数据驱动的基于投影的互连系统分布式故障检测

《European Journal of Control》：Data-driven projection-based distributed fault detection for interconnected systems

　　

# 摘要

本文提出了一种针对具有不确定性的互联系统的数据驱动投影分布式故障检测方案。为此，提出了一种基于局部和相邻输入/输出数据的分布式稳定核表示（SKR）辨识方案。具体来说，核表示以数据驱动的方式进行辨识，从而构建标称子系统动力学的核子空间。此外，通过将测量数据投影到核子空间的正交补上生成基于投影的残差，以将标称动力学与故障和不确定性分离。设计了有限时间评估函数和自适应阈值，并以分布式方式实现。最后，通过热轧精轧机的案例研究展示了所提方法的有效性。

# 引言

现代工业过程正变得越来越复杂且高度互联。典型的例子包括化工过程（Cheng等，2023）、电力电网（Li等，2024）和冶金生产系统，它们都由多个耦合子系统组成。随着系统规模的增加，子系统之间的耦合变得更加显著（Antonelli，2013；Zhang, Wen, Wang，2020）。人们普遍认为，一个子系统中发生的故障可能会通过互联结构传播，从而影响相邻子系统，甚至降低整体系统性能。这种传播效应显著增加了在这些耦合存在下过程监测和故障检测的复杂性。因此，开发有效的互联系统故障检测方法具有重要的实际意义。

在互联系统中，子系统交互通常由内部变量描述，这些变量在实际中往往无法测量（Boukhobza等，2009；Shames等，2011）。这给分布式故障检测带来了挑战，因为局部监测依赖于相邻子系统之间的信息交换（Yang等，2022），而局部状态演化受到耦合效应的影响（Cao, Wang，2023；Sadamoto等，2024）。为解决这一问题，现有研究将耦合相关变量作为未知输入处理或通过基于观测器的方法估计。例如，Martinelli（2022）通过聚合输入/输出数据构建了一个在代数上等价于子系统状态的全局表示，而Xia等（2022）使用相邻输入/输出数据近似状态。此外，左零空间投影已用于抑制不可测量状态并减少估计误差的影响（Ding等，2023），并进一步扩展为统一的正交补子空间以消除局部状态和耦合效应（Li, Yang，2024）。这些结果表明，适当处理局部和相邻状态对于互联系统的分布式故障检测至关重要。这促使了本研究。

当有充足的进程数据可用时，可以使用各种数据驱动方法来表示系统动力学（Ljung，1999；Van Overschee, De Moor，1996）。这些方法的可行性依赖于从输入/输出数据中提取系统动力学的稳健工具，而子空间辨识方法（SIM）为此提供了一个成熟的框架。现有研究（Hjalmarsson，2009；Lopez-Carmona, Paricio，2023）已成功将SIM应用于状态空间和输入/输出数据模型。数据驱动故障检测的最新发展也表明，稳定核/像表示（SKR/SIR）及其相关的核子空间提供了一种表示系统动力学的高效方式（Xue等，2022）。然而，与单个系统和分布式传感器网络相比，在SKR和核子空间的背景下，对互联系统数据驱动表示的关注相对有限。这促使了本研究开发针对互联系统的数据驱动分布式SKR表示，作为后续故障检测设计的基础。

基于子系统动力学的数据驱动SKR，具有不确定性的互联系统的最优故障检测自然成为一个关键问题。系统辨识误差构成不确定性的一个重要来源，因为提取的子空间只是在噪声条件下近似标称系统动力学（Gao, Duan，2012；Huang等，2007）。一旦构建核子空间，正交投影提供了一种将标称动力学与不确定性和故障分离的严格工具。正交投影已在希尔伯特子空间中针对动态系统得到发展（Ding，2020；Zhong, Ding，2013），并进一步扩展到核子空间投影以进行动态和不确定性解耦以及最优残差生成（Ding等，2025）。尽管基于投影的方法对单个系统已有很好的基础，但它们在具有不确定性的互联系统的分布式环境下的扩展仍未得到充分研究。这一差距促使了本工作中分布式投影故障检测方案的开发。

本文的主要目标是开发一种针对具有不确定性的互联系统的数据驱动投影分布式故障检测方案。主要贡献总结如下：

(i) 为互联系统开发了一种分布式状态估计方案。相邻状态被分解为与输出相关的可测和不可测部分。后者通过分布式输入/输出数据子空间的交集进一步表征，从而可以用输入/输出数据表示不可测部分。

(ii) 基于相邻状态和局部状态的表示，为互联系统开发了分布式SKR辨识方案和核子空间构建。通过利用状态演化，局部状态由局部输入/输出数据和有限过去时间范围内的相邻状态表示。这使得可以通过SIM从进程数据中辨识每个子系统的分布式SKR及其相关的核子空间。

