用于考虑几何和材料非线性的结构优化的可微非线性分析

《Advances in Engineering Software》：Differentiable nonlinear analysis for structural optimization with geometric and material nonlinearities

　　- 面向桁架优化的可微非线性分析。- 一致地考虑几何非线性和材料非线性。- 平滑弹塑性建模实现了可微优化。- 开发了一种高效的高混合法-自动微分（hybrid adjoint-AD）灵敏度框架。## 引言结构优化长期以来一直是工程设计中的重要工具，能够在给定约束条件下系统地确定高效且高性能的结构[[1], [2], [3], [4]]。结构优化设计涵盖了理论视角和实际视角下的各个方面，例如基于可靠度的结构优化[[5], [6], [7], [8], [9]]、基于性能的结构优化[[10], [11], [12], [13], [14]]、轻量化与低碳优化设计[[15], [16], [17], [18], [19]]。在过去几十年中，基于梯度的结构优化取得了显著进展，尤其是高效灵敏度分析技术和大规模优化算法的发展[[20], [21], [22], [23]]。然而，大多数现有方法建立在线性或弱非线性假设之上，使用小变形和线弹性材料模型来近似结构响应。虽然这种简化在许多传统应用中是可以接受的，但当结构在复杂载荷条件下工作、经历大变形或涉及具有非线性本构行为的高级材料时，这些简化可能不再适用。在实际工程系统中，几何非线性和材料非线性常常共存并以非平凡的方式相互作用[[24], [25], [26], [27], [28]]。几何非线性源于大位移和大旋转，导致非线性应变-位移关系以及变形过程中刚度的变化。材料非线性则与非线性应力-应变响应相关，例如金属结构中的弹塑性行为和软材料中的超弹性行为。这两种非线性来源之间的耦合会显著影响结构响应，包括刚度演化、载荷重新分配和变形模式。因此，忽略任何一种效应都可能导致对结构行为的预测不准确，进而影响优化结果的可靠性[[29], [30], [31], [32]]。尽管非线性效应的重要性已被广泛认可，但将几何非线性和材料非线性同时纳入结构优化仍然充满挑战。一个主要难点在于非线性分析本身，需要采用牛顿-拉夫森法等迭代求解过程，并配合一致线性化以确保收敛。更为关键的是，基于梯度的优化依赖于准确的灵敏度信息，而在几何非线性和材料非线性存在的情况下，这些灵敏度变得 considerably 复杂[[33], [34], [35]]。残差方程隐式地依赖于状态变量和设计变量，一致灵敏度的推导通常涉及繁琐的解析表达式，特别是当考虑节点坐标等几何设计变量时更是如此。这些挑战限制了能够处理复杂非线性结构行为的高效优化框架的发展。近年来，可微仿真作为一种在复杂系统中实现基于梯度优化的有前景的范式应运而生。通过构建对输入参数可微的计算模型，可以运用自动微分（AD）[36] 来计算精确的导数，而无需借助有限差分近似和繁琐的解析推导。这一思路已成功应用于多个领域，包括流体力学[37]、机器人学[38]和软体物理[39]。在机械与结构工程领域，此类技术的采用仍处于早期阶段。Chandrasekhar 等人[40] 开发了一个拓扑优化框架，其中嵌入 AD 来自动计算灵敏度。Xue 等人[41] 提出了一种用于结构反演的可微 GPU 加速 3D 有限元求解器。Wu [42] 提出了一种基于自动微分的结构形状优化框架。Lee 等人[43] 提出了一种用于桁架优化的可微结构分析框架。Jia 等人[44] 提出了一种支持并行计算的、用于连续体结构拓扑优化的 AD 驱动有限元框架 FEniCS。Wang [45] 开发了一种涉及广义特征值分析的 AD 驱动结构优化框架，有效解决了自由振动和线性化屈曲问题。