记忆驱动网络系统中的级联动力学：分数阶Volterra算子、谱稳定性判据、图核极限与Hawkes过程关联

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Cascade Dynamics in Memory-Driven Network Systems: Fractional Volterra Operators, Spectral Stability Criteria, Graphon Limits, and Hawkes Process Connections

　　

**摘要**

网络系统中的级联现象往往源于长记忆、自激发、网络几何和急剧的状态切换之间的相互增强。本文通过在乘积Hilbert空间上构建分数阶Volterra演化，发展了此类系统的算子理论框架，将耗散网络算子与算子值记忆核分离开来，并通过记忆加权谱量使稳定性裕度可计算。

分析的核心是模态分数阶分枝比 $\rho_{z,j}=a_{z,j}\int_0^\infty g_z(t)\,dt$，即状态 $z$ 下第 $j$ 个网络模态的激发系数 $a_{z,j}$ 与记忆核 $g_z$ 总质量的乘积。在激发算子与图Laplacian同时对角化的条件下，该比值逐模式给出充要的稳定性准则，适用于正负两种符号的激发。在不具有可交换性的情况下，我们给出基于范数的充分准则；并针对逐元素非负的激发（如Hawkes和ETAS型触发），提出Perron–Frobenius准则，并证明该准则对完整的耦合状态–强度系统（而非仅对强度子系统）是充要的。在数值计算中，该边界被精确达到，而范数界则因一个衡量瞬态放大而非渐近增长的因子而过于保守。对于两类典范的临界类别，未加权正规则变化记忆以代数方式松弛，而带加权分数阶核则以指数截断的代数修正趋近于一个严格为正的中性水平。

奇异分数阶核对离散化施加了影响结论的约束。设 $\alpha\in(0,1)$ 为核在原点处奇异的指数，Riemann型规则仅以 $1-\alpha$ 阶收敛，且可能丢失足够的核质量从而将超临界系统误判为稳定，而Lubich卷积求积为二阶精度，可恢复预测的增长率。在120节点的小世界网络和非常规网络上的实验直接定位了稳定性边界，并界定了各准则的适用范围。我们进一步将宏观算子与多元Hawkes极限联系起来，将理论扩展到稠密图核极限并给出收敛性证明，并通过Omori–Volterra记忆核对原始余震目录进行校准。综合来看，这些结果阐明了何时可获得尖锐阈值，在无法获得时如何改进保守界，以及一旦跨越阈值后记忆如何重塑级联增长。

**引言**

网络复杂系统常表现出一种显著的不对称性：其平均行为看似稳定，但个体轨迹会发生突然的大幅偏转，并可能在整个网络上产生级联效应。这一现象——持续放大后突发的不稳定性——是记忆驱动动力学的标志，已在流行病波动[1]、金融波动聚集[2]、气候极端事件[3]和电网级联故障[4]中被实证观察到。这些领域的共同特征是存在三种相互作用机制：长程时间记忆，它保留并重新注入过去扰动；自激发反馈，它通过网络介导的耦合产生放大；以及状态切换，它突然改变系统参数，可能将动力学推向稳定性阈值。

尽管上述各领域已取得实质性进展，但相应的数学框架在很大程度上是并行发展的。Volterra与分数阶演化理论[5][6]系统地处理记忆，但不纳入网络几何或激发反馈。图扩散理论[7][8]考虑了网络结构，但通常假设马尔可夫性或指数稳定动力学。Hawkes过程理论[9]–[12]为自激发提供了严格的随机基础，但缺乏基于算子的确定性对应物以及尖锐的谱准则。状态切换模型[13][14]在常微分方程/随机微分方程设定中发展成熟，但尚未扩展到具有记忆的Volterra演化。

本文的目标是弥合这一差距，提供一个统一的算子理论框架，同时纳入上述四种机制，并给出一个尖锐且可计算的标准，用于刻画稳定行为与级联易发行为之间的转变。该模态准则仅在可交换情况下是尖锐的，此时Laplacian与激发算子共享特征向量，这包括标量、图多项式和社区齐次激发模型。对于有向、不对称或非常规相互作用，我们不断言存在普遍的模态对角化；取而代之的是，我们陈述可从算子范数中证明的内容，以及当激发矩阵逐元素非负时（如Hawkes/ETAS触发），可从Perron–Frobenius谱半径中获得的结果。因此，本文的主要数值与应用贡献在于展示这些准则在真实网络和记忆状态下的表现。

