大语言模型作为优化控制器：SIMP拓扑优化的自适应延拓法

《Advances in Engineering Software》：Large language models as optimization controllers: Adaptive continuation for SIMP topology optimization

　　

**摘要要点**

- LLM智能体在线控制SIMP继续参数，无需微调。
- 直接数值控制（DNC）在每次LLM调用时输出浮点值 ??、??、??min、??。
- 后期尾部锐化解释了二维性能增益的重要部分。
- LLM是一个状态条件控制层，而非峰值二维求解器。
- 区分软件可复现性、缓存回放和实时LLM可复现性。

**引言**

拓扑优化旨在在给定的设计域 ?? 内寻找材料分布 ??(??)，在满足平衡方程和体积约束的条件下最小化结构目标函数。SIMP方法 [1], [2] 仍然是主流的计算范式：单元密度 ????∈[0,1] 作为设计变量，幂律刚度插值 ??(????)=??min+??????(??0???min)，??≥1，对中间密度进行惩罚以促进实-空二元解。当 ??>1 时惩罚中间密度，而 ??=1 对应于早期继续阶段使用的无惩罚初始插值。在基本SIMP公式中，公式(1)中的 ???? 表示原始单元密度；在下方介绍的三场扩展中，幂律法则作用于投影后的物理密度 ?????（见第3.1节公式(5)）。在Wang等人 [3] 的三场公式中，原始设计场 ?? 在进入有限元求解之前经过两次连续变换：半径为 ??min 的线性密度滤波器产生平滑场 ???，然后通过Heaviside投影将 ??? 映射为物理密度 ???：

????? = [tanh(????) + tanh(??(????????))] / [tanh(????) + tanh(??(1???))]

其中 ??∈(0,1) 是阈值参数，??≥1 控制投影的锐度。当 ??→∞ 时，公式(2)趋近于阶跃函数，??? 变为二元的；当 ??=1 时映射几乎是线性的 [3], [4]。将设计空间与物理密度解耦是三场方法的关键优势：滤波器强制执行最小长度尺度，而Heaviside投影驱动二值化，两个过程可以分别通过 ??min 和 ?? 独立控制。

尽管该公式设计精巧，但实际性能对继续时间表极为敏感：即 ??、??、??min 和最优化准则（OC）移动极限 ?? 在求解过程中变化的轨迹。过早增加 ??——在连贯的结构拓扑尚未形成之前——会将设计锁定在一个较差的局部最优中，梯度方法无法从中逃逸；相反，延迟锐化会浪费计算预算在过度灰度的中间场中 [4], [5]。标准做法依赖于由从业者标定的单调时间表——通常 ?? 采用线性斜坡，?? 在固定迭代间隔处采用几何倍增——这些参数为特定问题类型、网格分辨率和迭代预算调优，每当其中任何一项变化时都必须重新标定 [3], [4]。

固定时间表的继续策略的根本局限在于它是开环的：时间表承诺的参数值演进独立于密度场中实际发生的情况。考虑两个其他方面相似的问题实例或继续轨迹，由于边界条件、网格分辨率、求解器设置或继续时机的不同，其灰度历史不同。在给定迭代处，一条轨迹可能仍然高度灰度而另一条已经准备好进行锐化，但固定时间表对两者施加相同的 ?? 更新。如果 ?? 仍在快速下降——表明材料正在惩罚下积极整合——过早增加 ?? 会中断这一过程并将次优拓扑固化。相反，如果 ?? 已经停滞而 ?? 仍然较低，时间表可能继续在灰度、低惩罚阶段投入迭代，而非推进至锐化。

