求解变密度铁磁流体力学流动的无条件稳定有限元逼近方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：The unconditionally stable finite element approximation for solving ferrohydrodynamics flow with variable density

　　

## 摘要

本文通过引入标量辅助变量，提出并分析了一种变密度不可压缩铁流体力学流动的解耦、线性化、无条件稳定近似方法。所提出的全离散算法基于后向欧拉格式和混合有限元近似，其中非线性项采用显式处理。同时，在时间步长无任何限制的情况下，我们证明了所提出算法的稳定性。最后，提供了多种数值模拟来检验所提算法的特性。

## 引言

磁流体是一种在外加磁场作用下表现出强磁化特性的液体。这些流体可以通过外部磁场进行精确控制，从而实现各种基于控制的应用。例如，它们被用于在计算机硬盘的旋转轴周围创建密封件[1], [2]，为扬声器线圈提供冷却和共振阻尼[3]，促进磁性靶向药物递送[4], [5]，辅助治疗视网膜脱离[6]，分析生物磁性流体的流动和传热[7]，以及支持磁性流体热疗治疗[8]等应用。

目前存在两种普遍接受的铁流体力学模型用于模拟磁流体：一种是称为Rosensweig方程的模型[9]–[20]，另一种是Shliomis方程模型[21]–[35]。Rosensweig和Shliomis模型都处理均匀单相流动。然而，流体总是由两种或多种个别载液混合而成。因此，Wang和Tan[36]考虑了变密度不可压缩Rosensweig方程，建立了全局定义有限能弱解的存在性，并研究了此类弱解的大时间行为。在文献[37]中，作者对磁场影响下磁流体液滴撞击多孔基底行为进行了实验和理论研究。Li等人[38]数值研究了浸渗磁流体表面的Rosensweig不稳定性。Yuan等人[39]分析了一种基于相场法的有限元模型来模拟二维和三维的两相磁流体流动。此外，Chen等人[40]分析了一种解耦的、线性的、无条件稳定的全离散有限元格式，用于具有不同密度和黏度的两相磁流体流动。在本文中，我们将考虑变密度的不可压缩铁流体力学方程，该方程可以被视为由几种具有不同密度的不混溶不可压缩流体组成的多相流动演化模型[21], [22], [36]。与均匀情况相比，主要困难是由密度的非恒定性引起的。

在此，为了进一步解耦流场和磁场，我们通过显式处理非线性项获得了具有无条件稳定性和解耦的线性化结构。我们将采用最近开发的解耦框架[41], [42], [43]并使用标量辅助变量技术。所提方案的主要思想是将所考虑的系统进一步转化为与特殊常微分方程结合的等价形式。为了确保在线性方案开发中的无条件能量稳定性，我们将零能量贡献特征纳入标量辅助变量方法中，并显式处理所有耦合项。

本文的目的是为变密度的不可压缩铁流体力学方程设计一种解耦的、线性的、无条件稳定的格式。据作者所知，这是首次建立全离散格式以同时保持变密度铁流体力学流动的解耦性、线性和无条件稳定性。本文其余部分组织如下。第2节提供了变密度的不可压缩铁流体力学方程和一些必要的符号和数学准备。第3节提出了这种线性化解耦格式，然后证明其无条件稳定性。第4节展示了一系列数值实验来计算收敛率、测试稳定性并展示所提格式的有效性。最后一节给出了结论，强调了所提方法的局限性并概述了未来的工作。

## 变密度铁流体力学流动

设$\Omega\subset\mathbb{R}^d$（$d=2$或$3$）为有界凸多边形或多面体域。记$\Omega_T=\Omega\times(0,T]$，$T>0$为给定的有限终止时间。对于$m\in\mathbb{N}^+$和$1\leq p\leq\infty$，我们定义Sobolev空间$W^{m,p}(\Omega)$，其配备范数$\|\cdot\|_{W^{m,p}(\Omega)}$。设$L^p(\Omega)=W^{0,p}(\Omega)$和$H^m(\Omega)=W^{m,2}(\Omega)$。此外，用$\|\cdot\|_{L^p}$和$\|\cdot\|_m$分别表示$L^p(\Omega)$和$H^m(\Omega)$的范数。特别地，$(\cdot,\cdot)$和$\|\cdot\|_0$分别表示域$\Omega$上的$L^2$内积和范数。

考虑不可压缩、粘性、牛顿流体的流动……

## 数值格式及其稳定性

在本节中，我们提出了一种基于变密度铁流体力学流动的全离散线性化格式，该格式基于一阶后向欧拉格式，非线性项采用显式处理，空间离散化采用混合有限元近似。

设$N>0$为总时间步数。我们定义均匀时间步长为$\Delta t=T/N$，设$t_n=n\Delta t$。为方便起见，我们定义一阶时间离散化算子为$d_t u_h^{n+1}:=\frac{u_h^{n+1}-u_h^n}{\Delta t}$。

设$\mathbb{K}_h$为拟均匀剖分……

## 数值测试

在本节中，我们进行了几组数值实验来说明算法3的稳定性、收敛性和有效性。

## 结论

变密度不可压缩铁流体力学流动的数值模拟由于其在科学和工程中的众多应用而具有重要意义。在本研究中，基于采用"零能量贡献"技术的标量辅助变量方法，我们为该问题提供了解耦的、线性化的、无条件稳定的全离散数值格式。

然而，所提出的算法仅实现了一阶时间精度……

## 资助

本研究由新疆维吾尔自治区天山人才培训项目（项目编号2023TSYCCX0103）、国家自然科学基金天元数学基金（项目编号12526105）以及国家自然科学基金（项目编号12361077）资助。

## CRediT作者贡献声明

Aytura Keram：撰写——初稿。Pengzhan Huang：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿。Xiaoling Ma：撰写——审阅与编辑。

## 利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本文所报告的工作。

Aytura Keram | Pengzhan Huang | Xiaoling Ma
新疆大学数学与系统科学学院，中国乌鲁木齐，830017