更具体地说，我们研究如下形式的演化方程：

$$U'(t) = \mathcal{B}\,U(t) + \int_0^t \mathcal{G}_z(t)(t-s)\,U(s)\,ds + F_z(t), \quad U(0) = U_0,$$

其中 $Z(t)$ 是隐马尔可夫或由协变量驱动的状态过程，$\mathcal{B}$ 是局部耗散网络算子，$\mathcal{G}_z(t)$ 是算子值、完全单调的核，编码了分数阶记忆和状态依赖的激发。所得到的动力学不是半群生成的，而自然地属于算子值Volterra方程和resolvent族理论的范畴[5][6]。

我们的公式同时推广了：(1) 具有完全单调核的Volterra方程[5][15]，(2) 分数阶演化方程[16][17]，(3) 通过Laplacian算子实现的图扩散[7][8]，(4) 具有长记忆核的多元Hawkes过程[9]–[12][18]，以及 (5) 隐马尔可夫和非齐次状态切换系统[13][14]。与现有方法不同，这些组成部分作为作用于乘积Hilbert空间的单一算子的结构块出现，从而实现了透明的模态分解和统一的谱分析。

本文还与近期的记忆自适应和导数知情的神经算子方法有所不同。深度变阶分数阶神经网络、Hermite型神经网络算子和HESREN型导数知情的蓄水池架构为历史依赖信号和动态功能连通性提供了灵活的数据驱动逼近器[19][20][21]。它们的目标是高保真重建、预测或表征学习。相比之下，本文提出的Volterra–Hawkes框架并非作为通用函数逼近器：其核心对象是一个可解释的重现算子，其谱半径或模态分枝比可给出稳定性裕度。这使得两种视角互补：神经算子是具有记忆输入–输出映射的强大估计器，而本文框架提供闭合阈值、resolvent估计和级联起始诊断工具。

对级联动力学建模的一个核心难点在于，长记忆、网络几何、激发反馈和状态依赖通常由不同的数学工具包处理。特别是，记忆项作用于Laplacian特征模式，而这些模式的阻尼又同时被依赖于潜在状态的激发算子所改变。这种耦合使得直接应用经典半群方法、标量Volterra理论或标准切换系统分析成为不可能。

三个数学缺口推动了本文的形式化构建。

**(1) 非局部网络动力学的resolvent理论。** 尽管半群理论处理马尔可夫演化，但具有完全单调记忆核的系统需要resolvent族。现有结果并不直接涉及作用于网络结构空间上的算子值核；我们构建了乘积空间算子对 $(\mathcal{B}, \mathcal{G}_z)$ 的分数阶resolvent族，从而在单一框架内同时处理非局部性和状态依赖。

**(2) 记忆放大不稳定性的尖锐谱准则。** 图扩散稳定性由Laplacian谱控制，而Hawkes稳定性依赖于分枝比。本工作的核心贡献之一是通过模态分数阶分枝比 $\rho_{z,j} := a_{z,j}\int_0^\infty g(t)\,dt$ 来调和这两种视角，其中 $a_{z,j}$ 是Laplacian基下的激发特征值。我们证明该量提供了渐近稳定性的充要条件，将经典分枝与谱准则扩展到具有长程时间依赖的系统。该条件既可计算又可解释：一旦单个谱模式变为超临界，不稳定性即被触发。

**(3) 状态切换作为稳定性景观的形变。** 切换理论在常微分方程/随机微分方程模型中发展成熟，但对于具有记忆的算子值Volterra方程则不然。我们表明状态切换诱导底层resolvent族分段形变，并建立了跨状态稳定性分析所需的扰动和连续性估计。这为实践中观察到的状态依赖放大提供了严格的数学基础。

