任意表面海底块体垂直运动引起的远场表面波与声重力波剖面

《European Journal of Mechanics - B/Fluids》：Far-field surface and acoustic-gravity wave profiles from vertical motion of an ocean floor block of arbitrary surface

　　

摘要
表面波和声重力波（AGWs）由海床任意但可分离的时空运动产生，模拟具有非均匀滑动速率的复杂非平面海底断层，使用微可压缩海洋的线性化水波理论进行了解析研究。任意运动引起的海底地形近似使用倾斜块体，每个块体产生一个边界值问题，使用双傅里叶变换技术求解。通过叠加各个块体的解获得完整解。应用驻相近似获得海啸模、AGWs 和表面压力的远场特性。该模型与文献中的结果进行了验证。研究考虑了四个复杂断层的测试案例。进行了关于离散点数的图形误差分析，以评估解的收敛性。数值计算表明，断层几何形状显著影响波形特征，包括脉冲形成、波包展宽和方向不对称性。表面和底部压力的无量纲振幅比较显示，底部压力显著更大，表明其在早期检测中的实用性。远场谱能量分布显示出重力和 AGW 模的不同特征。第一 AGW 模在高频占主导，而纯重力模控制低频范围。底部轮廓变化修改了谱最小值和振荡模式。本研究确立断层复杂性和海洋可压缩性根本改变海啸特征， necessitating 使用任意运动模型进行可靠的灾害评估。

引言
波的生成与传播长期以来一直是经典与应用力学的基石，涵盖了地球物理、海洋学和海岸工程交叉领域的重要流体现象，如海洋表面波和分层流体中的内波。波形动力学中最引人入胜且复杂的表现为表面波的生成，理解这些波如何传播至关重要。无论源于海底地震 [1]、[2]、[3]、火山喷发 [4]、[5]、[6]、海底滑坡 [7]、[8]、[9]、[10]，还是任何其他地球物理事件 [11]、[12]、[13]，这些扰动将能量从固体地球传递到上覆水柱，引发一系列波过程级联，跨越广泛长度，造成破坏性的海啸。在这些现象中，地震引发的海啸因其高度破坏性而被广泛研究。著名例子包括 2004 年印度洋海啸和 2011 年东北地方太平洋近海地震。海底地震引发的海啸传统上使用平面断层几何形状进行建模，通常表示为发生垂直位移的扁平块体或活塞型 [14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]。这种简化方法虽然在解析上可处理且计算高效，但假设海床运动可以表征为矩形区域上的恒定抬升和均匀滑动速率。鉴于过去观测数据和计算资源的限制，此类模型是实际必需，形成了数十年来海啸研究的基础，并仍用于许多业务化海啸预报系统。然而，一个重要的问题浮现：简单的平面断层能多准确地代表真实海底地震中观察到的复杂动态破裂过程？

这个问题处于海啸科学持续辩论的核心，因为近期的海啸事件揭示了平面断层近似的重大缺陷。2023 年 2 月 6 日土耳其 - 叙利亚地震，尽管是内陆走滑事件，却神秘地产生了常规断层破裂模型无法解释的局部海啸 [21]。该事件是东安纳托利亚断层上 Mw 7.8 双震的余波，大约九小时后跟随 Mw 7.5 [22]。随后的分析揭示，海啸很可能源于涉及多个源的复杂生成机制，可能包括由强烈地面震动和厚沿海沉积物液化触发的海底滑坡。另一个此类近期遭遇是 2024 年 1 月 1 日日本能登半岛地震（Mw 7.6）。使用强震动、远震和大地测量数据进行的详细源反演表明，该地震涉及多段断层系统 [23]。2016 年新西兰凯库拉地震同样记录了涉及多个方向各异段的 Multi-fault 破裂 [24]。

基于物理的地震模拟器研究进一步强化了纳入真实断层复杂性的 importance。Delogkos 等人 [25] 进行的一项研究证明，真实断层具有复杂的非平面 3D 几何形状，走向和倾角显著变化，而滑动速率通常沿断层表面变化，向断层中心达到最大并向尖端逐渐减小 [25]。他们的分析揭示，采用可变滑动速率（而非均匀速率）消除了断层边缘不真实的应力奇点，并产生了与自然观测 closely 匹配的地震活动深度分布。这些发现突出简化平面表示与均匀滑动未能捕捉地震破裂的基本物理，强化了需要能够容纳海床任意时空运动的建模框架。这种任意运动允许海床位移在空间中任意变化并在时间上演变，捕捉真实地震中观察到的多断层破裂、可变抬升模式和异质滑动分布的基本物理。

