁棒性提升的现有研究不同，所提出的框架在逼真的RTD退化场景下明确量化了竞争性TEPM的可靠性，并提供感知退化的传感器关键性见解。这使得热误差补偿模型的部署导向评估更加完善，并支持工业应用中明智的模型选择。本研究的主要贡献总结如下：

1) 开发了一种可靠性驱动的TEPM选择框架，通过在逼真的RTD传感器退化条件下评估模型满足预定义性能要求的概率，来评估和比较热误差预测模型。

2) 提出了一种基于物理的RTD退化和FS-QMC（分数Sobol拟蒙特卡洛）可靠性估计方法，用于高效建模包含滞后、噪声、偏差、漂移和传感器失效的混合离散-连续退化场景。

3) 通过与FORM、MCS和ISM进行对比，并开展收敛性和敏感性分析以及鲁棒/不确定性感知的TEPM变体，建立了一个全面的基准测试和鲁棒性评估框架。

4) 引入了一种感知退化的可解释性方法，用于识别退化运行条件下的传感器关键性，并补充传统的皮尔逊相关系数和基于SHAP的特征重要性分析。

论文其余部分安排如下：第2节介绍所提出的方法，包括RTD退化模型、FS-QMC可靠性估计框架、基准可靠性估计器以及感知退化的可解释性方法。第3节描述了车削中心案例研究，包括实验装置、数据集准备、模型开发以及用于可靠性评估的实现细节。第4节呈现并讨论了研究结果，涵盖健康状态和退化传感器条件下的模型性能、基准对比、收敛性和鲁棒性分析、敏感性研究以及感知退化的传感器关键性评估。最后，第5节总结了研究的主要结论并概述了未来研究的潜在方向。

方法节选

图1展示了所提出的概念框架概述，包括：（i）从大量可用的TEPM中选择热误差预测模型，同时考虑传感器状态从正常到不同程度的退化（即滞后、噪声和失效）；以及（ii）传感器贡献对可靠性恶化的定量可解释性。此外，该图还突出了与案例研究相比所提出框架的独特特性和概念区别。

案例研究

所提出的可靠性驱动框架使用从斜床CNC车床（图3）收集的实验数据进行了验证。该案例研究旨在评估所开发TEPM在代表性RTD退化状态下的可靠性，以选择一个鲁棒的TEPM。为此，进行了空切车削试验，测量了车削中心关键热斑的温度 T=T1, T2, ?, T6，以及对应的刀尖点漂移（δ）。

结果与讨论

本节呈现并讨论了车削中心研究的结果，该研究在传感器退化条件下选择鲁棒的热误差预测模型，除预测精度外还考虑了模型可靠性以及所提出的可解释性功能。首先，在4.1节中讨论了所考虑的TEPM开发结果，这些模型因其学习机制而具有独特能力。随后，对所开发模型的可靠性进行了估计。

发现总结

本研究建立了一个可靠性驱动框架，用于在温度传感器退化条件下选择和解释热误差预测模型（TEPM）。与传统仅依赖健康状态预测精度的评估方法不同，所提出的框架整合了用户定义的误差阈值、基于物理的电阻温度探测器（RTD）退化模型、极限状态表述以及分数Sobol拟蒙特卡洛（FS-QMC）模拟。

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的竞争经济利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

致谢

作者感谢印度科学和教育培训委员会总理博士研究奖学金计划、印度印度工商会以及印度ACE Micromatic集团的资助。作者还感谢IITM PRAVARTAK技术基金会（由印度政府科学技术部下属跨学科网络物理系统国家任务赞助）提供的支持。

Shashi Bhushan Gunjan | D.S. Srinivasu