引言
意见动力学利用数学建模、物理类比和计算方法来研究个体意见在社会互动中的演变 Castellano et al. (2009); Friedkin (2015); Proskurnikov and Tempo (2017)。该领域起源于French在1956年的开创性工作（French, 1956），后续发展分为两个主要模型分类：基于替代互动范式的那些和基于有界置信度机制的那些。
有界置信度模型，例如Deffuant-Weisbuch（DW）模型（Deffuant et al., 2000）和Hegselmann-Krause（HK）模型（Hegselmann and Krause, 2002），基于这样的原则：智能体选择性地与意见落在预定义相似度阈值内的邻居进行互动（Bernardo et al., 2024）。HK模型特别通过局部互动和有限容忍度捕捉极化和共识的出现，使其非常适合模拟大规模人群中的意见演变，因为它的自组织规则 Su et al. (2017)。其他值得注意的框架包括DeGroot模型（DeGroot, 1974），Friedkin-Johnsen（FJ）模型（Friedkin and Johnsen, 1990）和加权中值模型（Mei et al., 2022）。这些模型擅长精确描述成对影响机制，使其成为用数学严谨性分析特定群体中意见动力学的理想工具。
尽管这些模型在理论上很精巧，但传统意见动力学模型面临一个根本限制：它们通常假设意见演变仅取决于瞬时互动，忽略了现实世界社会行为中普遍存在的记忆效应。在现实中，个体通过重复互动积累社会经验，这些历史印象持续影响未来意见的形成。实证研究有力地支持了这一观点——心理学和社会学研究表明，人类决策本质上具有历史依赖性，个体通常通过过去经验的视角来评估当前情况。这种记忆效应在意见动力学中起着关键作用，跨学科研究进一步阐明了记忆如何塑造集体行为，为共识形成、极化和群体决策提供了更深入的见解（Gibson, Kamil, 2005, Mettke-Hofmann, Gwinner, 2003, Tsoar, Nathan, Bartan, Vyssotski, Dell'Omo, Ulanovsky, 2011）。
另一条研究线通过允许智能体为其当前意见分配额外权重，放宽了HK模型中的均匀平均，从而捕捉顽固性或惯性等效应（Chazelle, Wang, 2017, Fu, Zhang, Li, 2015, Han, Huang, Yang, 2019, Li, Li, Du, Tang, Fan, 2022, Urbig, Lorenz, Herzberg, 2008）。在这些模型中，更新仍然是当前时间步意见的凸组合，自权重作为时间无关参数。虽然这引入了某种自我影响形式，但它不构成真正的时序记忆，因为除了直接前驱之外的过去状态不起明确作用。
认识到这一差距，最近的研究越来越多地将记忆效应纳入意见动力学模型。一些方法，如FJ模型或其扩展，考虑了初始意见的持久性（Friedkin and Johnsen, 1990）和有限步记忆（Raineri et al., 2025）。其他方法通过时间延迟效应（Liu and Chai, 2023）或基于倒计时的互动规则引入记忆（Becchetti, Clementi, Korman, Pasquale, Trevisan, Vacus, 2023, Jdrzejewski, Sznajd-Weron, 2018）。然而，现有模型缺乏记忆效应的统一数学框架。分数阶微积分提供了一个有前景的解决方案，因为它自然地捕捉非局部和历史依赖的动态。与整数阶模型不同，分数阶算子内在地对过去状态加权，为整合记忆提供了原则性方法。一些研究已将分数阶微积分应用于意见动力学，如（Girejko, Mozyrska, 2014, Girejko, Mozyrska, Wyrwas, 2017, Mozyrska, Wyrwas, 2016），但这些工作采用了直接替换方法——将标准模型转换为分数阶对应物，而未解决关键限制。具体而言，在这样的模型中，历史影响的累积权重仅在无限时间上渐近接近于1，违反了有限步互动中的现实性（其中总影响应在每一步都求和为1）。
本文引入了一种新的方法框架，将分数阶差分整合到HK模型中，以定量捕捉意见形成中的记忆效应。HK模型是意见动力学中的基础范式，通过其有界置信度机制形式化了意见交换，智能体仅与意见落在预定义阈值内的邻居互动。通过利用局部自组织规则，HK模型擅长模拟大规模意见演变——这是相对于全局互动模型的一个关键优势。
与之前对经典模型表面强加分数阶算子的研究不同，我们的方法使用分数阶微积分严格重构了HK框架，确保：
1. 每个步骤的总历史影响之和为1（与权重仅渐近收敛的临时分数阶扩展不同）；
2. 动力学遵循现实演变规律，在社会情境中保持可解释性。
通过理论分析，我们证明了分数阶HK模型：
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保持意见的序数一致性（个体轨迹不相交）；
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保证孤立系统的收敛性（无外部扰动时）；
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当初始意见充分集中时达成共识（即在相互置信范围内）。
关键在于，我们的结果揭示了记忆效应从根本上改变了收敛性质：
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与经典HK模型（有限时间收敛）不同，分数阶变体只能渐近达成共识；
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边界意见的单调性——整数阶HK模型的标志——在分数阶情况下失效，反映了记忆的非线性平滑效应。
这种单调性的丧失，表现为极端观点的暂时反弹或波动，具有自然的社会学解释：当当前社会影响偏离记忆中的基线时，个体可能部分回归到历史持有立场。这绝非数学产物，而是与日常直觉一致——先前信念不会在社会压力下简单蒸发，而是保留了一种持久的拉力，可以触发意见修正。这些发现为意见动力学提供了新的理论见解，特别是历史依赖性如何塑造社交网络中的极化、共识和集体决策。
本文结构如下：第2节介绍基本概念并讨论本文研究的主要模型；第3节详细分析了所提出模型的保序性、收敛性和共识条件；第4节提供数值模拟结果；第5节总结发现及其含义。