(iii) 基于辨识的核子空间，通过正交投影开发了一种数据驱动分布式故障检测方法。对于每个子系统，残差通过将实时数据投影到核子空间的正交补上生成。基于所得残差，设计了有限时间评估函数和自适应阈值用于分布式故障检测。

本文其余部分组织如下。第2节介绍必要的预备知识和问题表述，第3节提出互联系统的数据驱动分布式SKR辨识。第4节提出基于投影的分布式故障检测方法。第5节通过案例研究展示方法的有效性。最后，第6节总结全文并讨论潜在的未来方向。

**记号。** 以下符号将在全文中使用。设$\theta_i(k) \in \mathbb{R}^{s_i}$表示子系统$i$的数据向量，$\theta_{k,l}^i = [\theta_i(k-l); \cdots; \theta_i(k)] \in \mathbb{R}^{(l+1)s_i}$，$\Theta_{N,i} = [\theta_{k,l}^i \cdots \theta_{k+N-1,l}^i] \in \mathbb{R}^{(l+1)s_i \times N}$，其中$l+1$是数据集的长度。$\Theta_{N,i}$表示汉克尔矩阵，$N$是足够大的。$\text{Row}(\Theta_{N,i})$表示$\Theta_{N,i}$的行空间。假设$d \in \{1, \cdots, M\}$。数据向量的表示定义为：

$$\text{col}_{d \in \{1,\ldots,M\}} \{ \theta_d(k) \} = [\theta_1(k)^T \cdots \theta_d(k)^T \cdots \theta_M(k)^T]^T$$

矩阵$A_d$的行对角和块对角矩阵分别记为：

$$[A_d]_{d \in \{1,\ldots,M\}} = [A_1 \cdots A_d \cdots A_M], \quad \text{diag}_{d \in \{1,\ldots,M\}} \{A_d\} = \begin{bmatrix} A_1 & & \\ & \ddots & \\ & & A_M \end{bmatrix}$$

## 稳定核表示

考虑一个由以下方程描述的离散时间系统：

$$\begin{cases} x(k+1) = Ax(k) + Bu(k), & x(0) = x_0 \\ y(k) = Cx(k) + Du(k) + w(k) \end{cases}$$

其中$u(k) \in \mathbb{R}^p$，$y(k) \in \mathbb{R}^m$，$x(k) \in \mathbb{R}^n$，$w(k) \in \mathbb{R}^m$分别表示输入、输出、状态和测量噪声。设$G(z) = (A, B, C, D)$为传递矩阵，即$y(z) = G(z)u(z)$。

定义为：

$$\hat{M}(z) = (A^L, -L, WC, W), \quad \hat{N}(z) = (A^L, BL, WC, WD)$$

构建了$G(z)$的左互质分解（LCF）：

$$G(z) = \hat{M}^{-1}(z)\hat{N}(z)$$

其中$L$的选择使得$A^L = A - LC$是稳定的，$W$是可逆矩阵。

## 分布式数据驱动SKR

本节的目标是获得不可测量状态的数据驱动表示，从而使后续的分布式SKR辨识成为可能。为此，I/O数据模型中的不可测量相邻和局部状态通过局部和相邻输入/输出数据处理。基于所得的数据驱动状态表示，然后开发了SKR的分布式辨识方案。

## 基于投影的故障检测方案

在本节中，我们关注具有不确定性的互联子系统的分布式故障检测。首先基于分布式数据驱动SKR构建核子空间。然后在分布式方式下开发基于投影的残差生成和阈值设置。

## 热轧机案例研究

所提出的分布式故障检测框架通过热轧精轧机系统进行了验证（如图3和图4所示），该系统作为大规模工业过程监测的代表性基准。精轧机通常由多个串联排列的轧机组成，其中每个轧机负责钢带的逐步减薄和形状控制。由于对产品质量的严格要求，这些轧机运行...

## 结论

本文开发了一种针对具有建模不确定性的互联系统的数据驱动投影分布式故障检测方案。关键挑战在于局部状态$x_{N,i}$和相邻状态$\bar{x}_{N,N_i}$是不可测量的。由于可以从局部和相邻进程数据构建I/O数据模型，首先建立了数据驱动分布式状态估计方法。具体来说，不可测量状态通过过去的...

**CRediT作者贡献声明** 余千翔：撰写——初稿，方法学。李青：撰写——审阅与编辑，监督。李林林：撰写——审阅与编辑，验证，监督。钟美英：撰写——审阅与编辑。Steven X. Ding：撰写——审阅与编辑。孙崇尚：方法学。

**利益冲突声明** 作者声明不存在已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

余千翔 | 李青 | 李林林 | 钟美英 | Steven X. Ding | 孙崇尚