海啸建模同样重要的方面是纳入海洋水可压缩性。虽然传统海啸模型假设不可压缩流 [15]、[26]、[27]、[28]、[29]，但海水的轻微可压缩性产生了声重力波（AGWs）- 低频下受重力影响的水声重波，其传播速度显著快于常规海啸波 [14]、[19]、[20]、[30]、[31]。与仅存在一个传播模态而其他模态衰减的不可压缩海洋不同，深水中的可压缩性将某些倏逝（或衰减）模转化为额外的传播模 [31]。这些新出现的模态对应 AGWs，它们作为主海啸到达的先兆，为早期预警应用提供了希望 [20]。AGWs 不仅用于海啸预警，还在一系列海洋过程中发挥关键作用，包括深水输运 [32]、三元共振 [33]、[34]，以及与冰盖和陆架折角的相互作用 [35]、[36]、[37]，突显了其在海洋动力学中的基本意义。可压缩海洋的理论基础源于 Miyoshi [38]、Longuet-Higgins [30]、Sells [14] 和 Yamamoto [31] 的开创性工作。2004 年印度洋海啸后，Nosov [20]、[39]、[40] 重新审视了该理论，强调了其在海啸建模中的相关性。初步调查基于简化的浅水模型 [41]，随后的进展放宽了这一假设以考虑有限深度效应。Yamamoto [31] 首次对具有刚性床底的有限深度可压缩海洋中振荡底部的频域解进行了建模。其实际相关性直到 Stiassnie [19] 开发二维时间依赖框架后才显现，随后扩展至三维 [42]。后续研究通过纳入更真实的 seabed 特性进一步推动了理论发展，包括弹性 [36]、[43]、[44]、孔隙率 [45]、泥层的存在 [46] 以及海床的粘弹性行为 [47]、[48]。大多数这些工作假设断层更简单，如活塞型或平底箱型运动，相对较少的研究解决时空变化的断层行为。这促使向研究更复杂的断层几何形状转变，从细长构型 [49] 到完全任意的轮廓，使用深度积分缓坡方程 [50] 和傅里叶级数表示 [51] 等方法。使用与 Sammarco 等人 [50] 相同的模型，随后 Cecioni 等人 [52] 模拟了地中海两个真实地震情景的波场，并进一步表明这些结果 closely 匹配 2012 年海达瓜伊海啸的观测数据 [53]。Das 等人 [54]、[55] 的一系列工作使用格林函数技术建模海床运动，随后使用本征函数展开以纳入可变水深的影响，如洋台 [56] 和海沟 [57]。Yamamoto 和 Stiassnie 的工作由 Das & Das [58] 进一步扩展，开发了一个由单个不对称（倾斜）块体产生的表面波廓的时间依赖解析表达式，揭示了坡度对远场波结构和 AGW 模特征的影响，随后他们将其扩展以描述正弦型海床运动 [59]。更近期的研究更进一步，Williams 等人 [60] 使用球形地球模型捕捉波传播和聚焦等大尺度效应，而 Pethiyagoda 等人 [61] 研究了在大陆架和水下山脉等变化海底特征上高频 AGWs 的生成。此外，研究人员研究了球分层大气中的 AGWs，准确捕捉地球曲率效应和远场波行为，包括头波和瑞利波，结果与观测到的地震和电离层数据进行了验证 [62]。Henneking 等人 [63] 带来了一项革命性进展，开发了一个全物理贝叶斯反演框架，能够使用 AGW 数据以 20% 的误差进行实时海啸预报。同一团队随后创建了一个数字孪生，在 0.2 秒内解决十亿参数贝叶斯反演问题，比传统方法实现了十亿倍加速，并能够实现从海底压力数据实时海啸预报，这一壮举赢得了 2025 年 ACM 戈登·贝尔奖。此外，新的数学分析揭示，AGWs 与 seabed 障碍物相互作用时可表现出类似的量子隧穿效应，其中波能量通过倏逝模耦合渗透障碍物，振幅衰减和共振效应主导模态传输，突显了可压缩流体中复杂的波 - 障碍物相互作用 [64]。 Furthermore，非线性三元相互作用在可压缩水中已被探索，使用动力系统方法，揭示了表面模态和声学模态之间的共振能量交换、分岔、行波解和调制周期行为，提供了更深入的理论洞察 [65]。

