半简化自由李代数

《Expositiones Mathematicae》：Semisimplifying Frank Lie algebras

　　

摘要
福兰克李代数是仅在特征3的域上出现的简单李代数。它们配备了 distinguished 的内部导子，使其成为 Rep(α?) 范畴中的代数。我们将半单化函子应用于这些福兰克李代数，得到模接触李超代数。

我们还得到一类简单的 J-三元代数，其相关的约当代数不是简单的。

引言
Kannan [9] 近期关于某些仅在特征3和5的域上存在的简单李超代数的构造（涉及张量范畴），促使其他研究者考虑针对不同种类代数的类似构造，例如 [5]、[6]。与本文最相关的是这种构造的一个特例：从特征3的域上的 J-三元代数导出李代数，见例如 [4]、[13]。具体来说，在后两篇文章中观察到，任何由 J-三元代数 A 导出的李代数 L 都配有一个典范的 ?-分级 L=L??⊕L??⊕L?⊕L?⊕L?。

若 J 有单位元，则存在对应的元素 1∈L?。关于内部导子 ad1，李代数 L 成为 Rep(α?)-代数，即对称张量范畴 Rep(α?) 中的代数。Rep(α?) 上的半单化函子将 L 映射到操作李超代数 InDer(A)⊕A。

在本文中，我们将研究福兰克李代数 ?(n)。它们构成一类仅在特征3的域上存在的简单李代数，并可作为模接触李代数 ??(3;(1,1,??)) 的子代数构造。Frank [7] 首先构造了此类代数中的一个。利用 Strade [14] 对这些代数的描述，我们立即得到一个 ?-分级和一个内部导子，类似于涉及 J-三元代数的设定。我们证明在半单化函子下的像是一个模接触李超代数 ??(1,1;???)。

在最后一节中，我们还建立福兰克李代数可以从某些 J-三元代数得到。值得注意的是，这种构造产生了一类简单 J-三元代数，其相关的约当代数 J 不是简单的，这与 [8, Theorem 6.1] 相矛盾。我们讨论了这个定理的证明，并注意到一个简单的 J-三元代数要么具有简单的相关约当代数 J，要么在 [3] 的意义上是退化的。我们指出，这一类 J-三元代数仍然相当特殊，因为 Allison [1] 证明了当 J-三元代数在特征0的域上有限维时，J-三元代数是简单的当且仅当相关的约当代数是简单的且 ??,?? 非退化。

第1节回顾本文所讨论的李（超）代数的构造。第2节引入 Rep(α?) 上的半单化函子，并将其应用于福兰克代数，得到模接触李超代数。第3节引入 J-三元代数，为福兰克代数定义 J-三元代数，并利用其提供 [8, Theorem 6.1] 的反例。

片段
基本定义
在本文中，我们总是在特征3的域 ?? 上进行工作。

关于 ??(1,1;???) 与 ?(n) 的联系
为了描述与福兰克代数的联系，我们从描述范畴 Rep(α?) 的半单化函子开始。对于 Rep(???) 上类似函子的更详细描述，见 [11, section 3] 或 [5]。对于 Rep(α?) 的更详细长描述，见 [9, section 3]。

回忆一下，我们总是在特征3的域 ?? 上进行工作。

关于 J-三元代数
Wolfgang Hein [8] 将 J-三元代数定义为一个向量空间 X，配备一个三线映射 (x,y,z)?xyz，使得对所有 x,y,z,u,v,w∈X 成立：
(1) xy(uvw)?uv(xyw)=(xyu)vw+u(yxv)w
(2) xyz?zyx=zyx?xyz

对于这样的代数，我们可以定义 ?x,y?z=zyx?xyz。
通常，J 表示所有 ?x,y?（x,y∈X）的线性 span。我们注意到这是一个约当代数 [8, Theorem 1.1]，其运算 (a•b)x = a(b(x))+b(a(x))/2，对 a,b∈J，x∈X。我们假设 J 有单位元。

例 3.1
考虑 ?? 配备三线映射 (f,g,h)?L_{f,g}h = fg h' ? hg f'。

资助
无资助。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系，这些关系可能已影响本论文中报告的工作。

Michiel Smet