然而，大多数现有研究仍局限于线弹性分析，直接涉及几何非线性与材料非线性耦合问题的研究工作十分有限。这是因为将 AD 直接应用于非线性有限元分析并非 straightforward。特别是，通过 AD 构造完整的雅可比矩阵可能会引入显著的计算和内存开销，且可能无法充分利用有限元离散化固有的稀疏结构[46]。此外，经典弹塑性本构模型涉及与屈服和加载-卸载转换相关的本质上非光滑行为，这进一步增加了构建可微分析框架的复杂性[47]。为应对这些挑战，本文提出了一种面向结构优化的可微非线性分析框架，该框架一致地考虑了几何非线性和材料非线性。考虑了两种代表性非线性材料模型——超弹性和弹塑性，其中后者通过平滑策略进行正则化以确保可微性。不是完全依赖整个迭代非线性分析过程的全 AD，而是开发了一种 AD 与伴随方法相结合的混合灵敏度分析方法。具体来说，直接利用前向非线性分析中获得的一致切线刚度矩阵来表示残差关于状态变量的导数，而 AD 则选择性应用于计算关于设计变量的导数。这种混合策略保留了经典有限元方法的效率和稀疏性优势，同时避免了繁琐且容易出错的解析推导。所提出的可微分析框架进一步集成到一个基于梯度的结构优化方案中，在该方案中以位移和应力约束为条件最小化结构重量。所得的公式为处理结构设计中的复杂非线性行为提供了一种统一且灵活的方法。本文给出了数值算例以验证所计算灵敏度的准确性，并展示了所提方法在涉及材料非线性、几何非线性及其耦合问题中的适用性。本文其余部分安排如下。第2节给出问题公式化，第3节开发可微非线性分析方法，第4节提出混合 AD-伴随灵敏度分析策略，第5节提出优化框架，第6节通过若干典型数值算例验证所提框架的有效性，最后第7节进行讨论和结论。## 各节摘要### 问题公式化本节在统一框架中给出非线性结构优化问题的公式化描述。设计变量、状态变量、控制方程和优化问题以一种适合后续可微分析和灵敏度计算的方式进行定义。### 可微非线性分析在几何非线性和材料非线性条件下准确评估结构响应对于可靠优化至关重要。本文开发了一个统一的非线性分析框架用于桁架结构，其中几何非线性和材料非线性在可微公式化中一致地被纳入。控制方程以残差形式表达，作为前向分析和后续灵敏度计算的基础。### 灵敏度分析基于梯度的结构优化需要对目标函数和约束函数关于设计变量的导数进行准确且高效的评估。在非线性结构问题中，状态变量通过平衡方程对设计变量具有隐式依赖关系，使得这些灵敏度变得复杂。本节首先讨论一种应用于整个非线性分析过程的直接 AD 方法。然后讨论其计算局限性。### 优化框架基于前面各节开发的可微非线性分析和灵敏度分析，建立了统一的基于梯度的结构优化框架。所提出的框架将非线性有限元分析、自动灵敏度评估和基于梯度的设计更新整合到单一计算循环中，使得涉及几何非线性和材料非线性的结构能够实现高效优化。所提出的框架由两个紧密耦合的部分组成……### 数值算例本节采用若干典型算例来验证和测试所提出的自动结构设计优化方法的能力。可微分析框架使用 PyTorch [49] 实现。采用具有默认参数设置的移动渐近线法（MMA）算法[50] 来求解所有优化问题。当目标函数或设计变量的最大相对变化量……### 讨论与结论本文提出了一种面向桁架优化的可微非线性分析和优化框架，同时考虑了几何非线性和材料非线性。该框架将非线性有限元分析、可微本构建模、混合灵敏度分析和基于梯度的优化整合到统一的计算公式中。几何非线性通过全拉格朗日公式化纳入，同时考虑了超弹性和弹塑性……### CRediT 作者贡献声明**王亚风：** 写作——审阅与编辑，写作——原始草稿，可视化，验证，软件，方法学，调查研究，获取资金，形式化分析，概念化。**安一龙：** 形式化分析，调查研究。**徐贤：** 获取资金。**罗耀之：** 项目管理。