θ-表示的型和稳定波前集

《Advances in Mathematics》：Types and stable wave front set of theta representations

　　

摘要

我们计算了连通可分约化p-adic群G的某些温和Brylinski–Deligne覆叠的theta表示的深度0的K-型和稳定波前集。为了确定K-型，我们利用了Gao–Gurevich–Karasiewicz和Wang发展的pro-p Iwahori-Hecke代数结构理论。我们发现K-型是可约化商群的被膨胀的极小主序列表示。为了计算稳定波前集，我们将Barbasch–Moy的检验函数推广到万有温和覆叠。过渡到万有温和覆叠确保了抛物子群模去其pro-p根后的商群是可约化的，这使得我们可以利用有限域上波前集的Lusztig公式以及我们对K-型的了解，将计算化简为一个关于仿射根在建筑物（apartment）上取值Z/n值的新型问题，我们对此问题给出了解答。这在余特征的温和假设下解决了Gao–Tsai的猜想，并且作为一个推论推广了Friedberg–Ginzburg关于全局theta表示的波前集的上界。

引言

我们的主要定理（定理1.2）是计算连通可分约化p-adic群的某些温和Brylinski–Deligne覆叠的局部theta表示的稳定波前集。这证明了Gao–Tsai的一个猜想[28, Conjecture 2.5, equation (2.3)]，并且推广了Friedberg–Ginzburg关于全局theta表示的波前集的上界。我们先介绍一些背景知识。

Kubota [39]引入了高阶theta表示，试图将（经典）theta函数与二次互反律之间的联系推广到n次互反律。从将theta函数构造为GL2的2重覆叠上Eisenstein级数的剩余项出发，Kubota构造了GL2的n重覆叠，并定义高阶theta函数为该n重覆叠上Eisenstein级数的剩余项。Kubota的构造可以推广到一大类Brylinski-Deligne覆叠，并且有局部类比。

所得到的局部和全局theta表示十分特殊，并发现了若干有趣的应用。我们着重介绍其中两个方面。首先，Patterson [49]、Heath–Brown–Patterson [31]，以及更近期的Dunn–Radziwill [19]利用GL2的3重覆叠上theta函数的Fourier系数的显式公式研究了三次Gauss和的分布。对于n≥4，确定GL2的n重覆叠上theta函数的Fourier系数这一问题仍然未解决。

其次，Friedberg–Ginzburg [20]将辛-正交对偶对的经典theta对应推广到了这些群的更高阶覆叠。他们的构造需要了解辛群的高阶全局theta表示的波前集。我们的主要定理（定理1.2）证明了局部类比，由此作为推论，利用Moeglin–Waldspurger [44]的工作给出了全局波前集的上界。这推广了Friedberg–Ginzburg在C型情形下的上界[20, Theorem 1, (1)]，并且是全面理解全局theta表示的重要一步。

除了上述应用之外，局部theta表示本身也很有趣。在Shimura对应（例如[57]）下，非分歧theta表示对应于适当的线性群的平凡表示。因此这些theta表示是基本的，应该被完全研究。

光滑容许表示的两个重要不变量是它的K-型和波前集。在本文中，我们本质上计算了theta表示的深度0的K-型（定理3.16）和theta表示的波前集（定理4.2）。

现在我们引入陈述主要结果所需的记号。精确定义可在本文主体中找到。设F为Qp的有限扩张，包含n次单位根μn。设G为连通可分约化群的F-点，带有极大环面T和Weyl群W。设G￣为G的n重Brylinski–Deligne覆叠。群G￣是G被μn的中心扩张。
1→μn→G￣→prG→1
对于任何H?G，我们写作H￣:=pr?1(H)。我们假设G￣是温和的，即GCD(p,n)=1。

G￣的一个theta表示Θ是一个例外主序列的Langlands商。当n=1时，Θ是G￣=G的平凡表示，对于辛群的覆盖元二重覆叠，Θ是偶Weil表示。注意，术语"theta表示"在文献中并不统一。例如，Ginzburg–Rallis–Sourdy [30]中theta表示的局部因子不在本文讨论范围内。