具有分数阶尾部的完全单调核为长程依赖和缓慢相关衰减提供了一种简约的表示。幂律和带加权幂律核在网络时间序列中从流行病学到金融领域均被经验观测到[22][23]。将其纳入resolvent族框架是自然的，并产生了定性上新的行为（如记忆依赖的临界松弛、记忆放大的级联起始），这些行为在马尔可夫模型中不存在。

本文的主要贡献包括：

1. 一个统一的算子理论框架，在乘积Hilbert空间上结合分数阶Volterra记忆、网络扩散、Hawkes型激发和潜在状态切换；

2. 针对状态依赖算子值核的resolvent族构造，将经典结果扩展到块结构网络化设定；

3. 模态分解，给出基于模态分数阶分枝比的尖锐谱稳定性理论，在可交换情况下提供稳定性充要条件，适用于正负两种符号的激发，并根据核的低温行为对临界情况给出精确分类；

4. 针对逐元素非负激发的Perron–Frobenius准则，该准则不要求可交换性，我们证明它对完整的耦合状态–强度系统是充要的，并通过数值实验展示了所得边界被精确达到以及范数界与Perron–Frobenius界之间瞬态放大的量化；

5. 微观–宏观对应关系：一个流体力学极限，将具有状态的多元长记忆Hawkes过程与确定性Volterra算子联系起来，表明宏观层面的级联形成对应于随机系统中的爆炸；

6. 针对奇异分数阶核的可重复卷积求积方法，在小世界、无标度和非常规有向网络（$n=120$节点）上的数值实验验证了分枝比准则和级联增长的记忆依赖性；扩展到稠密图核极限；以及通过Omori–Volterra核对原始余震目录的经验校准，其中有向三区重现矩阵在补充材料的第S4节中单独报告，并附带可识别性分析。

我们的工作涉及三个数学领域：

- Volterra/resolvent理论与完全单调核[5][6][24]；
- 网络动力学与Laplacian谱方法[7][8][25]；
- 具有重尾核的Hawkes过程与流体力学极限[9][10][11][12][18]。

本工作的贡献是在单一的算子值Volterra框架内整合这些方向，并确定一个跨越这些领域的谱机制来支配稳定性。分析困难并非来自模型的单一组成部分，而来自它们之间的相互作用：分数阶记忆破坏了半群性质，网络几何诱导非平凡的谱耦合，Hawkes激发在算子层面创造反馈，状态切换在时间上形变resolvent景观。这些效应不能按顺序处理，而需要本文开发的统一resolvent族框架。

现有理论分别处理了方程(1)的各个成分：分数阶/Volterra记忆[5][6][16][17]，图扩散和网络偏微分方程[7][8][25]，Hawkes激发和重尾推广[9][10][11][12][18]，网络Hawkes过程[26]，以及状态切换模型[13][14]。

与本文最接近的先驱工作是Jaisson–Rosenbaum[11][12]，他们建立了具有幂律核的Hawkes过程的流体力学极限，以及Chevallier[26]，他将平均场极限扩展到空间结构化的网络Hawkes过程。我们的工作在三个本质方面与这些工作不同。第一，我们纳入了作用于乘积状态空间 $\mathcal{H}\times\mathcal{H}$ 上的算子值核，将物理网络状态 $x$ 与Hawkes强度 $\lambda$ 耦合起来；这种耦合在[26]中不存在。第二，我们允许状态依赖的参数 $(A_z, g_z, \mu_z)$，产生一种随机系数的Volterra极限，这未被[11]或[26]所覆盖。第三，也是最重要的，我们超越了极限定理本身：我们确定模态分数阶分枝比为极限算子的精确稳定性阈值，建立了微观爆炸与宏观不稳定性之间的直接谱对应关系。这种谱识别——充要准则 $\rho_{\max_z}
据我们所知，尚无resolvent族公式在单一的算子理论结构中同时整合：(i) 完全单调分数阶核，(ii) laplacian网络几何，(iii) 具有谱分解的算子值hawkes激发，以及 (iv) 潜在状态调制，并给出尖锐的稳定性准则。本文填补了这一空白。