在本研究中，我们推导了微可压缩海洋中由海床任意但可分离的时空运动产生的表面高程和底部压力的解析解。本研究的主要新颖性在于开发了一个通用解析框架，能够处理海床运动的任意空间轮廓。与我们最近局限于正弦轮廓的研究 [59] 不同，在那里我们使用双移动块体近似断层轮廓，或早期局限于扁平块体的研究 [19]、[31]，我们在这里使用分段线性函数离散化空间轮廓，产生断层几何形状的多块体近似，每个块体具有恒定的表面坡度。我们通过首先将数学问题分解为与每个块体相关的子问题，然后叠加它们的单个解以获得整体解来解决该问题。用于任意断层解析处理的是双傅里叶变换，而非 Das & Meylan [51] 采用的傅里叶级数展开方法，并使用驻相近似确定表面高程和相关压力场的远场行为。分析了四个断层构型作为测试案例，重点在于组成块体的数量及其对解准确性的影响，数值计算突显了它们产生的独特特征。此外，研究了所选四个断层轮廓的远场谱能量密度（SED）变化，这在我们的先前研究中未被涉及。手稿结构如下。第 2 节提出边界值问题的数学公式化及其求解过程。第 3 节使用驻相近似推导远场表面高程和底部压力，并针对先前发表的结果验证解析表达式。模型验证在第 4 节中呈现。远场谱能量密度在第 5 节中解析推导。第 6 节呈现四个测试案例的数值计算及其对比分析，并讨论可压缩与不可压缩海洋响应，随后在第 7 节讨论本研究的局限性及未来范围。最后，在第 8 节得出结论。

章节片段
数学公式化
让我们假设在二维全局坐标系 Oxy 中构建的区域 -L≤x≤L 内发生海床垂直、任意但可分离的时空运动，形式为 S(x)Y(t)（见图 1）。时间分量代表在时段 t0 内的地震持续时间。

定义位移势函数 Φ(x,y,t) 以描述流体流动，边界值问题 (BVP) 可表示为：?2_{xy}Φ = (1/c2) ?2Φ/?t2, y∈(0,h)；g ?Φ/?y + ?2Φ/?t2 = 0, y=h；?Φ/?y = S(x)Y(t)H(L/2?x2), y=0

**远场行为**

我们关注表面波和声重力波 (AGW) 的远场行为，并忽略势函数的衰减分量。因此，第 i 个区块的兴趣区域变为 xx_{i+1}。我们首先将分块势函数转换到全局坐标系 Oxy，然后应用驻相近似来实现这一目的。

**验证**

通过将我们的解析表达式与文献中先前的结果进行比较，来验证其有效性。我们通过近似 a_{i,0} = a_{i,1} 实现这一点，这与 Stiassnie [19] 的工作相符。首先，我们验证第 i 个子问题的解，然后使用分段区块近似法获得全局解。

**远场谱能量密度 (SED)**

谱能量密度 (SED) 量化了信号能量在其频率分量之间的分配。对于波形 j(t)，其定义为傅里叶变换的模平方 |F(j)|2。SED 函数 ΔSED(f) 由下式给出：ΔSED(f) = |F(f)|2。深度平均 SED 是通过将其分解为弹性、动能和重力势能贡献来获得的，分别记为 Δe、Δk 和 Δg。总波浪 SED，记为 ΔSED_TOT，是这些贡献的组合总和。

**数值结果**

本节基于表 1 中给出的物理参数，呈现了我们研究的数值结果。除非另有说明，这些参数值在全文中保持一致。

这里，我们选择了四个不同的海底剖面运动进行分析，如图 2 所示并在表 2 中定义。每个剖面具有共同的扰动区域 (?L, L)。相应的近似也用红色虚线标出。首先，我们考察数量对…的影响。

**局限性与未来展望**

尽管本文的分析框架相当全面，但仍有若干不足之处有待进一步研究。首先，由于该公式本质上是一维的，它忽略了对于远场方向性效应和真实断层几何形状变得显著的三维传播现象。通过将推导扩展到柱坐标系或球坐标系，可以恰当地处理径向扩散及相关几何衰减。其次，自然破裂通常…

**结论**

本研究开发了一种闭式解析框架，用于求解任意但可分离的时空海底运动在弱可压缩海洋中产生的远场表面升力和动态海底压力。该方法的核心在于通过分段线性分解将任意空间位移剖面近似为 N 个倾斜区块，每个区块通过双重傅里叶变换独立求解，然后进行叠加。

**CRediT 作者贡献声明**

Ritika Das：撰写初稿，可视化，验证，软件，资源，方法论，调查研究，形式化分析。Santu Das：撰写—审阅与编辑，监督，项目管理，方法论，资金获取，概念构思。

**利益冲突声明**

作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知的竞争性财务利益或个人关系。

**致谢**

RD 感谢 IASST 的高级研究奖学金和 AcSIR 的博士项目。SD 感谢 AcSIR 的认可。本研究由位于古瓦哈蒂的先进科学技术研究所 (IASST) 通过内部项目支持，项目编号为 IASST/R&D/PSD/IHP-07/2024-25/725-732 和 IASST/R&D/PSD/IHP-14/2025-26/1760-1767。

Ritika Das | Santu Das