现在我们陈述关于Θ的深度0的K-型的定理。

定理1.1（定理3.16）
固定π?为T￣的指定真不可约表示，ν∈X?(T)?R为例外特征。设Θ为与π?和ν相关的G￣的theta表示。
设P为G的最大抛物子群，pro-p根为P+。设I?P为Iwahori子群，pro-p根为I+。
若σ是P￣-表示ΘP+的一个不可约组成因子，则σ在与其相关的主序列的所有表示中维度最小。

我们将突出覆盖群结构中与定理1.1相关的一个方面。我们从线性群G的情形开始一些评论。使用上述相同的记号，设π为G的不可约光滑表示，使得π(I,χ)≠0，其中χ是有限环面I∩T/I+∩T?I/I+的一个特征。在Moy–Prasad [45], [46]的术语中，(I,χ)是π的深度0（未精化的）极小K-型。

设I′?G为另一个Iwahori子群，(I′,χ′)为π的深度0极小K-型。为简单起见假设I′=nIn?1，其中n∈NG(T)为T的正规化子。由Moy-Prasad [45], [46]，型(I,χ)和(I′,χ′)是关联的。将χ和χ′视为有限环面I∩T/I+∩T=I′∩T/(I′)+∩T的特征，关联意味着χ和χ′在Weyl群W?NG(T)/T的同一轨道中。

当覆盖群G￣替换G时，类似的情形成立。存在深度0的Moy–Prasad理论[32]，前两段中的类似陈述成立，但对最后一句话有一个关键的修改。不是Weyl群W作用于I￣∩T￣/I+∩T￣的特征，而是看到扩张仿射Weyl群通过有限群W?X的作用（子节2.2）。这是因为T￣不中心化I￣∩T￣/I+∩T￣。此外，X的作用是自由的。所以，非正式地说，对于覆盖群，由于X的存在，人们预期会出现更多的型。这与Karimianpour [37, Theorem 6.1]一致。

对于G￣的theta表示Θ，Iwahori子群I￣的未精化极小K-型的集合是Z（第2.3节），并且这是X的一个丛（torsor）。见命题3.2。

自然地，人们希望完全确定Θ的K-型。在这里我们只能指出一些参考文献。Karimianpour [37]计算了SL2的温和覆叠的主序列的K-型，基于Nevins [47]对SL2的工作。Savin [56]计算了D型和E型线性群的最小表示的超特别K-型，基于他早期的工作[55]。我们注意到Θ可以是极小表示，例如对于G=G2的Steinberg 3重覆叠和G=F4的2重覆叠。

现在我们转向关于theta表示稳定波前集的第二项也是主要定理。Barbasch–Moy [6]观察到深度0表示π的波前集可以从π的深度0的K-型计算得到。从定理1.1出发，我们有了关于Θ的深度0的K-型的足够信息来计算Θ的波前集。我们在定理4.2中完成了这一点。为陈述定理我们需要更多记号。

对于特征x∈X?(T)?R，设Wx为W的反演子群，由满足w?x?x在(G,T)的根张成的空间中的w∈W组成。对于W′?W的反演子群，设jW′W(sgn)∈Irr(W)表示W′的符号表示的j-诱导。设WFs(Θ)为Θ的稳定波前集（定义2.20）。对于σ∈Irr(W)，设OSpr(σ)为将Springer对应应用于σ所得到的幂零轨道部分。对于定义在良好特征域上的幂零轨道O，设O(C)表示引理2.16中定义的复轨道。我们注意到映射O?O(C)诱导了G的幂零轨道稳定类与具有与G相同根系数据的复约化群的复幂零轨道之间的双射。因此WFs(Θ)可以从WFs(Θ)(C)恢复。

以下是描述Θ稳定波前集的主要定理。

定理1.2（定理4.2）
假设假设2.10、假设2.14、假设2.17成立。例如，如果余特征大于某个依赖于G的绝对根系数据和F/Qp的扩张子数的常数，则这些假设成立。
固定π?为T￣的指定真不可约表示，ν∈X?(T)?R为例外特征。设Θ为与π?和ν相关的G￣的theta表示。则
WFs(Θ)(C)=OSpr(jWνW(sgn))(C)。