状态切换作为算子对 $(\mathcal{b}, \mathcal{g}_z)$ 的参数依赖形变进入。对于每个固定状态 $z$，演化由其自身的分数阶resolvent族在 $\mathcal{x}$ 上控制，而 $z(t)$ 以分段方式选择活跃算子对。我们不构造增大的马尔可夫生成元；而是依赖于resolvent关于 $z$ 的连续性（第4.7节），这对于本文所建立的稳定性和扰动结果是足够的。

本文开发的框架在记忆驱动级联是核心关注的多个领域中具有直接相关性：

- 多波流行病动力学源于历史依赖的接触率和潜在传播状态。 据我们所知，尚无resolvent族公式在单一的算子理论结构中同时整合：(i) 完全单调分数阶核，(ii) laplacian网络几何，(iii) 具有谱分解的算子值hawkes激发，以及 (iv) 潜在状态调制，并给出尖锐的稳定性准则。本文填补了这一空白。 状态切换作为算子对 $(\mathcal{b}, \mathcal{g}_z)$ 的参数依赖形变进入。对于每个固定状态 $z$，演化由其自身的分数阶resolvent族在 $\mathcal{x}$ 上控制，而 $z(t)$ 以分段方式选择活跃算子对。我们不构造增大的马尔可夫生成元；而是依赖于resolvent关于 $z$ 的连续性（第4.7节），这对于本文所建立的稳定性和扰动结果是足够的。 本文开发的框架在记忆驱动级联是核心关注的多个领域中具有直接相关性： ->
据我们所知，尚无resolvent族公式在单一的算子理论结构中同时整合：(i) 完全单调分数阶核，(ii) laplacian网络几何，(iii) 具有谱分解的算子值hawkes激发，以及 (iv) 潜在状态调制，并给出尖锐的稳定性准则。本文填补了这一空白。

状态切换作为算子对 $(\mathcal{b}, \mathcal{g}_z)$ 的参数依赖形变进入。对于每个固定状态 $z$，演化由其自身的分数阶resolvent族在 $\mathcal{x}$ 上控制，而 $z(t)$ 以分段方式选择活跃算子对。我们不构造增大的马尔可夫生成元；而是依赖于resolvent关于 $z$ 的连续性（第4.7节），这对于本文所建立的稳定性和扰动结果是足够的。