这种敏感性并非轻微的实际不便。我们的实验证实，仅运行与自适应智能体相同阶段结构但不观察实际求解器状态的纯时间表控制器，在三个测试问题中有两个的表现差于无继续的固定基线（悬臂梁：+0.43%；MBB梁：+1.09% 相对固定基线；见第5节和第4.3节）。这一结果值得注意：在这些案例中，结构化时间表的表现可以差于无继续策略，因为每次阶段转换都会锁定参数值，而这些值对于特定运行的实际轨迹可能是过早或延迟的。这为需要一种闭环、状态条件控制器的必要性提供了动机，该控制器能够实时观察、推理和响应不断演变的拓扑。更广泛地说，这一局限体现了计算力学中反复出现的张力：迭代数值方法通常依赖于嵌入了解决轨迹隐含假设的超参数时间表，然而最优时间表在不先求解问题的情况下无法得知。SIMP中的继续策略是这一张力的特别干净的实例，因为四个控制参数（??、??、??min、??）具有直接的物理含义，而反馈信号（灰度、柔顺度、体积）信息丰富且计算成本低廉。这使其成为研究语言模型引导的闭环控制能否在基于物理的求解器中补充和竞争手工调优开环时间表的理想试验平台。

近期的大语言模型（LLM）推动了使用文本条件系统进行数学、科学问答和多步骤规划任务的研究 [6], [7], [8], [9], [10]。特别相关的是LLM作为智能体的范式：模型观察状态表示，以自然语言进行推理，并输出结构化动作 [10], [11]。该范式已应用于代码生成 [12]、机器人控制 [13]、材料发现 [14] 和多目标优化 [15]，但据我们所知，尚未应用于基于密度的拓扑优化中全部四个继续参数的联合在线控制。最接近我们设置的，Rojas-Labanda和Stolpe [16] 使用收敛触发规则仅自适应调整 ??，而Dunning和Wein [17] 使用固定灰度规则控制 ?? 步骤；两者均未采用对全参数集的学习状态条件策略。

LLM作为优化器的框架在此应用中具有多方面吸引力，可以定位于动态算法配置（DAC）范式 [18], [19] 中：而非通过强化学习来学习策略，具有SIMP领域知识的LLM直接充当策略，避免了基于RL的DAC所需的大量环境交互。概念上，智能体的行为也呼应了课程学习 [20]：SIMP继续是逐步增加难度的一种形式，而LLM读取优化器的当前状态来自适应地控制这一课程的节奏，而非遵循预定时间表 [21]。首先，它不需要训练或微调：关于SIMP继续的领域知识——何时提升 ??、如何解读灰度停滞、为何过早二值化有害——可以直接编码在系统提示中。其次，LLM的输出立即可解释：它输出 (??, ??, ??min, ??) 并附有一行理由说明，为每次参数决策提供了自然的审计轨迹。第三，控制器观察当前运行的状态变量而非存储的问题标签。当前证据仅限于测试的基准族：三个二维载荷/支撑模式和两个辅助三维案例，均为所报告体积分数和网格分辨率下单载荷柔顺度最小化。本研究未系统变化体积分数、网格分辨率或留出载荷和边界条件，因此不声称对其他几何形状和问题设置的普遍适用性。这些特性与黑箱代理或贝叶斯优化方法形成鲜明对比，后者对完整运行轨迹进行优化，通常需要大量历史运行或问题特定参数化 [22], [23]。

从更广阔的视角来看，这项工作处于两个很大程度上独立发展的趋势的交汇点。一方面，计算力学社区积累了数十年的从业者关于继续策略的知识——这些知识通常通过教程、代码注释和试错传递，而非通过形式化算法。另一方面，LLM社区已证明语言模型能够吸收并将此类非正式领域知识操作化，当它们被编码为自然语言指令时 [9], [10]。本研究通过表明从业者的SIMP继续理解——"拓扑仍然灰度时不要提升 ??"——可以通过编码在系统提示中并让模型自适应地应用于每次运行，转化为可执行的、状态条件策略，从而将这两条路线连接起来。结果既不是对领域专家的替代也不是黑箱代理，而是一种将定性工程判断转化为定量求解器控制的机制，具有可审计的逐次调用决策和可测量的API开销。

本文作出以下贡献：

1. **状态条件直接数值控制层。** 我们设计了一个以直接数值模式运行的LLM控制器：模型并非选择映射到预设值的离散阶段标签，而是在每个第 ?? 次迭代输出口径 ??、??、??min 和 ?? 的浮点值。安全护栏将输出钳制在物理有效范围内；硬灰度门控（当 ??>0.20 时 ??≤8）是研究协议中指定的安全措施，限制了在大量灰度材料仍存在时的早期投影锐化。预期贡献是这一软件控制层，它可以执行并帮助发现具有竞争力的继续策略。在标准二维案例上，固定+尾部控制略优于调优后的LLM，因此本文不声称具有优越的数值性能。