在我们概述定理4.2的证明之前，我们对该定理做几点评论。定理1.2的某些特殊情况是已知结果。在A型情形中，该定理是Savin（未发表）和Cai [14]的结果。在B型情形中，n=2的情形是Bump–Friedberg–Ginzburg [12]的结果。在C型情形中，n=4的情形是Leslie [40]的结果；Friedberg–Ginzburg [20]猜想了Sp2r的奇数重覆叠的结果并证明了部分结果。对于G2型，n=3的情形由Savin [54]作为其全局极小表示构造的副产品证明了。对于2重覆叠，Loke–Savin [41]构造并研究了全局theta函数。他们的工作蕴含了F4的2重覆叠的情形。

定理1.2由Gao–Tsai [28, Conjecture 2.5]猜想。该猜想基于此前已知的特殊情况以及Gao–Tsai在阿基米德情形的计算，这些计算基于Barbasch–Vogan [7], [8], [9]和Joseph [36]的结果。在阿基米德情形中，轨道OSpr(jWνW(sgn))作为具有无穷小特征ν的theta表示的关联簇中的稠密轨道出现。精确陈述见Gao–Tsai [28, Section 5, and Theorem 5.6]，以及备注2.21中对稳定波前集与波前集之间差异的讨论。

(2)的右端在Gao–Liu–Tsai [27]中被显式计算。

对于固定的根系数据和二次型Q（子节2.1），如果n足够大，OSpr(jWνW(sgn))是正则幂零轨道，因此Θ是一般性的。对于GLr的覆叠，这是Kazhdan–Patterson [38]的结果。Gao [23], [24]和Gao–Gurevich–Karasiewicz [25], [26]在所有类型中证明了类似的结果。

去除定理4.2中出现的余特征限制是可取的。Gan–Savin [22]通过使用全局论证，具体来说是自守形式的刚性性质[22, Theorem 5.4]，去除了线性群上极小表示局部研究中出现的类似限制。如果类似的论证能否用于局部theta表示将很有趣。

我们以定理1.2证明的总结以及本文各节内容的描述结束引言部分。

(1) 我们使用Hecke代数计算theta表示的深度0的K-型。
(2) 我们应用对温和覆叠推广的Barbasch和Moy的工作，将WFs(Θ)的计算化简为计算有限李型群的表示的Kawanaka波前集。
(3) 在深度0的K-型的知识基础上，我们应用Lusztig关于Kawanaka波前集[42]的公式，将其化简为组合计算。
(4) 我们进行逐例分析以完成组合计算。

现在描述各节内容。第2节包含预备材料。除了设定记号外，我们还将Barbasch和Moy的工作推广到温和Brylinski–Deligne覆叠的情形，定理2.23。它将稳定波前集表示为源自ΘP+的Kawanaka波前集的轨道的最大值，其中P￣是G￣的抛物子群，P+表示P￣的pro-p根。

第3节包含我们证明定理1.2中的步骤(1)、(2)和(3)。我们在子节3.1中以theta表示Θ的定义开始。命题3.2和命题3.3收集了Θ的相关性质。

特别地，命题 3.3 和 Moy-Prasad 理论表明，$\bar{P}/P^+$-表示 $\Theta_{P^+}$ 是主系列的一些成分的直和。在 3.2 小节中，我们使用 Lusztig 公式计算有限 Lie 型群的某些主系列成分的 Kawanaka 波前集。主要结果是推论 3.11。在 3.3 小节中，我们在定理 3.16 中计算了 $\Theta$ 的深度 0 K-型，完成了步骤 (1)。在 3.4 小节中，我们使用推论 3.11 计算 $\bar{P}/P^+$-表示 $\Theta_{P^+}$ 的 Kawanaka 波前集。本小节的主要结果是推论 3.18。我们在 3.5 小节中综合所有内容以完成步骤 (2) 和 (3)。实施这两个步骤得出了本小节的主要结果命题 3.22。该命题给出了 $\Theta$ 的稳定波前集的一个公式，该公式是基于由根理论数据推导出的幂零轨道的最大值。

第 4 节包含定理 1.2 证明中步骤 (4) 的分情况讨论。关键在于计算从较小 Weyl 群出发的符号表示的 j-诱导。然后我们通过 Springer 对应写出幂零轨道并进行比较。对于经典 Cartan 型，幂零轨道由整数分拆参数化，因此我们可以总是将其归结为分拆的组合问题。对于例外 Cartan 型，我们借助文献 [2] 和 GAP3 的 CHEVIE 包直接计算。