本文开发的框架在记忆驱动级联是核心关注的多个领域中具有直接相关性：

- 多波流行病动力学源于历史依赖的接触率和潜在传播状态。>

模态分支比 ρ_{z,j} 提供了基本再生数 ?? 的推广，能够处理长记忆效应和网络异质性 [1]、[27]。金融网络中的波动聚集和级联违约现象可由霍克斯过程很好地描述。本文建立的水动力极限（第6节）为这些动力学提供了严格的宏观描述，其中谱不稳定性对应于系统性崩溃 [2]、[28]。长记忆水文过程——如持续干旱或洪水聚集——恰好展现出本文研究所涉完全单调核所编码的分数阶相关结构 [3]、[29]。状态切换代表不同气候态之间的转换。电网中的级联故障源于负载重分配和延迟热效应。算子框架为这类动力学提供了有原则的模型，其中拉普拉斯算子编码网络拓扑结构，沃尔泰拉核捕捉热记忆效应 [4]。第2节介绍函数分析设置：乘积希尔伯特空间、算子值核和状态依赖性。第3节通过预解式族建立适定性。第4节发展模态分支比理论和严格的谱稳定性准则。第5节呈现对日益复杂网络的数值实验，明确验证了理论。第6节从带状态的多变量长记忆霍克斯系统导出微观-宏观极限。第7节将框架扩展到无穷维图核极限。第8节将框架应用于原始地震余震目录，校准奥莫里-沃尔泰拉核、有限窗口分支质量及有向空间再生矩阵。第9节讨论启示和扩展，第11节总结主要结果。各节片段数学框架本节发展算子值沃尔泰拉演化方程的函数分析设置：U'(t) = BU(t) + ∫?? ??_z(t)(t-s)U(s)ds + F_z(t)，t > 0，定义在乘积希尔伯特空间 ?? 上。算子 ? 编码局部耗散和网络扩散，而族 {??_z(t)}_{t>0} 表示状态依赖的完全单调记忆和霍克斯型激发。我们指定状态空间、对 ? 和 ??_z 的结构性假设，以及弱解/强解的概念。状态切换被视为适定性理论本节我们建立沃尔泰拉演化方程(6)（固定状态 z）的存在性、唯一性和基本稳定性性质。分析在算子值沃尔泰拉方程和预解式族的框架下进行；状态索引 z 固定，在不会产生歧义时从记号中省略。谱与模态分析本节通过模态分解研究稳定性和长时间行为，将算子值沃尔泰拉动力学归结为标量沃尔泰拉预解式条件族。这给出了一个以模态分数阶分支比为参数的严格稳定性准则，将经典霍克斯分支条件推广到网络化长记忆沃尔泰拉演化。注记 4.1 归一化在整个谱分析中，我们保留显式的衰减率 c_λ > 0，以强调激发与网络验证：数值方法与实验第4-7节的连续时间理论做出三项定量预测，以下通过数值方法加以检验：(i) 定义4.3中的模态分支比 ρ_{z,j} = a_{z,j}G_z 控制不稳定性的发生；(ii) 在超临界状态下，增长率为模态特征函数最右侧零点 ξ*_j；(iii) 在标量激发下，稳定性阈值与网络拓扑无关，但增长率则不然。以下调用的核心稳定性定理建立于微观-宏观联系：霍克斯过程与沃尔泰拉极限在考虑内禀弛豫率 c_λ 之后，随机联系最为清晰。微分沃尔泰拉方程并未直接使用原始霍克斯触发核。相反，其弱解形式包含有效触发核 h_z(t) := (e^{-c_λ·} * g_z)(t) = ∫?? e^{-c_λ(t-s)}g_z(s)ds，其总质量为 H_z := ∫?^∞ h_z(t)dt = G_z/c_λ。该恒等式使分支对应关系精确成立：a_{z,j}H_z < 1 等价于 a_{z,j}G_z < c_λ。图核极限：正则稠密网络的有限网络理论扩展到连续极限。图核是稠密图序列极限的标准工具 [39]、[40]，但在本文设置中，若干算子性质必须谨慎陈述。一般图核拉普拉斯算子包含一个乘法算子，因此一般不具有紧致性；而在割范数下的收敛——这是图极限理论的自然拓扑 [39]——本身并不蕴含确定性定理所需要的算子范数收敛。经验地震校准：源自原始余震目录我们使用可复现的校准流程，基于原始余震目录应用保守质量控制过滤后进行分析。仅保留具有明确定义主震、足够多超过完全性阈值的震后事件，以及可靠的标量校准时间信息或可靠的空间网络校准坐标变异性的目录。本节的目的在于刻意保持谦逊和诊断性。我们并不声称产生可运行的地震算子视角：记忆、激发与几何核心结构性洞见在于，具有长记忆和激发效应的网络耦合系统可以由定义在 ?? = H × H 上的单个算子值沃尔泰拉方程编码。该表述提供了一个透明的函数分析框架，使记忆与几何得以谱相互作用。长程时间依赖性打破了马尔可夫性质，使经典半群技术不再适用，从而需要本文发展的基于预解式的方法。分数阶分支比与谱临界性模态分数阶的识别局限与适用范围结果存在若干重要局限。首先，模态分支比准则仅在激发算子与图拉普拉斯算子同时可对角化时才是严格的。这是一个有用的类别，包括标量、图多项式和社区同质激发，但排除了一般非对称或非正规相互作用。对于此类网络，本文提供基于范数的充分条件，对于逐元素非负触发矩阵则提供结论本文发展了一个用于处理具有长记忆、自激发和状态切换的级联动力学的沃尔泰拉-网络框架。核心结论刻意保持精确：模态分支比准则在可交换情形下是严格的，而非可交换有向相互作用则需要佩伦-弗罗贝尼乌斯、范数或拟谱诊断。这一区分对实际应用程序至关重要，并体现在理论和数值两部分之中。第一项贡献是CRediT 作者贡献声明毛里西奥·埃雷拉-马林：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，可视化，验证，监督，软件，资源，方法论，调查，形式化分析，数据管理，概念化。利益冲突声明作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。毛里西奥·埃雷拉-马林智利圣地亚哥，发展大学工程学院