2. **受控消融协议。** 为了分离尾部效应、确定性反馈、重启动作和在线LLM动作选择，启用尾部的控制器共享相同的40次迭代锐化尾部（??=4.5, ??=32, ??min=1.20, ??=0.05），从主循环期间存储的最佳有效快照开始应用。协议包括固定+尾部控制、确定性灰度规则控制、LLM-无重启和无元配置消融。固定+尾部结果表明，后期锐化本身对超过无尾部基线的改进贡献了重要部分。无元配置消融表明，可选的外部配置循环在测试的二维案例上并非已证实的改进来源，因此该循环记录为可选软件而非列为贡献。

3. **三方可复现性声明。** 本研究区分了求解器和控制器代码的软件可复现性、存档动作序列的缓存动作回放，以及在API变更下的实时LLM可复现性。存档悬臂梁动作序列的精确回放已验证。未来实时API调用可能因模型版本和端点变更而产生不同轨迹。报告的二维差异来自每个控制器-问题对的单次确定性运行的特定案例受控对比，而非一般性能优越性的证据。

**各节摘要**

**相关工作** 本节回顾四个直接推动并界定本文贡献的先前研究领域：SIMP拓扑优化与继续策略（2.1节）、应用于拓扑优化的机器学习（2.2节）、用于求解器超参数的贝叶斯优化与动态算法配置（2.3节），以及作为优化智能体的大语言模型（2.4节）。贯穿全文，我们强调本文填补的空白：尚无先前方法使用……

**方法论** 本节描述在线继续控制器架构。3.1节建立三场SIMP公式和继续参数空间。3.2节介绍LLM智能体及其直接数值控制（DNC）接口。可选的外部配置循环在3.3节记录并通过无元消融评估；它在测试的二维案例上不被视为已证实的改进来源。3.4节定义确定性基线和LLM……

**主要二维基准** 表5总结了用于分离LLM动作选择与尾部锐化、确定性反馈、重启逻辑和元配置的受控二维消融集。三个120×60基准使用主循环迭代次数 ??=300。所有启用尾部的控制器的最终柔顺度在标准40次迭代锐化尾部之后测量。百分比变化相对于原始固定无尾部基线和固定+尾部控制报告。表格报告了每次确定性运行……

**耐心惩罚机制** 本文的核心实证发现是，延迟惩罚和锐化是有用的继续机制，但必须与强力的启用尾部确定性控制进行比较。在图7、图8、图9所示的五控制器轨迹中，LLM智能体在其运行后期找到最佳有效中间快照——在悬臂梁上为第167.6次迭代，而专家启发式为第82.4次；在MBB梁上为第134.4次迭代……

**结论** 我们提出了用于三场SIMP拓扑优化的LLM引导在线继续控制器，其中语言模型在每个第 ?? 次迭代观察结构化的求解器状态，并通过直接数值控制接口输出惩罚指数 ??、Heaviside锐度 ??、滤波器半径 ??min 和OC移动极限 ?? 的精确数值。部署的对象是这一内部状态条件软件控制层。可选的外部配置循环存在于……

**CRediT作者贡献声明** 杨少亮：概念化、方法论、软件、调查、撰写——原稿。

王军：监督、方法论、审阅与编辑。王云生：验证、可视化、数据整理。

科学写作中生成式AI使用声明

本研究中对大语言模型的使用本身就是研究对象，已在第3–4节中详细说明。本手稿中未使用任何生成式AI撰写、起草或生成文本、图表、表格或分析内容。作者已审阅并对发表内容承担全部责任。

资金来源

本研究未获得任何外部资金支持。

利益冲突声明

作者声明不存在已知的竞争性经济利益或个人关系，这些情况可能影响本文所报告的工作。

杨少良|王军|王云生