定理 1.2 中出现的稳定波前集与 Arakawa-van Ekeren-Moreau [4] 中出现的所有类型的幂零轨道完全一致。另见 Arakawa [3]。我们要感谢荒川智之（Tomoyuki Arakawa）富有成果的讨论，这导致了这一观察结果。

[4] 中的幂零轨道出现在仿射顶点代数最高权表示（最高权为 $\nu$，按我们的记号）的伴随簇中。有趣的是，在 [4] 中这些轨道有一个简单的描述。对于单连半单复 Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 和 $n \in \mathbb{Z}_{\ge 1}$，该轨道是 $\{x \in \mathfrak{g} \mid \text{ad}(x)^{2n} = 0\}$ 中的开轨道。对于非单连类型也有类似的描述，见 [4, Line (1)]。这引出了一个有趣的问题：这种更简单的描述是否能直接使用 p 进方法推导出来。

作者们想感谢高凡（Fan Gao）在中国杭州数学高等研究院“Arthur 包”会议期间向作者们提出计算 theta 表示波前集的问题，并在我们的讨论中分享了许多有益见解。作者们感谢 Gordan Savin 对本论文早期草稿的宝贵意见。作者们还感谢包寰晨（Huanchen Bao）在 2024 年 4 月新加坡国立大学荒川智之的研讨会提出的问题。这导致了与 Arakawa-van Ekeren-Moreau 工作的联系。第一作者感谢荒川智之邀请其于 2024 年 11 月前往京都大学 RIMS 讨论此项工作，并确认我们在 A 型中观察到的初步联系普遍成立。

第三作者受中国国家重点研发计划（编号 2022YFA1005300）和国家自然科学基金（NNSFC-12171422）资助。作者们感谢匿名审稿人的意见，这有助于澄清一些微妙之处。

章节片段
预备知识
固定一个素数 $p$。设 $F$ 为一个 $p$ 进域，其整数环为 $\mathfrak{o}=\mathfrak{o}_F$，极大理想为 $\mathfrak{p}=\mathfrak{p}_F$，剩余域为 $\mathbb{f}=\mathfrak{o}/\mathfrak{p}$。设 $q$ 为剩余域的大小，并固定 $\varpi \in \mathfrak{p}$ 为一个一致化元。设 $|\cdot|: F \to \mathbb{R}_{>0}$ 为 $F$ 的赋值，规范化使得 $|\varpi|=q^{-1}$。

如果 $H$ 是定义在交换环 $R$ 上的线性代数群，则我们可以将 $H(R)$ 记为 $H_R$；如果 $R=F$，我们简写为 $H$。如果 $H$ 是一个局部紧拓扑群，我们用 $\delta_H$ 表示 $H$ 的模特征。

设 $G$ 为一个光滑连通

Theta 表示
在本节中，我们定义 $\bar{G}$ 的 theta 表示，并将其波前集的计算归结为一个组合问题，该问题将在第 4 节解决。我们在全文中假设假设 2.10、假设 2.14、假设 2.17 成立，因此我们可以应用定理 2.23。

波前集的计算
在本节中，我们证明以下纯组合结果。

命题 4.1
设 $\nu \in X \otimes \mathbb{R}$ 为一个例外特征。则
$$ \max_{y \in \mathcal{V}} \text{Sat}_{G_y \backslash G} \left( \mathcal{O}_{\text{Spr}(j_{W(\Phi_{y}^{\mathcal{Q}, n})}^{W(\Phi_y)} \text{sgn})} (\mathbb{C}) \right) = \mathcal{O}_{\text{Spr}(j_{W_\nu}^W \text{sgn})} (\mathbb{C}) $$

我们的主定理是命题 3.22 和命题 4.1 的直接推论。

定理 4.2
假设假设 2.10、假设 2.14、假设 2.17 成立。固定 $\pi^\dagger$ 为一个典范的真不可约 $\bar{T}$-表示，设 $\nu \in X \otimes \mathbb{R}$ 为一个例外特征。设 $\Theta$ 为 $\bar{G}$ 依附于 $\pi^\dagger$ 和 $\nu$ 的 theta 表示。则 $\text{WF}_s(\Theta)(\mathbb{C}) = \mathcal{O}$。

Edmund Karasiewicz|Emile Takahiro Okada|Runze Wang